Закон сохранения импульса и однородность пространства

Рассмотрим систему, состоящую из N тел. Силы, действующие на тела системы, можно подразделить на внутренниеи внешние. Внутренними силами будем называть силы, с которыми действуют друг на друга отдельные части системы, а внешними – силы, обусловленные внешними телами, не принадлежащими к системе.

В случае если внешниесилыотсутствуют, системаназывается замкнутойили изолированной. Если сумма всех внешних сил равна нулю, то системаназывается квазизамкнутой (квазиизолированной).

В системе взаимодействующих тел координаты, скорости и ускорения тел постоянно меняются. Однако, существуют три физические величины, которые в замкнутойсистеме остаются неизменными. Такими величинами являются энергия, импульс и момент импульса. Законы сохранения этих величин тесно связаны с основными свойствами пространства и времени.

Импульсом системы, состоящей из N тел, называется векторная сумма импульсов всех тел, образующих систему.

Для суммарного импульсаизолированной (замкнутой) системы существует закон сохранения: суммарный импульс замкнутой(изолированной или квазиизолированной) системы остается постоянным:

. (1)

Законсохранения импульсаявляется теоретическим следствием законов Ньютона. Покажем это. Рассмотрим физическую систему, состоящую из N тел. Пронумеруем эти тела от i = 1 до i = N. Допустим, что между телами системы действуют внутренниесилы и кроме этого на тела системы действуют внешниесилысо стороны тел, не принадлежащих к системе – . Напишем II закон Ньютона для каждого тела физической системы:

;

;

……………………………………

.

Проведем суммирование этих соотношений. В левой части равенства получим сумму всех внутренних сил и сумму всех внешних сил. Но на основании третьего закона Ньютона внутренниесилыпри сложении взаимно сокращаются, так как каждому действию есть равное и противоположно направленное противодействие, поэтому получим:

.

Сумма всех внешних сил определяет результирующую силу , действующую на всю физическую систему:

.

Уравнение движения системы частиц (тел), на которые действуют внешниесилы, имеет вид

(2)

Здесь .

Теперь допустим, что системазамкнута, т.е. внешниесилыотсутствуют, или квазизамкнута, т.е. сумма всех внешних сил равна нулю.

Если системазамкнута, , откуда следует .

Это утверждение составляет содержание закона сохранения импульса:

Импульс замкнутойсистемы частиц (тел) остается постоянным.

Законсохранения импульсаявляется следствием свойства однородности пространства. Оно проявляется в том, что физические свойства замкнутойсистемы и законы ее движения не зависят от выбора положения начала координат.

Центр масс и законы его движения*

Рассмотрим твердое тело произвольной геометрии и распределения масс. Разобьем мысленно тело на малые (не обязательно одинаковые) элементы и пронумеруем их. Допустим, что к некоторому элементу тела с номером i и массой Dm_i приложена внешняя сила и кроме этого действуют внутренниесилысо стороны остальных элементов тела . Под воздействием результирующей всех сил, приложенных к рассматриваемому элементу тела, будет происходить движениев соответствии со вторым законом Ньютона

, (1)

где – сумма всех внутренних сил, действующих на элемент c номером i со стороны всех остальных элементов тела; –масса и ускорение элемента тела с номером i.

Проведем суммирование по всем элементам тела. При суммировании внутренниесилывзаимно сокращаются, так как всякой силе, действующей на элемент тела i со стороны элемента j, согласно третьему закону Ньютона,имеется равная и противоположно направленная сила, действующая на элемент j со стороны элемента i.

Сумма всех внешних сил (результирующая сила)

. (2)

Рассмотрим теперь точку, радиус-вектор которой

, (3)

где m – масса всего тела.

Назовем центром масстела эту точку. Смысл этого термина выясняется ниже.

Дважды продифференцируем последнее выражение по времени:

. (4)

Из сравнения (2) и (1) следует закон движения центра масс

. (5)

Так как , ускорение центра масс тела, то это означает, что центр масс движется в соответствии со вторым законом Ньютона, причем, движениепроисходит так, как если бы вся масса тала была сосредоточена в точке центра масс.

Рассмотрим теперь замкнутую (изолированную) систему тел. В замкнутойсистеме (сумма всех внешних сил равна нулю), поэтому центр масс будет либо двигаться прямолинейно и равномерно либо остается в покое.

Заметим также, что вместо термина центр масс иногда используется термин центр инерцииили центр тяжести.

Импульс системы частиц (тел) можно представить в виде произведения суммарной массы частиц на скорость центра масс

(16)

где т – суммарная масса частиц, – скорость центра масс.

Решение задач по определению положения центра масс некоторого тела может быть упрощено, если находить отдельно все три проекции радиус-вектора центра масс.

В качестве примера, рассмотрим два шара массами m₁ и m₂, находящимися на фиксированном расстоянии l друг от друга, и найдем центр масс этой системы (рис. 12). Каждый шар можно рассматривать как материальную точку с массой, расположенной в его центре.

Направим ось x вдоль прямой проходящей через центры шаров, а начало координат поместим на расстоянии а от левого шара. Тогда координату X_c центра масс можно записать в виде:

. (7)

Если поместить начало координат в центр первого шара (т.е. положить а = 0), то выражение для X_c будет иметь более простой вид

. (8)

В частном случае, когда m₁ = m₂, Х_с = l/2, т.е. для одинаковых шаров центр масс будет находиться в точке, расположенной посередине между шарами.

Работа и энергия

Работа и мощность

Пусть тело, на которое действует сила , проходит, двигаясь по некоторой траектории, малый путьdl (рис.13) . Действие силы на пути dl характеризуется величиной, которая называется работой.

Работой называется скалярная величина, равная скалярному произведению силыF на перемещение dl:

, (1)

где a – угол между направлениями силыи перемещения; – проекция силына перемещение; dl_F = dl cos a – проекция перемещения на направление силы.

Полная работа на всем пути в общем случае переменной силы

. (2)

Графически работа силычисленно равна площади (заштрихованная область на рис. 14), где по оси ординат отложена проекция силы: , а по оси абсцисс перемещение. В частном случае, когда F_l = const,

(3)

В частности, это имеет место при прямолинейном движении, когда постояннаяпо величине сила F образует с направлением движения постоянный угол a.

Работа – алгебраическая величина. Поэтому при 90° > a > 0, А > 0 – работа совершается самой приложенной силой; при a > 90°, А < 0 – работа совершается против приложенной силы; при a = 90°, А = 0.

Центростремительная сила всегда направлена перпендикулярно скорости (перемещению), А = 0. Поэтому она работы не совершает.

Примером переменной силыможет служить упругая сила пружины.

Найдем работу, совершаемую при растяжении пружины. Чтобы растягивать пружину, к ней надо прикладывать силу, равную по величине упругой силе.

Упругая сила F = - kx, где х – удлинение пружины; k – коэффициент упругости.

Сила, прикладываемая к пружине при растяжении

. (4)

Работа упругой силы

(5)

Эту же формулу для работы можно получить графически (рис.15): работа численно равна площади заштрихованного треугольника.

На практике имеет значение не только величина совершенной работы, но и время, в течение которого она совершается. Поэтому для характеристики механизмов предназначенных для совершения работы, вводится величина – мощность, показывающая, какую работу данный механизм совершает в единицу времени. Мощность Р есть величина, равная отношению работы DА к промежутку времени Dt, за который она совершается:

. (6)

Если за одинаковые промежутки времени совершается неодинаковая работа, то мощностьоказывается изменяющейся со временем. В этом случае вводится мгновенное значение мощности:

. (7)

Приведем выражение для мощности в другом виде

dA = FdS, dS→dl.

Тогда

. (8)

Мгновенная мощностьP есть величина, равная отношению элементарной работы dA к элементарно малому промежутку времени dt, за который эта работа совершается:

Единица измерения мощности в СИ: [P] = Ватт, 1Вт = 1Дж/с.

Если какой-либо механизм предназначен для выполнения механической работы (например, для подъема тяжестей), то обычно не вся затраченная работа является полезной, так как некоторая ее часть расходуется на преодоление сил трения. В связи с этим вводится понятие коэффициента полезного действия:

, (2.3.9)

где , – полезныеработа и мощностьсоответственно; , – затраченныеработа и мощностьсоответственно.

Если сила перпендикулярна перемещению, то работа силыравна нулю, т.е. А = 0.

Единица измерения работы в СИ: [W] =Дж = Н×м.