Физические основы механики

ПОЯСНЕНИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ

Изучать основы классической механики надо исходя из представлений современной физики, в которой основные понятия классической механики не утратили своего значения, а лишь получили дальнейшее развитие, обобщение и критическую оценку с точки зрения их применения. Следует помнить, что механика – это наука о простейших формах движения материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между телами. Движение всегда существует в пространстве и во времени. Пространство и время являются основными формами существования материи. Предметом классической механики является движение макроскопических материальных тел, совершаемое со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света в вакууме. Движение частиц со скоростями порядка скорости света рассматривается в теории относительности.

Решая задачи по кинематике, в которых необходимо использовать математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления, студент должен научиться определять мгновенные скорость и ускорение по заданной зависимости координаты от времени и решать обратные задачи.

Задачи на динамику материальной точки и поступательного движения твердого тела охватывают такие вопросы, как закон движения центра масс механической системы, закон сохранения количества движения, работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл, связь кинетической энергии механической системы с работой сил, приложенных к этой системе, закон сохранения механической энергии. Тщательного изучения и понимания требует вопросы о поле как форме материи, осуществляющей взаимодействие между частицами вещества или телами, о потенциальной энергии материальной точки во внешнем поле и потенциальной энергии механической системы. Эти вопросы рассматриваются в задачах на примере гравитационного поля.

В задачах на кинематику и динамику вращательного движения твердого тела главное внимание уделялось изучению соотношений между линейными и угловыми характеристиками, понятий момента силы, момента инерции тела, законов сохранения количества движения и механической энергии.

В контрольную работу включены задачи по элементам теории относительности, которые охватывают следующие вопросы: относительность одновременности, длин и промежутков времени, релятивистский закон сложения скоростей, зависимость релятивистской массы от скорости, соотношение между релятивистской массой и полной энергией. Решая эти задачи, студент должен усвоить, что законы классической механики имеют границу применимости, и что они получаются как следствие теории относительности.

Задачи на механические колебания охватывают такие вопросы, как определение амплитуды, скорости, ускорения, энергии при механических колебаниях. Волновые процессы представлены задачами, в которых определяются период, длина, скорость распространения, энергия и объемная плотность энергии механических волн.

Основные законы и формулы

Мгновенная скорость	v=dr/dt
Мгновенное ускорение	a=dv/dt
Тангенциальное ускорение	at=dv/dt
Нормальное ускорение	an=v2/R
Полное ускорение	a=an+ at
Угловая скорость	w=dj/dt
Угловая скорость для равномерного вращательного движения	w=2pn
Угловое ускорение	e=dw/dt
Уравнения равнопеременного вращательного движения	w=w0+et j=w0t+et2/2
Связь между линейными и угловыми характеристиками вращательного движения	S=jR v=wR
Второй закон Ньютона для поступательного движения	F=dp/dt
то же, при m=const	F=ma
Импульс материальной точки массы m, движущейся со скоростью v	P=mv
Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел	Pc=const
Сила трения	Fтр=kN
Работа переменной силы на пути s
Мощность	N=dA/dt
Сила упругости	Fупр=kDx
Сила гравитационного взаимодействия
Потенциальная энергия упругодеформированного тела
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела, находящегося в однородном поле тяжести
Кинетическая энергия тела
Закон сохранения механической энергии
Момент инерции материальной точки
Моменты инерции некоторых тел массой m:
сплошного цилиндра (диска) радиуса R относительно оси вращения, совпадающей с осью цилиндра
полого цилиндра радиуса R относительно оси вращения, совпадающей с осью цилиндра
шара радиуса R относительно оси вращения, проходящей через центр масс шара

Вариант	Номер задачи в контрольной работе

Контрольная работа № 1

1. Уравнение движения материальной точки по прямой имеет вид x=A+Bt+Ct² , где А=2м, В=2 м/с, С=-0,5 м/с². Найти момент времени, в который скорость точки v=0. Чему равны координата x и ускорение точки а в этот момент времени?

2. Частица движется вдоль прямой по закону x=A+Bt+Ct³ , где А=3 м, В=2,5 м/с, С=0,25м/c³. Найти средние значения скорости и ускорения за интервал времени от t₁=1 с до t₂=6 с.

3. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением s=A+Bt+Ct²+Dt³ , где С=0,14 м/с², D=0,01 м/с³. Через какое время после начала движения тело будет иметь ускорение а=1 м/с²? Найти среднее ускорение тела за этот промежуток времени.

4. При прямолинейном движении тела массой 1 кг изменение его координаты со временем происходит по закону x=5t-10t². Найти силу, действующую на тело.

5. Определить силу, действующую на тело через 3 с после начала действия, и скорость в конце третьей секунды, если тело массой 3 кг движется с ускорением, изменяющимся по закону a=10t-10; v₀=0.

6. По условию предыдущей задачи определить силу, действующую на тело через 5 с после начала действия, и путь, пройденный телом за это время.

7. Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы 15 Н. Зависимость координаты от времени имеет вид x=10-5t+2t². Найти массу тела.

8. Найти зависимость скорости от времени и силу, действующую на тело массой 0,1 кг в конце третьей секунды, если координата со временем изменяется по закону x=2t-t²+3t³.

9. Точка движется по окружности радиусом 1 м согласно уравнению s=8t-0,2t³. Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент времени 2 с.

10. Точка движется по окружности радиусом R=2 см согласно уравнению s=Сt³, где С=0,1см/с³. Найти нормальное, тангенциальное и полное ускорение точки в момент, когда линейная скорость точки v=0,3 м/с.

11. Точка движется по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти тангенциальное ускорение точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки v=79,2 см/с.

12. Точка движется по окружности радиусом R=10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти нормальное ускорение точки через время t=20 c после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки v=10 см/с.

13. Колесо радиусом R=10 см вращается с угловым ускорением e=3,14 рад/с². Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения угловую скорость, линейную скорость, тангенциальное ускорение, нормальное ускорение и полное ускорение.

14. Колесо, вращаясь равноускоренно, через время 1 мин после начала вращения приобретает частоту 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за это время.

15. Вентилятор вращается с частотой 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 об. Какое время прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки.

16. Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время t=1 мин уменьшило свою частоту с n₁=300 об/мин до n₂=180 об/мин. Найти угловое ускорение e колеса и число оборотов N колеса за это время.

17. Вал вращается с частотой 180 об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением 3 рад/c². Через какое время вал остановится? Сколько он сделает оборотов до остановки?

18. Диск, вращаясь вокруг оси, проходящей через его середину, делает 180 об/мин. Определить линейную скорость вращения точек на внешней окружности диска и его радиус, если известно, что точки, лежащие ближе к оси вращения на 8 см, имеют скорость 8 м/с.

19. Материальная точка, находящаяся в покое, начала двигаться по окружности с постоянным тангенциальным ускорением 0,6 м/с². Определить нормальное и полное ускорения точки в конце пятой секунды после начала движения. Сколько оборотов сделает точка за это время, если радиус окружности 5 см?

20. Точка движется по окружности радиусом 15 см с постоянным тангенциальным ускорением. К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки 15 см/с. Определить нормальное ускорение точки через 16 с после начала движения.

21. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью относительно инерциальной системы отсчета. При каком значении скорости длина стержня в этой системе отсчета будет на 1 % меньше длины покоящегося стержня?

22. p-мезон – нестабильная частица. Собственное время жизни его 2,6×10^-8 с. Какое расстояние пролетит p-мезон до распада, если он движется со скоростью 0,99×С (С -скорость света в вакууме)?

23. По условию предыдущей задачи определить, на сколько расстояние, пролетаемое p-мезоном, при релятивистском замедлении времени больше, чем если бы такого замедления не было.

24. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились в 2 раза?

25. При какой относительной скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит 50%?

26. Радиоактивное ядро, вылетевшее из ускорителя со скоростью 0,4×С (С – скорость света в вакууме), выбросило в направлении своего движения b-частицу со скоростью 0,75×С относительно ускорителя. Найти скорость частицы относительно ядра.

27. Найти собственное время жизни нестабильной частицы m-мезона, движущегося со скоростью 0,99×С, если расстояние, пролетаемое до распада, равно примерно 10 км.

28. Собственное время жизни p-мезона 2,6×10^-8 с. Чему равно время жизни p-мезона для наблюдателя, относительно которого эта частица движется со скоростью 0,95×С?

29. Электрон, скорость которого 0,97×С (С – скорость света в вакууме), движется навстречу протону, имеющему скорость 0,5×С. Определить скорость их относительного движения.

30. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями 0,9×С. Определить скорость их относительного движения.

31. Материальная точка массой 20 г движется по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. К концу пятого оборота после начала движения кинетическая энергия материальной точки оказалась равной 6,3 мДж. Определить тангенциальное ускорение.

32. Шар массой 4 кг движется со скоростью 2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой 1 кг. Вычислить работу, совершенную вследствие деформации шаров при прямом центральном ударе. Шары считать неупругими.

33. Автомобиль массой 5 т движется равнозамедленно при торможении. При этом в течение 10 с его скорость уменьшается от 72 км/ч до 54 км/ч. Найти силу торможения.

34. Для того, чтобы растянуть пружину на 2 см, требуется приложить силу 40 Н. Какая работа совершается при сжатии пружины на 5 см?

35. Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 3 кг со скоростью 8 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков об лед 0,02?

36. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую и потенциальную энергии камня через 1 с после начала движения. Масса камня 0,2 кг.

37. Камень падает с некоторой высоты в течение времени 1,43 с. Найти кинетическую и потенциальную энергии камня в средней точке пути. Масса камня 2 кг.

38. Определить работу, совершаемую при подъеме груза массой 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона a=30° к горизонту на расстояние 4 м, если время подъема 2 с, а коэффициент трения 0,06.

39. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на какой высоте кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии.

40. Подвешенный на нити шарик массой 200 г отклоняют на угол 45°. Определить силу натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия.

41. Стержень массой 2 кг и длиной 1м может вращаться вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню. В конец стержня попадает пуля массой 10 г, летящая перпендикулярно оси и стержню со скоростью 500 м/с. Определить угловую скорость, с которой начнет вращаться стержень, если пуля застрянет в нем.

42. Сплошной цилиндр массой 10 кг катится без скольжения с постоянной скоростью 10 м/с. Определить кинетическую энергию цилиндра и время до его остановки, если на него подействует сила 50 Н.

43. Сплошной шар скатывается по наклонной плоскости, длина которой 10 м и угол наклона 30°. Определить скорость шара в конце наклонной плоскости.

44. Полый цилиндр массой 2 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 20 м/с. Определить силу, которую необходимо приложить к цилиндру, чтобы остановить его на пути 1,6 м.

45. Маховик, имеющий форму диска массой 30 кг и радиусом 10 см, был раскручен до частоты 300 мин^-1. Под действием силы трения диск остановился через 20 с. Найти момент силы трения, считая его постоянным.

46. Какой скоростью должен обладать шар, катящийся без скольжения, чтобы подняться по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°, на высоту 2 м, если сила сопротивления равна 0,2 веса шара? Чему равно время подъема?

47. Сначала диск, а потом обруч скатываются с наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Чему равны их ускорения?

48. Шар и сплошной цилиндр имеют одинаковую массу (5 кг каждый) и катятся с одинаковой скоростью 10 м/с. Найти кинетические энергии этих тел.

49. Катящийся цилиндр массой 2 кг остановлен силой 9,81 Н на пути 0,5 м. Вычислить скорость цилиндра до торможения.

50. Маховик и легкий шкив насажены на горизонтальную ось. К шкиву с помощью нити привязан груз, который, опускаясь равноускоренно, прошел 2 м за 4 с. Момент инерции маховика 0,05 кг×м². Определить массу груза, если радиус шкива 6 см. Массой шкива пренебречь.

51. К пружине жесткостью 8 кН/м подвешен груз, который колеблется с амплитудой 1,5 см. Определить максимальную кинетическую энергию груза.

52. Материальная точка, масса которой 4 г, колеблется с амплитудой 4 см и частотой 0.5 Гц. Какова скорость точки в положении, где смещение 2 см?

53. Амплитуда колебания груза, подвешенного на пружине, 2 см, максимальная кинетическая энергия 0,4 Дж. Определить жесткость пружины.

54. Уравнение гармонического колебания имеет вид S=2cos(150t+0,5). Определить амплитуду, частоту, период и начальную фазу колебания.

55. Для материальной точки массой 10 г определить полную энергию и максимальную возвращающую силу по условию предыдущей задачи.

56. Материальная точка имеет наибольшее смещение 0,25 м и максимальную скорость 0,5 м/с. Написать уравнение гармонического колебания и определить максимальное ускорение точки.

57. Точка совершает гармонические колебания с периодом 6 с и начальной фазой, равной нулю. Определить, за какое время, считая от начала движения, точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды.

58. Материальная точка совершает колебание согласно уравнению x=Asinwt. В какой-то момент времени смещение точки x₁=15 см. При возрастании фазы колебаний в 2 раза смещение x₂=24 см. Определить амплитуду А колебаний.

59. Однородный диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 15 см от центра диска. Определить период колебаний диска относительно этой оси.

60. Тонкий обруч радиусом 50 см подвешен на вбитый в стену гвоздь и колеблется в плоскости, параллельно стене. Определить период колебаний обруча.