Такырыбы: Нүкте кинематикасы

Есептің шарты. В нүктесі ХОУ жазықтығында сәйкесінше және теңдеулерімен қозғалады, өлшемдері сантиметрмен, t - секундпен. Х=f₁(t) теңдеуі есептеу схемасында көрсетілген.(сурет 3.) указана (траекториясы шартты түрде суретте көрсетілген), aл Ү= f₂(t) теңдеуі 3 кестеде келтірілген.

3 кестеде берілген t₁ уақыт моменті үшін:

1. Нүкте траекториясының теңдеуін;

2. Нүкте қозғалысының жылдамдығын;

3. Үдеу: толық, нормаль, жанама;

4. Траектория қисығының радиусын.

Есептішешудің жалпы әдісі.

1. Траекторияның теңдеуін анықтау үшін, қозғалыс теңдеуінен t уақытты
шығарып, у-ті х-тің функциясы ретінде өрнектеу керек.

2. Х=f₁(t) және Ү= f₂(t) қозғалыс теңдеулерінен туынды алып, жылдамдық
векторларының сәйкес координата өстеріндегі проекцияларын анықтаймыз, ал
жылдамдыктың өзін келесі тәуелділіктен анықтаймыз:

-модуль – V²= V_x²+V_y²

-вектор – V=V_x+V_y

3. Қозғалыс теңдеуінен екінші туындыалып, немесе жылдамдық проекциясынан бірінші туынды алып, үдеу векторының проекциясының мәнін аламыз, сонымен толық үдеуді келесі тәуелділіктенанықтаймыз:

-модуль - a²= a_x²+a_y²

-вектор - a=a_x+a_y

4. Жанама үдеу нүкте жылдамдығының уакыты бойынша бірінші туындысы ретінде анықталады.

а_τ=dV/dt

5. Толық үдеуді жанама және нормальға жіктей отырып, соңғысын
анықтаймыз.

6. Берілген уақыттағы нүкте қисығының радиусы келесі өрнекпен анықталады:

а_n=V²/ρ

Сурет 3. №3 есебінің схемасы

Кесте 3

№3 есебінің варианттарының берілгені

№3 есебіне мысал

Есептің шарты. В нүктесі хоу жазықтығында х =-2соs(π/4*t)+ 3; у=2sin(π/4*t) -1

теңдеуі бойынша қозғалуда. t₁= 1с уақыт моменті үшін: траектория теңдеуін, жылдамдығын, үдеуін және траектория қисығының радиусын анықтау керек.

Осы кинематикалық параметрлерді графикалық түрде көрсету керек.

1. Берілген қозғалыс теңдеуінен t параметірін шығарып тастау үшін тригонометриялық келтіру формулаларын қолданған ыңғайлы, мысалға косинус қос бұрышы: cos2α =1-2sіn²α (1)

X өсі бойындағы қозғалыс тендеуінен:

соs(π/4*t)=(3-х)/2=1- 2 sіn²α(π/8*t)

У өсі бойындағы қозғалыс теңдеуінен өрнектейтініміз:

sіn²α(π/8*t)=((у+1)/2)²

осы мәндерді бірінші теңдеуге қойып алатынымыз:

(3-х)/2=1- 2((у+1)/2)² ; немесе түрлендіргеннен кейін табатынымыз

х = (у+1)² +1; - квадраттық парабола теңдеуі.

2. Нүкте жылдамдығын, оның координата өстеріндегі проекциялары бойынша анықтаймыз:

осы өрнектерге t₁= 1с мәнін қойып табатынымыз:

V_x1= π/2sin (π/4*1)=(3,14/2)*0,707=1,11 cм/с

V_у1= π/4cos (π/4*1)=(3,14/2)*0,924=0,73 cм/с

3. В нүктесінің үдеуін келесі тәуелділіктен анықтаймыз:

а_х= dV_х /dt = π²/8соs( π/4*t) ;

a_y= dV_Y/ dt= - π²/32sin( π/8*t) ;

берілген t₁ =1с мәнін қойып, үдеудің және оның құраушыларының сандық мәнін анықтаймыз:

а_х1 = π²/8соs( π/4*1) = 3.14/8*0.707= 0.87 cм/с²;

a_y1= - π²/32sin( π/8*1)= 3.14²/32 *sin22⁰30'= -0.12 cм/с²;

cм/с²;

4. Жанама үдеуді уақыт бойынша жылдамдықтың бірінші туындысы ретінде анықтаймыз:

a_τ= dV/dt. Ол үшін V²= V_x²+V_y² өрнегінен дефференциал аламыз:

2 VdV/dt = 2 V_х dV_х /dt+2 V_y dV_y /dt;

dV/dt арқылы шешіп табатынымыз:

a_τ= dV/dt= (V_х а_х+V_y a_y)/ V;

t =1c момент уақыты үшін жылдамдықтың және үдеудің құраушыларының мәнін қойып, табатынымыз:

a_τ=(1.11*0.87+0.73*(-0.12)) /1.33 = 0.66 cм/с²;

5. Нормаль үдеу:

cм/с²

6. Траекторияның қисығының радиусы келесі формуламен анықталады:

ρ= V²/a_n ; ρ₁= 1.33²/0.58=3.05 cм

7. В нүктесінің траекториясының бірбөлігін суреттегідей етіп көрсетейік,

ол үшін алдын ала таблица құрамыз:

У	-3	-2	-1
X		2

Таблицадағы У мәнін беріп, X мәнін табылған х=(у+1)³+1 траектория теңдеуі бойынша анықтаймыз:

Сурет 3.1 Нүкте қозғалыс треакториясының графигі

t₁=1с момент уақытандағы В нүктесінің траектория бойындағы орнын анықтаймыз, ол үшін t₁ мәнін берілген қозғалыс тендеуіне қойып Х₁ және У₁ нүктелерінің координаталарын анықтаймыз:

Х₁=-2cos( π/4*1)+3=-2*0.707+3=1.58 [см]

У₁=2sіn(π/8*1)-1=2sin22°30'-1=-0,23[см]

Табылған мәндер бойынша В нүктесінің траектория бойындағы орнын белгілейміз. (сурет 3.1)

Жылдамдықтың векторын және олардың кұраушыларын тұрғызу үшін масштаб қабылдаймыз:

μ_{v =} 2.74 см/(см/с),олай болса векторлардың ұзындығы:

V х₁=1,111* μ_v =1,11*2,74=3 [см]

V у₁=0,73*2,74=2 [см]

V₁=1,33*2,74=3,6 [см]

Векторларды суретте көрсетеміз.

Үдеулердің векторларын және олардың құраушыларын тұрғызу үшін μ_а =2,74 см/(см/с²), масштабын қабылдаймыз, олай болса векторлардың ұзындығы:

a_x1=0,87* μ_а =0,87*4,6= 4 [см]

а_у1=-0,12*4,6=-0,6 [см]

а₁=0,8*4,6= 4 [см]

а_τ=0,66*4,6= 3 [см]

а_n=0,58*4,6= 2,7 [см]

Осы векторларды суретте көрсетеміз.

Ескерту. Масштаб коэффиценті суреттің көрнекті болуын қамтамасыз етуі керек. Векторлардың ұзындығын 1-5 см аралығында алған дұрыс. Мысалы, біздің есебімізде жылдамдықтың үш мәнінің кішісі (Vу₁ жылдамлық векторы) 2-ге тең етіп аламыз, олай болса жылдамдықтың масштабы:

μ_v=2/0.73=2.7397

Дөңгелектеп алатынымыз: μ_v =2,74 см/(см/с),

Есеп №4