Розв’язування

Приклад

Механічна система (рис.*) складається з чотирьох тіл, маси яких відповідно дорівнюють m1, m2, m3, m4. Тіло 2 рухається по похилій шорсткій площині, коефіцієнт тертя ковзання при русі тіла 2f. Блок 3 – східчастий, причому радіусі його ступенів r та R, де 2r=R, радіус інерції і_3х . Блок 4 має радіус r.

Скласти диференціальні рівняння руху механічної системи, якщо тіла з’єднані невагомими нерозтяжними нитками.

Розв’язування

Розглядаємо рух механічної системи з чотирьох тіл, з’єднаних між собою нерозтяжними нитками. Застосуємо рівняння Лагранжа ІІ роду у вигляді ( ).

Розглядувана механічна система має 2 степеня вільності. За узагальнені координати (їх число дорівнює числу степеней вільності ) приймемо

Тоді рівняння Лагранжа ІІ роду в наведеній задачі мають вигляд:

(а)

Розглянемо спочатку ліві частини (а). Для цього складемо вираз кінетичної енергії системи в узагальнених швидкостях.

Так тіло 2 в поступальному русі, то його кінетична енергія

або , бо

Тіло 3 в обертальному русі навколо нерухомої осі, його кінетична енергія

, де

Визначимо через швидкість точки К, яка належить тілу 3 і при цьому її швидкість дорівнює (так як точка К і тіло 2 з’єднані однією віткою нитки):

, тоді , а

.

Тіло 4 в плоско-паралельному русі, його кінетична енергія

. Тут , ; . (б)

Тоді

Тіло 1 знаходиться у складному поступальному русі. Його кінетична енергія . При цьому . (в)

Отже,

Вираз кінетичної енергії системи має вигляд

Проведемо операції, зазначені в лівих частинах рівнянь Лагранжа ІІ роду для розглядуваної задачі (а):

Перейдемо до розгляду правих частин виразів (а), а саме визначимо узагальнені сили як коефіцієнти, що стоять у виразі суми можливих робіт всіх активних сил, що діють на тіла системи, при відповідних варіаціях узагальнених координат.

Активними силами є сили ваги всіх тіл, а також сила тертя ковзання тіла 1.

Так як нитка невагома, абсолютно гнучка і нерозтяжна, а на осі блока тертя відсутнє, то їх вважаємо ідеальними в’язями. Похилу площину також вважаємо ідеальною в’яззю за умови, що дотичну складову її реакції, а саме силу тертя ковзання, віднесемо до активних сил.

Виразимо і через і , через користуючись кінематичними залежностями (б) і (в):

Отже

З останнього виразу отримуємо узагальнені сили

Підставляємо всі отримані при розв’язуванні задачі співвідношення в (а) і знаходимо диференціальні рівняння руху механічної системи:

Висновок: Пропонуємо студентам порівняти отримані результати при розв’язуванні задачі за допомогою загального рівняння динаміки та з використанням рівнянь Лагранжа ІІ роду. Очевидно, що вони збігаються.