Закон изменения и сохранения момента импульса системы материальных точек

+

O

i

i

Рассмотрим систему материальных точек, которые взаимодействуют меж собой и подвержены воздействию извне. Результирующий момент сил, действующих на систему материальных точек, равен сумме моментов сил, действующих на отдельные точки. Общий момент сил внутреннего попарного взаимодействия равен нулю, поэтому изменение полного момента импульса системы материальных точек определяется только результирующим моментом внешних сил.Если система материальных точек является замкнутой, то полный момент импульса остается неизменным.

Момент импульса материальной точки относительно оси

Имеется существенное различие между понятиями момент импульса относительно материальной точки и относительно оси. Проекция момента импульса материальной точки относительно любой точки, лежащей на оси вращения, одинакова и обозначается как L_zo . Это и есть момент импульса материальной точки относительно оси. Если момент импульса материальной точки относительно точки является векторной величиной, то момент импульса относительно оси – это проекция на ось его момента относительно точки, лежащей на оси. Таким образом, момент импульса относительно оси уже не является векторной величиной.

Лекция №7

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Вращательное движение твердого тела относительно неподвижной оси

i

i

i

Δmi

Момент импульса твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить как сумму моментов отдельных материальных точек, его составляющих. Поскольку всеDL_i направлены вдоль оси вращения, суммарный момент импульса материальных точек твердого тела есть арифметическая суммаDL_i

Переходя к угловой скорости вращения ω , одинаковой для всех DL_{i ,} получим: , где

-

момент инерции

Момент инерции служит мерой инертности твердого тела при вращательном движении, поскольку в данном случае инертность тела определяется не только его массой, но и ее распределением относительно оси вращения.

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО

ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Как и в случае системы материальных точек для твердого тела, на которое не действуют внешние силы, момент импульса остается неизменным во времени

R

m

Моменты инерции различных по форме тел

материальная точка

Тонкостенный цилиндр

Сплошной цилиндр или диск

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр

Центр масс

0´

А

А´

ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА.

Теорема Штейнера устанавливает связь между моментом инерции твердого тела относительно оси, проходящей через центр масс, и любой другой осью, параллельной исходной

Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен моменту инерции этого тела относительно оси, параллельной исходной, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Примечание. Поскольку момент инерции J зависит как от массы, так и ее распределения относительно оси вращения, то J изменяется не только при смещении тела, но и его повороте относительно оси вращения.