Основні рівняння динаміки точки. Перша задача динаміки точки

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна

Кафедра «Теоретична механіка»

Теоретична механіка

РОЗДІЛ «ДИНАМІКА ТОЧКИ»

Методичні вказівки та завдання для самостійної підготовки студентів
до тестового контролю

Укладачі:

Л. Г. Маслєєва,

В.А. Татарінова,

О.Л. Янгулова,

Л.О. Недужа,

О.І. Ахметова

для студентів денної форми навчання

Дніпропетровськ 2012

УДК 531

Укладачі:

доц. Маслєєва Людмила Григорівна,

доц. Татарінова Валентина Анатоліївна,

доц. Янгулова Ольга Леонідівна,

доц. Недужа Лариса Олександрівна,

ас. Ахметова Олена Іванівна

Рецензенти:

канд. техн. наук, доц. К.Г. Левчук (НТУУ «КПІ»)

канд. техн. наук, доц. Л.В. Урсуляк (ДІІТ)

Теоретична механіка. Розділ «Динаміка точки» [Текст]: методичні вказівки та завдання для самостійної підготовки студентів до тестового контролю / уклад. Маслєєва Л. Г., Татарінова В.А., Янгулова О.Л., Недужа Л.О., Ахметова О.І.; Дніпропетр. нац. ун-т залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна – Д.:Вид-во Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна, 2012. – 43 с.

Наведені приклади розв’язання типових тестових завдань з розділу «Динаміка точки». Подається також набір завдань для самостійної підготовки студентів до комп’ютерного тестування із застосуванням системи «Прометей».

Для студентів денної форми навчання.

Іл. 56. Бібліогр.: 4 назви.

Ó	Маслєєва Л. Г., Татарінова В.А., Янгулова О.Л., Недужа Л.О., Ахметова О.І., укладання, 2012
Ó	Вид-во Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна, редагування, оригінал-макет, 2012

ВСТУП

Тестові завдання та методичні вказівки до їх розв’язання розроблені для студентів денної форми навчання, що вивчають повний (двосеместровий) курс теоретичної механіки.

У методичних вказівках наведено перелік основних теоретичних питань з розділу «Динаміка точки», знаннями з яких повинен обов’язково володіти студент для успішного тестування, а також приклади розв’язання типових тестових завдань.

Для самопідготовки студентів до тестування та самоконтролю в методичних вказівках наведено також набір тестових завдань, правильні відповіді до яких подаються в розділі «Відповіді до тестових завдань».

1. Теоретичні питання

1. Предмет динаміки. Динаміка точки. Закони Ньютона. Основні рівняння динаміки точки

1.1. Що вивчає динаміка?

1.2. Як формулюється перший закон Ньютона (закон інерції)? другий закон Ньютона? третій закон Ньютона (про рівність дії і протидії)?

1.3. Який вигляд має основне рівняння динаміки точки у векторній формі?

1.4. Який вигляд має основне рівняння динаміки точки в проекціях на координатні осі (в плоскій системі координат xОy)?

1.5. Який вигляд мають диференціальні рівняння руху точки в проекціях на координатні осі (в плоскій системі координат xОy)?

2. Дві основні задачі динаміки точки

2.1. Перша (пряма) задача динаміки точки.

2.1.1. Як формулюється перша (пряма) задача динаміки точки?

2.1.2. Які методи існують для розв’язання першої задачі динаміки точки?

2.1.3. Як формулюється принцип Даламбера?

2.1.4. Який вигляд має рівняння, що виражає принцип Даламбера?

2.1.5. За якою формулою визначається вектор сили інерції? вектор її но-рмальної складової? тангенціальної складової?

2.1.6. Як спрямований вектор сили інерції? вектор її нормальної складової? тангенціальної складової?

2.2. Друга (зворотна) задача динаміки точки.

2.2.1. Як формулюється друга (зворотна) задача динаміки точки?

2.2.2. Які методи існують для розв’язання другої (зворотної) задачі динаміки точки?

2.2.3. За якою формулою визначається вектор кількості руху точки? Як він спрямований?

2.2.4. За якими формулами визначаються проекції вектора кількості руху точки на координатні осі (в плоскій системі координат xOy)?

2.2.5. За якою векторною формулою обчислюється імпульс змінної сили за деякий проміжок часу 0 ÷ t₁?

2.2.6. За якими формулами визначаються проекції імпульсу змінної сили на координатні осі (в плоскій системі координат xOy)?

2.2.7. Як формулюється теорема про зміну вектора кількості руху точки в диференціальній формі? в інтегральній формі?

2.2.8. Який математичний вираз описує теорему про зміну вектора кількості руху точки в диференціальній формі? в інтегральній формі?

2.2.9. Які математичні вирази представляють теорему про зміну кількості руху точки в проекціях на координатні осі (в плоскій системі координат xOy) в інтегральній формі? в диференціальній формі?

2.2.10. Які величини зв’язує теорема про зміну кількості руху точки? В яких випадках можна використовувати цю теорему для розв’язання другої задачі динаміки точки?

2.2.11. За якою формулою обчислюється кінетична енергія точки?

2.2.12. За якою інтегральною формулою обчислюється робота змінної сили на заданому переміщенні точки її прикладення 0 ÷ S₁?

2.2.13. За яким правилом обчислюється робота сталої сили на заданому переміщенні точки її прикладення 0 ÷ S₁?

2.2.14. В яких випадках робота сили дорівнює нулю? більше нуля? менше нуля?

2.2.15. За якою інтегральною формулою обчислюється робота змінного моменту сили (моменту пари), що прикладена до тіла, яке обертається?

2.2.16. За якою формулою обчислюється робота сталого моменту?

2.2.17. В яких випадках робота моменту більше нуля? менше нуля?

2.2.18. Як формулюється теорема про зміну кінетичної енергії точки? Який математичний вираз описує цю теорему?

2.2.19. Які величини зв’язує теорема про зміну кінетичної енергії точки? В яких випадках можна використовувати цю теорему для розв’язання другої задачі динаміки точки?

3. Коливання точки

3.1. Який рух точки називається коливальним?

3.2. Які коливання точки називаються вільними? Під дією яких сил вони відбуваються?

3.3. Який вигляд має диференціальне рівняння вільних коливань точки в середовищі без опору руху?

3.4. Який вигляд має розв’язок диференціального рівняння вільних коливань точки в середовищі без опору руху?

3.5. Як обчислюється амплітуда вільних коливань точки в середовищі без опору руху?

3.6. За якими формулами обчислюється циклічна частота та період вільних коливань точки в середовищі без опору руху?

3.7. Які характеристики коливального процесу при вільних коливаннях точки залежать від початкових умов задачі? Які не залежать від початкових умов задачі?

3.8. Які коливання точки називаються вимушеними? Під дією яких сил вони відбуваються?

3.9. Який вигляд має диференціальне рівняння вимушених коливань точки в середовищі без опору руху, якщо збурююча сила змінюється за законом ?

3.10. Яке явище називається резонансом? При якій умові воно відбувається?

3.11. Який вигляд має частинний розв’язок х₂ диференціального рівняння, що описує вимушені коливання точки в середовищі без опору руху у випадку, коли і ? Яку властивість при цьому має амплітуда чисто вимушених коливань точки?

3.12. Який вигляд має частинний розв’язок х₂ диференціального рівняння, що описує вимушені коливання точки в середовищі без опору руху у випадку, коли і ? Яку властивість при цьому має амплітуда чисто вимушених коливань?

3.13. Що характеризує коефіцієнт динамічності? За якою формулою він обчислюється у випадку, коли вимушені коливання точки відбуваються у середовищі без опору руху?

3.14. Як впливає співвідношення частот на значення коефіцієнта динамічності і амплітуду чисто вимушених коливань у випадку коливання точки в середовищі без опору руху?

3.15. Чи залежить амплітуда чисто вимушених коливань точки від початкових умов задачі? Від яких параметрів вона залежить?

2. Приклади РОЗВ’ЯЗАННЯ тестових завдань

Основні рівняння динаміки точки. Перша задача динаміки точки

Основне рівняння динаміки точки у векторній формі має вигляд: , де – маса точки, – вектор її прискорення, – векторна сума сил, що діють на точку в процесі руху.

При розв’язанні задач використовують скалярну форму рівняння динаміки – в проекціях на осі. В навчальних задачах, як правило, розглядають рух точки на площині, тому рівняння динаміки проектують на координатні осі (плоска система координат) – ; або на природні осі – ; _.

Основне рівняння динаміки точки приймає диференціальний вигляд, якщо проекції її прискорення на відповідні осі представити як похідні за часом від закону руху точки, наприклад, нехай закон руху точки представлений в координатній формі – ; тоді і , , тобто останні два рівняння динаміки точки допомагають сформулювати дві основні задачі динаміки точки.

Перша (пряма) задача динаміки точки може бути сформульована таким чином: по відомому закону руху точки (або відомим кінематичним характеристикам руху точки) треба визначити одну з сил, що діють на точку в процесі руху.

Існує два способи розв’язання першої (прямої) задачі динаміки точки:

1. за допомогою основного рівняння динаміки точки в проекціях на осі;

2. за допомогою принципу Даламбера, який ще називають методом кінетостатики.

Принцип Даламбера можна сформулювати таким чином: задачу динаміки точки про визначення невідомої сили можна розв’язувати за допомогою рівнянь рівноваги статики, якщо до усіх реально діючих сил уявно додати силу інерції.

Сила інерції залежить від маси точки та її прискорення, спрямована у бік, протилежний прискоренню, і визначається за формулою: .

П р и м і т к а. Якщо до реально діючих сил уявно додати силу інерції, то можна вважати, що ця сила точку, що рухається з прискоренням, немов переводе до стану статичної рівноваги. Тоді можна використовувати рівняння рівноваги статики для визначення невідомої сили.

Нижче наведені приклади складання основного рівняння динаміки точки та приклади розв’язання першої задачі динаміки точки.

Приклад 1.Вказати правильну відповідь.

Якщо сила ваги тіла А (рис. 1) має значення 100 H(P=100 H),сила тяги і сила тертя відповідно становлять 15 H і 5 H (T=15 H, =5 H), то тіло будерухатись вздовж осі x з прискоренням:

x

А

300

300

Рис. 1

1) а = 2,0м/с²; 2) а = 4,0 м/с²;

3) а = 6,0 м/с²; 4) а = 8,0 м/с².

Розв’язання.В даному прикладі розглядається рух тіла А униз по нахиленій площині, що розташована під кутом 30º до горизонту. Треба визначити прискорення тіла А, якщо відомі усі сили, що діють на нього під час руху.

Оскільки тіло А рухається поступально, то далі його будемо розглядати як точку.

Щоб відповісти на питання прикладу, треба скористатися основним рівнянням динаміки точки . Для отримання чисельних результатів це векторне рівняння треба записати в скалярному вигляді, тобто в проекціях на координатні осі. Так як рух тіла А, як точки, прямолінійний, то достатньо це рівняння спроектувати на напрямок руху, тобто на задану вісь x:

;

тут прискорення точки проектується на вісь x в натуральну величину – , а сума проекцій усіх сил на вісь x становить:

Масу точки визначимо через силу ваги за формулою

Тоді рівняння динаміки приймає вигляд: . Звідки прискорення тіла А, як точки, дорівнює м/с².

Отже, правильною буде відповідь 3).

Приклад 2. Вказати правильну відповідь. Прискорення вільного падіння g прийняти рівним 10 м/с².

Якщо маса вантажу (рис. 2) m = 60 кг, а його прискорення a = 6 м/с², то сила натягу канату, за допомогою якого піднімається вантаж, дорівнює:

1) T = 960 H; 2) T = 100 H;

3) T = 196 H; 4) T = 260 H.

Рис.2

x

Розв’язання. Із умови прикладу випливає, що вантаж, який далі будемо розглядати як точку (оскільки він рухається поступально), піднімається уверх вздовж вертикальної прямої з заданим прискоренням . При цьому на вантаж діє сила ваги і реакція канату , яку треба визначити. Тобто рух вантажу відомий, знайти силу .

Цей приклад відноситься до першої задачі динаміки точки: рух точки відомий, знайти одну з сил, що діє на точку в процесі руху. Задачу можна розв’язати за допомогою основного рівняння динаміки точки або за принципом Даламбера.

Розв’яжемо приклад за допомогою основного рівняння динаміки точки, яке у векторній формі записується як , а в проекціях на вісь , що проведена вздовж напряму руху вантажу, приймає вигляд , де і – це відповідно проекція вектора прискорення на вісь і сума проекцій на вісь усіх сил, що діють на вантаж в процесі руху.

Тоді ; і основне рівняння динаміки точки приймає вигляд: , звідки

Н.

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад3. Вказати правильну відповідь. Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр. Прискорення вільного падіння g прийняти рівним 10 м/с².

Якщо візок (рис. 3) масою 20 кг з’їжджає в заглиблення радіусом R=10 м та його швидкість у положенні “1” дорівнює 4 м/с,то сила тиску візка на поверхню у цьому положенні дорівнює:

Рис. 3

R

“1”

45º

1) N = 600 H; 3) N = 19,6 H;

2) N = 296 H; 4) N = 173 H.

Розв’язання. Треба зауважити, що сила тиску візка на поверхню дорівнює реакції поверхні (рис. 3), тобто силі, з якою поверхня діє на візок. Вказані сили (за третім законом Ньютона – дія дорівнює протидії) рівні за величиною і протилежні за напрямком.

Щоб відповісти на питання прикладу, необхідно розглянути рух візка як точки, на яку діє активна сила ваги і реакція опорної поверхні (рис.3). Тоді цю задачу треба розв’язувати як першу задачу динаміки точки: рух візка, як точки, відомий – він відбувається по круговій кривій заданого радіуса і задане положення “1” візок проходить з відомою швидкістю 4 м/с; треба знайти одну з сил, що діє на точку в процесі руху – реакцію поверхні . Її можна визначити, наприклад, за допомогою основного рівняння динаміки точки.

Спроектуємо векторний вираз цього рівняння на нормаль n:

; сума проекцій цих сил на нормаль дорівнює і рівняння динаміки точки в проекціях на вказану вісь приймає вигляд: . Тоді величина сили буде такою:

Н.

Тиск візка на поверхню за величиною дорівнює реакції поверхні і приймає значення 173 Н.

Отже, правильною буде відповідь 4).

Приклад 4.Вказати правильну відповідь. Прискорення вільного падіння gприйняти рівним 10 м/с². Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр.

Якщо тягарець Амасою m = 2 кг,який прикріплено до невагомого стержня довжиною ОА = 1 м, проходить положення “1”зі швидкістю V₁ = 1,5 м/с (рис. 4),то при значенні кута φ₁ = 240º реакція стержня (за абсолютною величиною) в цьому положенні буде такою:

“0”

“1”

Рис. 4

φ1

A

O

1) N₁=14,5 Н; 2) N₁=9,05 Н;

3) N₁=12,0 Н; 4) N₁=10,2 Н.

Розв’язання.В даному прикладі розглядається рух тягарця А як точки у вертикальній площині по круговій кривій радіуса ОА. Відома швидкість цієї точки в заданому її положенні, а треба визначити реакцію стержня ОА,який є в’язью для тіла А.

В прикладі відомі кінематичні характеристики руху тіла Аяк точки − траєкторія руху точки, швидкість точки в заданому її положенні; а треба знайти силу − реакцію стержня в цьому положенні.

Перший спосіб. Розв’яжемо приклад за допомогою основного рівняння динаміки точки: . Для отримання чисельних результатів це векторне рівняння треба записати в скалярному вигляді, тобто в проекціях на осі.

60º

Рис. 5

30º

A

O

y

x

На рис. 5 зображені сили, що діють на точку А в заданому положенні − сила ваги та реакція стержня ; тут показані також вектори швидкості, нормального і тангенціального прискорення точки. Оскільки усі вектори розташовані в одній площині і треба визначити силу , то осі необхідно теж розмістити в цій площині і одну з осей провести вздовж невідомої сили (вісь y на рис. 5).

Тоді достатньо скласти рівняння динаміки в проекціях на вісь y: ; ; ; . Звідки .

Значення нормального прискорення і сили ваги точки обчислюються за формулами: .

Тоді

Н.

Отже, правильною буде відповідь 1).

Другий спосіб. Розв’яжемо тепер приклад за допомогою принципу Даламбера. Оскільки при розв’язанні задач прискорення точки доцільно розкладати на складові вектори, то і силу інерції тоді теж необхідно представляти складовими векторами, кожний з яких спрямований у бік протилежний відповідному складовому прискоренню.

Рис. 6

60º

30º

A

O

y

Щоб скористуватися в даному прикладі рівняннями рівноваги статики для визначення невідомої сили , додамо (відповідно принципу Даламбера) до реально діючих сил і силу інерції . Так як вектор прискорення точки зручно представляти тут двома складовими векторами − нормальним і тангенціальним прискореннями ( і ), то і силу інерції представимо відповідними складовими векторами − і (рис. 6).

Абсолютні значення цих векторів обчислюються за формулами , а напрямки їх будуть такими (рис. 6): вектор спрямований протилежно нормальному прискоренню, а вектор − протилежно тангенціальному.

Тепер можна вважати, що на точку А діють сили , , і , що утворюють плоску збіжну систему сил, яка знаходиться в рівновазі; для неї можна скласти рівняння рівноваги і знайти невідому силу: ; ;

;

Н.

Отже, правильною буде відповідь 1).

П р и м і т к а.Розв’язуючіаналогічні тестові завдання, можна не замислюватись про дійсний напрямок невідомої реакції в’язі (наприклад, напрямок ). Головне правильно вказати лінію дії невідомої сили (наприклад, реакція стержня спрямована вздовж стержня). Якщо напрямок не вгаданий, то сила в результаті обчислень набуває від’ємне значення. Але у відповіді треба надати абсолютне значення знайденої сили (див. умову прикладу).