Тестовые задачи третьего уровня

5.3.1. Тепловое излучение

Мощность излучения с единицы площади поверхности тела в единичном интервале частот называется излучательной способностью тела:

r_n(n, T) = dE_n,n+dn/dn.

Под поглощательной способностью тела понимается отношение количества поглощенной поверхностью энергии в интервале частот n, n + dn к общему количеству энергии падающего излучения в том же интервале частот:

a_n(n,T) = / .

Тела, способные поглощать все падающее на них излучение произвольной длины волны при любой температуре, называются абсолютно черными телами. Для абсолютно черных тел:

a_n(n,T) = 1. (5.3.1)

Закон смещения Вина:

l_m ×T = b, (5.3.2)

где l_m – наиболее вероятная длина волны теплового излучения (на эту волну приходится максимум в спектре теплового излучения абсолютно черного тела), Т – температура тела, которой соответствует эта длина волны, b – постоянная Вина, b = 2,898×10^{-3 м}×К.

Закон Стефана-Больцмана:

R_э (T) = sT⁴, (5.3.3)

R_э(T) – энергетическая светимость абсолютно черного тела, s – постоянная Стефана-Больцмана, s = 5,67×10^-8 Вт/(м²×К⁴).

Энергетическая светимость (и излучательная способность) реальных тел меньше, чем у абсолютно черного тела при той же температуре:

R_э (T) = А(Т)sT⁴.

Здесь А(Т)<1 – коэффициент поглощения среды, зависящий от температуры сложным образом и различный для разных сред.

Для серого тела коэффициент поглощения среды обозначается a (a < 1) и его можно считать постоянным. Энергетическая светимость серого тела:

R_э (T) = asT⁴. (5.3.4)

Если считать, что для тела человека коэффициент поглощения не зависит от температуры, то здесь a = 0,21.

Мощность излучения Р для абсолютно черного тела – это то количество тепла, которое излучает тело за единицу времени:

Р = R_эS, (5.3.5)

где S – площадь излучаемого тела, R_э – энергетическая светимость абсолютно черного тела.

Тепло, излучаемое абсолютно черным телом с площади S за время t, вычисляется по формуле

Q = R_эSt. (5.3.6)

Если тело серое, то (5.3.6) будет иметь вид:

Q = asT⁴St. (5.3.7)

Пример 16. Определите количество энергии, теряемое раздетым человеком за 1 минуту посредством излучения, если температура поверхности тела 33°С, а температура окружающей среды 18°С. Площадь поверхности тела принять равной 1,6 м².

Дано: Т₁ = 18°С = 291 К,

Т₂ = 33°С = 306 К,

S = 1,6 м².

t = 1 мин = 60 с.

Найти: DQ.

Решение. Для расчета количества тепла, теряемого человеком, будем использовать формулу (5.3.7) с учетом того, что для тела человека a = 0,21:

Q = asT⁴St,

Q₁ = asT₁⁴St, Q₂ = asT₂⁴St.

Искомое в задаче теряемое количество тепла:

DQ = Q₂ – Q₁ = asT₂⁴St – asT₁⁴St = 28,58 Дж.

Ответ: Q = 28,58 Дж.

Пример 17. Энергетическая светимость абсолютно черного тела составляет 3,0 Вт/см². Определить длину волны, отвечающую максимуму излучательной способности этого тела.

Дано: R_э = 3,0 Вт/см² = 30000 Вт/м²,

Найти: l_m.

Решение. Используем формулы законов смещения Вина и Стефана-Больцмана (5.3.2) и (5.3.3) соответственно. Выразим из (5.3.3) температуру и подставим в (5.3.2):

R_э (T) = sT⁴ Þ Т = (R_э/s)^1/4;

l_m ×T = b Þ l_m = b/T = b/(R_э/s)^1/4 = 3,4 мкм.

Ответ: l_m = 3,4 мкм.

Волны де Бройля

Длина волны де Бройля:

, (5.3.8)

где р – импульс частицы.

Если заряженная частица с зарядом q_e проходит ускоряющую разность потенциалов Dj, то за счет работы электрического поля она приобретает кинетическую энергию:

= = q_eDj, (5.3.9)

причем Dj = U (U – разность потенциалов – напряжение).

Поле, ускоряющее частицу, совершает работу:

= A. (5.3.10)

Если частица движется со скоростью V_0, импульс частицы будет равен p = mV₀, тогда длина волны де Бройля будет вычисляться по формуле:

. (5.3.11)

Пример 18. Электроны в электронном микроскопе ускоряются напряжением 100 В. Определите длину волны де Бройля электронов в конце процесса ускорения, работу электрического поля над электронами, скорость электронов в конце процесса ускорения. Масса электрона m_е = 9,1×10^{-31 кг.}

Дано: U = 100 В,

m_е = 9,1×10^{-31 кг,}

q_e = 1,6×10^-19 Кл.

Найти: l_Б, А, V.

Решение. Длину волны де Бройля найдем по формуле (5.3.8), импульс – из закона сохранения энергии (5.3.9) с учетом того факта, что Dj = U:

, = q_eDj = q_eU, имеем из (5.3.9):

p = , тогда, после подстановки полученного выражения для импульса в (5.3.8):

= 1,23×10^{-10 м.}

Работа электрического поля: А = q_eU = 1,6×10^-17 Дж.

Скорость электронов в конце процесса ускорения:

V = p/ m = / m = 5,93×10⁶ м/с.

Ответ: l_Б = 1,23×10^{-10 м, А =} q_eU = 1,6×10^-17 Дж, V = 5,93×10⁶ м/с.

Фотоны. Энергия фотонов

Энергия фотона вычисляется по формуле:

Е_ф = hn = hc/l, (5.3.12)

где h – постоянная Планка, n – частота фотона, c – скорость света, l – длина волны фотона.

Энергия импульса лазерного излучения, состоящего из N фотонов:

Е_имп = NЕ_ф = N hn = N hc/l. (5.3.13)

Кроме того:

Е_имп = Р×t, (5.3.14)

где Р – мощность светового импульса , t – длительность светового импульса.

Предел разрешения микроскопа:

Z . (5.3.15)

Разрешающая способность микроскопа:

A = 1/d. (5.3.16)

Числовая апертура микроскопа – это произведение показателя преломления среды и синуса апертурного угла: nsin(u/2).

Пример 19. Для сварки отслоившейся сетчатки используется лазер, работающий в импульсном режиме. Определить число фотонов в импульсе, если длина волны излучения составляет 640 нм, а энергия импульса равна 14 мДж. Чему станет равна мощность лазерного излучения, если за 1 с лазер будет излучать 3,2×10¹⁷ фотонов света? Какова энергия этого лазерного импульса, если он длится 0,01 с?

Дано: l = 640 нм = 640×10^{-9 м,}

Е_имп = 14 мДж = 14×10^-3 Дж,

t = 1 с,

N₂ = 3,2×10¹⁷,

t₁ = 0,01 с.

Найти: N₁, Р, W.

Решение. а) Число фотонов N₁в импульсе выразим из формулы (5.3.13) с учетом (5.3.12):

Е_имп = N₁Е_ф, где Е_ф = hn = hc/l, тогда

Е_имп = N₁ hn = N₁ hc/l Þ N₁ = Е_имп×l/ hc = 4,48×10¹⁶.

б) Мощность лазерного излучения выразим из формулы (5.3.14): Е_имп = Р×t.

Поскольку здесь энергия импульса Е_имп=N₂hn = N₂hc/l, то после подстановки в (5.3.14) получим окончательно

Р = Е_имп/t = N₂hc/(lt) = 0,1 Дж.

в) Энергию лазерного излучения рассчитаем по формуле (5.3.13) с учетом того, что за 0,01 секунду фотонов будет испущено лазером в 0,01 раз меньше, чем за одну секунду:

W = 0,01N₂ hn = 0,01N₂ hc/l = 9,94×10^-4 Дж.

Ответ: N₁ = 4,48×10¹⁶, Р = 0,1 Дж, W = 9,94×10^-4 Дж.

Пример 20. Найти предел разрешения электронного микроскопа, принимая во внимание, что кинетическая энергия электронов составляет 0,21×10^-16 Дж, а угловая апертура u = 10^-2 рад.

Дано: Е_к = 0,21×10^-13 Дж,

u = 10^-2 рад = 0,57°.

Найти: Z.

Решение. Чтобы найти предел разрешения электронного микроскопа, необходимо воспользоваться формулой (5.3.15):

Z ,

Здесь нам неизвестна длина волны электронов, и ее мы найдем (считая, что это длина волны де Бройля) из соотношения (5.3.8):

,

где импульс р электронов легко найти, учитывая, что в условии задачи дана кинетическая энергия электронов:

= = Е_к, откуда p = , поэтому

= 1,07×10^{-10 м.}

Подставим найденную длину волны в (5.3.15) и найдем предел разрешения микроскопа:

Z = (n = 1 по условию задачи) = 1,07×10^{-8 м.}

Разрешающая способность микроскопа при этом будет составлять, учитывая (5.3.16):

A = 1/d = 9,3×10⁷ м^-1.

Числовая апертура микроскопа: nsin(u/2) = 4,97×10^-3.

Ответ: d = 1,07×10^{-8 м.}

5.3.4. Электронный парамагнитный резонанс

Условие парамагнитного резонанса:

hn = hc/l = gm_БВ, (5.3.17)

где h – постоянная Планка, n – частота фотона, c – скорость света, l – длина волны фотона, g – множитель Ланде, m_Б = 9,27×10^-24 А×м² – магнетон Бора, В – индукция постоянного магнитного поля.

Пример 21. Электронный парамагнитный резонанс возникает при индукции постоянного магнитного поля В = 0,25 Тл. Определите длину волны, соответствующую поглощаемому высокочастотному электромагнитному полю. Множитель Ланде принять равным 2.

Дано: В = 0,25 Тл,

g = 2.

Найти: l.

Решение. Из формулы (5.3.17) выразим длину волны:

hc/l = gm_БВ Þ l = hc/gm_БВ = 0,043 м.

Ответ: l = 0,043 м.

Пример 22. В постоянное магнитное поле помещен атом, энергетические уровни которого характеризуются множителями Ланде 2/3 и 2. Как различаются длины волн резонансно поглощаемого электромагнитного излучения?

Дано: g₁ = 2/3,

g₂ = 2.

Найти: l₂/l₁.

Решение. Для решения задачи необходимо найти длины волн l₂ и l₁, для чего используем условие парамагнитного резонанса (5.3.17):

hc/l₁ = g₁m_БВ Þ l₁= hc/(g₁m_БВ);

hc/l₂ = g₂m_БВ Þ l₂= hc/(g₂m_БВ).

Отсюда

l₂/l₁ = g₁/g₂ = 0,333,

то есть длины волн различаются в три раза.

Ответ: различаются в три раза.