Законы сохранения при неупругих соударениях

Цель работы:

1. Измерить момент инерции крутильного маятника.

2. Измерить скорость пули двумя методами и сравнить полученные результаты.

Описание эксперимента

1. Общий вид установки приведен на рис.1. На платформе основания (1) установлен поворотный стол (2) и стойка (7). Под платформой подвешена измерительная система (8).

В диске поворотного стола (2) имеются отверстия для фиксации дополнительных цилиндрических тел (3). Их используют для увеличения момента инерции и, соответственно, уменьшения угла отклонения стола.

На трехступенчатом шкиве (2.1) поворотного стола установлены два штифта (2.2) для закрепления нитей. Радиусы шкивов 24 мм, 12 мм и 24 мм (нижний без штифта).

Снизу к поворотному столу прикреплен диск (2.3) с радиальной прорезью и риской-указателем, которые расположены диаметрально противоположно друг другу. Риска перемещается вместе со столом вдоль неподвижной шкалы (6), по которой отсчитывается угловая координата стола. При прохождении прорези через зазор фотодатчика срабатывает таймер измерительной системы (8). Это позволяет измерять время поворота стола на 1, 2 или 4 оборотов (тумблер «:1/:2/:4»); в случае крутильных колебаний измеряемое время равно половине, одному или двум периодам колебаний, поскольку за период колебаний прорезь диска стола дважды проходит через зазор фотодатчика.

К столу (2) прикреплена мишень (4). Пружинная пушка (не нарисована) крепится к платформе основания (1). Могут быть использованы два вида пуль: легкая 7,4 г и тяжелая 22,1 г. В работе используется легкая пуля. Рядом со столом (2) установлен механический тормоз стола с рычагом и защелкой (не нарисованы).

Поворотный стол с помощью пружин (5) можно превратить в крутильный маятник. Для получе­ния колебательной системы через шкив стола (2.1) перекидывается короткая нить, концы которой посредством двух пружин (5) прикрепляются к штырям на оси нижнего ролика стойки (7.1) (рис. 1а).

Стойка (7) предназначена также для подвеса груза, приводящего во вра­щение пово­ротный стол (2). Для этого нить укрепляется на шкиве поворотного стола и через ролики (7.1), (7.2) соединяется с грузом, который, опускаясь, вращает поворотный стол (рис. 1б).

Рис. 1а.

Рис. 1б.

1. Платформа основания.

2. Поворотный стол.

2.1. Шкив стола.

2.2. Штифты.

2.3. Диск с риской-указателем.

3. Дополнительный груз.

4. Мишень.

5. Пружина.

6. Шкала для измерения углового перемещения.

7. Стойка.

7.1. Нижний ролик стойки.

7.2. Верхний ролик стойки.

8. Измерительная система (ИСМ)

8.1. Табло таймера.

8.2. Тумблеры.

2. Скорость летящего тела может достигать значительной величины. Так, скорость пули боевой винтовки м/с, а пули духового ружья м/с. Непосредственное измерение скорости пули требует специальных методик и аппаратуры. Но существуют достаточно простые косвенные методы определения скорости пули. Например, используются неупругие соударения, в результате которых пуля сталкивается с некоторым телом и далее они движутся как единое целое.

Очевидно, если пуля застревает в свободном теле значительной массы, то оно вместе с пулей начинает двигаться, причем их скорость значительно меньше скорости летевшей пули. «Небольшую» скорость тела с пулей, движущихся как единое целое, легко измерить, а, используя законы сохранения, можно вычислить скорость пули.

В данной работе для измерения скорости пули в качестве массивного тела применяется баллистический крутильный маятник, в котором реализуются крутильные колебания. В нашем случае это поворотный стол (2) в виде тонкого диска (рис. 1а), который может вращаться вокруг вертикальной оси. Если в мишени (4) застревает пуля (неупругое соударение), поворотный стол начинает равномерно вращаться (упражнение 2) или, если его подпружинить (См. раздел установка и приборы), совершает крутильные колебания около положения равновесия (упражнение 3). В процессах неупругого соударения, которые реализуются в этой лабораторной работе, сохраняется момента импульса системы «стол-пуля». Исследуя движение поворотного стола после неупругого удара, вычисляют скорость пули. Но для этого требуется предварительно измерить момент инерции стола .

Лабораторная работа состоит из трех упражнений.

В упражнении 1 стол без пружины вращается равноускоренно под действием момента силы натяже­ния нити. Нить наматывается на шкив стола (2.1) (рис. 1б) и пропускается через ролики стойки (7.1), (7.2). К нити крепится тело массой . По измеренному времени оборота стола, вычисляются его угловое ускорение и момент инерции .

В упражнении 2 стол без пружины равномерно вращается после неупругого соударения с пулей. Измеряют время оборота стола и вычисляют скорость пули первым методом.

В упражнении 3 стол с пружиной (рис. 1а) совершает крутильные колебания в результате неупругого соударения с пулей. Измеряют период и амплитуду колебаний маятника. По этим опытным данным вычисляют скорость пули вторым методом.

Расчётные формулы

В упражнении 1 измеряют момент инерции поворотного стола, который необходим для расчёта скорости пули. Для этого используют уравнение вращательного движения твёрдого тела вокруг закреплённой оси:

,

– момент инерции тела, – угловое ускорение, – момент силы натяжения нити (рис.1б), который равен

Где: – плечо силы, равное радиусу шкива поворотного стола. Тогда уравнение вращательного движения имеет вид:

Силу натяжения нити найдем из уравнения поступательного движения (II-ой закон Ньютона) груза массой :

Ускорение поступательного движения груза равно тангенциальному ускорению точек обода шкива, которое связано с угловым ускорением, поэтому

Решая систему уравнений вращательного и поступательного движений, с учётом кинематической связи ускорений и получают формулу для момента инерции поворотного стола:

Поскольку в процессе вращения момент силы не меняется ( =const), то вращение поворотного стола является равноускоренным. В начальный момент времени стол покоится. Поэтому закон движения стола (зависимость угловой координаты от времени ) имеет вид:

Отсюда можно определить угловое ускорение , измеряя время одного оборота, поскольку в этом случае :

Подстановкой углового ускорения в выражение для момента инерции получают расчётную формулу упражнения 1:

(1)

Случайная абсолютная ошибка косвенных измерений момента инерции J в основном обусловлена ошибкой прямых измерений времени оборота. Тогда

, или (2)

где - относительная ошибка.

Вупражнениях 2 и 3определяют скорость пули, используя закон сохранения момента импульса системы «пуля – поворотный стол» в процессе удара. Во время взаимодействия пули и стола момент импульса системы не изменяется:

Момент импульса летящей со скоростью V пули массой относительно оси вращения стола равен

,

где – расстояние от оси вращения до мишени (прицельное расстояние).

Момент импульса стола до попадания пули в мишень равен нулю.

После удара момент импульса стола и пули выражается через параметры, характеризующие вращательное движение: - момент инерции; - угловая скорость. Поэтому конечный момент импульса:

,

где – угловая скорость вращения стола, – его момент инерции стола с ми­ше­нью и пу­лей вместе, измеренный в упражнении 1.

Закон сохранения момента импульса принимает вид:

или

В этом упражнении стол вра­щается равно­мерно с угловой скоростью

где – измеряемое время одного оборота или период.

Используя два последних равенства, получают расчётную формулу в упражнении 2для скорости пули:

(3)

Случайная относительная ошибка косвенных измерений ско­рости пули V складывается из ошибок измерения момента инерции и периода :

и (4)

где – относительная ошибка прямых измерений периода обращения, а относительная ошибка косвенных измерений момента инерции, которая с учетом (2) равна .

В упражнении 3 скорость пули определяют, изучая крутильные колебанияподпружиненного стола-маятника, которые совершаются по закону:

где – циклическая частота колебаний; - амплитуда колебаний. В этом упражнении измеряют амплитуду и период колебаний.

Угловую скорость вращения получают из уравнения движения маятника:

где – угловая скорость маятника в начальный момент времени (момент удара пули в мишень). Эта величина совпадает с угловой скоростью вращения (упражнение 2), входящей в закон сохранения момента импульса, поэтому

Расчётная формула в упражнении 3 для скорости пули имеет вид:

(5)

При расчётах угол надо выражать в радианах!

Случайная относительная и абсолютная ошибки косвенных измерений вычисляют по формулам:

и (6)

где , и – относительные ошибки прямых измерений момента инерции периода и амплитуды .

Порядок выполнения лабораторной работы.

Установить тумблеры измерительной системы в положение:

1. « /К2/К1» - «К2»;

2. «+/~/-» - «+» или «-»;

3. «0.1 мс/мс/0.01 с» - «мс» (время в миллисекундах);

4. «цикл/однокр» - «однокр»;

5. «:1/:2/:4» - «:1» для упражнений 1, 2;

- «:2» для упражнения 3.

Упражнение 1.

Определение момента инерции поворотного стола.

1. Прикрепить мишень на поворотном столе (рис.1б) так, чтобы она не мешала протягиваемой впоследствии (п.5) нити.

2. Прикрепить к мишени пулю.

3. Установить на столе дополнительный (красный) груз М_гр. 0,5 кг, используя отверстия в диске. Расположение груза произвольно - лучше дальше от оси диска; можно установить два груза ближе к оси. Записать в таблицу I расстояние d от груза до оси.

4. Намотать на шкив поворотного стола длинную (синюю) нить, закрепляя петлю одного её конца на штифте. Выбор радиуса шкива мм или мм произволен, но для падающего груза массой г использовать большой шкив, а для г – малый. Записатьрадиус выбранного шкива в таблицу I.

5. Поставить поворотный стол на тормоз.

6. Пропустить другой конец нити через нижний (7.1) и верхний (7.2) ролики стойки и к крючку на конце нити прицепить выбранный груз (рис.1.б). Записать массу груза в таб­лицу I.

7. Тумблер «:1/:2/:4» должен быть в положении - «:1».

8. Установить поворотный стол в нулевое положение (риска-указатель на нуле) – при этом светится индикатор измерительной системы.

9. Нажать кнопку «готов» - на табло таймера появятся «0000» .

Замечание: в момент окончания измерения времени система издает звуковой сигнал. По этому сигналу лучше остановить рукой вращение стола, иначе нить соскочит со штифта, и придется её протягивать и закреплять заново.

10. Отпустить тормоз.

11. Занести показания таймера (время одного оборота ) в таблицу I.

12. Повторитьчетыре раза пункты 7-10.

13. Вычислить среднее время и момент инерции стола по формуле (1).

14. Вычислить абсолютную ошибку :

15. Вычислить по формуле (2) абсолютную ошибку измерений момента инерции.

16. Вычислить относительную погрешность эксперимента .

17. Записать результаты вычислений п.12 – п.14 в таблицу I.

18. Представить результат упражнения 1 в виде:

Таблица I

Количество установленных на стол дополнительных грузов: n=

Расстояния от дополнительных грузов до оси вращения: d=