Еркін және еріксіз механикалық тербелістердің дифференциал көріністері және олардың шешімдері. Резонанс.

Еркін тербелістер

Біз қозғалысын қарастырып отырған денелер тобын механикада денелер жүйесі немесе жай ғана жүйе деп атайды. Жүйеге енетін денелер арасындағы әрекет ететін күштерді ішкі күштер, ал жүйеге енбейтін денелер тарапынан жүйе денелеріне әрекет ететін күштерді сыртқы күштер дейді.

Тербелістердің ең карапайым түрі — жүйе тепе-теңдік күйінен ауытқығаннан кейін ішкі күштердің әрекетінен пайда болатын тербелістер. Ондай тербелістер еркін тербелістерге жатады.

Еркін тербелістер деп дене тепе-теңдік күйінен шығарылғаннан соң сыртқы күштің әрекетінсіз болатын тербелістерді айтады. Серіппеге бекітілген жүктің не жіпке ілінген жүктің тербелістері еркін тербелістерге мысал бола алады. Алдыңғы тақырыпта алынған тербеліс периодының формулалары осы еркін тербелістерге қатысты.

Еркін тербелістердің жиілігін жүйенің меншікті тербеліс жиілігі немесе меншікті жиілік деп те атайды. Тербелістің меншікті жиілігі тербелмелі жүйенің қасиеттеріне, яғни серіппелі маятникте дененің массасы мен серіппенің қатаңдығына, ал математикалық маятникте оның ұзындығына байланысты анықталады.

Сонымен, серіппелі және математикалық маятниктер еркін тербелістер жасайды. Мұндай тербелістер табиғатта кептеп кездеседі.

Маятниктердің тербелістерімен танысқаннан кейін, бізге енді дене қандай жағдайда еркін тербелістер жасайтынын ұғыну қиын емес. Біріншіден, тербелмелі жүйеде біріне-бірі "ұқсас" күштер әрекет етуі керек. Серіппелі маятникте бұл — серпімділік күші.

Оның координаталар осіне түсірілген проекциясы (Ғх = -kx) серіппенің деформациясына, яғни дененің ығысуына пропорционал болады. Бұл күш тербелген дененің тепе-теңдік күйіне қарай бағытталған. Жіпті маятникте бұл — ауырлық күші мен серпімділік күшіне теңәрекетті күш. Оның проекциясы (Ғх = -mgx/l) да дененің ығысуына пропорционал және бұл күш те тепе-теңдік күйіне қарай бағытталған. Екіншіден, жүйедегі үйкеліс мейлінше аз болуы керек, олай болмаған жағдайда тербеліс тез өшіп қалады. Себебі үйкеліс күші қозғалысқа қарсы бағытталғандықтан, оның әрекетінен теріс жұмыс өндіріледі де, механикалық энергия азаяды. Энергияның азаюымен амплитуда кемиді. Сөйтіп, тербеліс өшеді. Өшетін тербелістерді гармоникалық тербелістер деп есептеуге болмайды, өйткені гармоникалық тербелістерде амплитуда тұрақты.

Еріксіз тербелістер

Еркін тербелістер әйтеуір бір тоқтайды. Тербелісті өшпейтін ету үшін үйкелісті жеңуге кететін энергияны толықтырып отыру қажет. Тербелмелі жүйенің энергиясын оған сыртқы периодты түрде өзгеріп отыратын күшпен әрекет ету арқылы толықтыруға болады. Жүйенің энергиясы осы сыртқы күш жұмысының есебінен толығады. Бұл жағдайда тербелістер енді еркін емес, еріксіз болады; осы тербелістерді тудырушы периодты түрде өзгеріп отыратын күш мәжбүр етуші күш деп аталады. Сонымен еріксіз тербелістер дегеніміз — сыртқы периодты күштің әрекетінен болатын тербелістер.

Периодты түрде қайталанып отыратын күштер тіпті өздері тербелмелі жүйеге жатпайтын денелердің де периодты қозғалысын тудырады. Мысал үшін есіктің периодты түрде ашылып-жабылуын немесе тігін машинасы инесінің қозғалысын еске түсірейік. Бұл кезде периодты өзгеріп отыратын күш әрекетінен болатын қозғалыстың (тербелістің) периоды сол күштің периодына тең болатынын байқау қиын емес.

Резонанс

Орныққан еріксіз тербелістердің жиілігі қашанда сыртқы күштің жиілігіне тең. Енді осы еріксіз тербелістер амплитудасының жиілікке қалай тәуелді екенін айқындайық.

Керілген жіпке екі маятник ілеміз. Мұндағы А маятнигінің ұзындығы езгермейді. Ал В маятнигінің ұзындығын жіптің бос ұшын әрлі-берлі қозғай отырып өзгертуге болады. Егер маятникті тербеліске келтірсек, онда ол керілген жіп арқылы A маятникке қайсыбір периодты күшпен әрекет етеді. Соның салдарынан енді А маятник те еріксіз тербеле бастайды.

В маятниктің ұзындығын азайта отырып, оның тербеліс жиілігін өзгертуге болады. Сөйтіп, А маятникке әрекет ететін мәжбүр етуші күштің жиілігін өзгертеміз. Сонда осы мәжбүр етуші күштің жиілігі А маятник тербелісінің меншікті жиілігіне жақындағанда (маятниктердің ұзындықтары теңелгенде), А маятниктің тербеліс амплитудасы кенет артып кететінін байқауға болады. Міне, осы мәжбүр етуші күштің тербеліс жиілігі мен тербелмелі жүйенің меншікті жиілігі дәл келген кездегі еріксіз тербелістер амплитудасының кенет арту құбылысы резонанс деп аталады.

Резонанс құбылысымен қай-қайсымыз да жиі ұшырасамыз.

Бірақ көбінесе оған мән бермейміз. Мысалы, үйдің тұсынан трамвай, трактор, пойыз, жүк машинасы, т.б. өте шыққан кезде, терезенің әйнегі дірілдеп, шыныаяқтар сылдырлайды. Өйткені сыртқы тербелістер жиілігі үйдегі денелердің меншікті жиілігімен сәйкес келеді де, соның салдарынан резонанс құбылысы пайда болады.

Резонанс пайдалы да, зиянды да болуы мүмкін. Пайдалы болған кезде оны арттыруға тырысады. Мысалы, жол құрылысында, үйдің іргетасын құйғанда, құйматасты (бетонды) немесе сусыма нәрселерді тығыздау үшін арнайы вибратор-тығыздағыштар пайдаланылады. Ал зиянды болғанда, резонансты болдырмау үшін әртүрлі шаралар қолданылады. Мысалы, электрқозғалтқыштар, бу және газ турбиналарының табаны іргетасқа бекітілген болса, олардың тербелісі біртұтас еден арқылы машина орналасқан үйге беріледі. Соның салдарынан іргетастың еріксіз тербелістерінің амплитудасы үлкен мәнге жетіп, нәтижесінде үйдің құлауы да мүмкін.

Мұндай жағдайларда тербелістердің меншікті жиілігі сыртқы күштің жиілігімен дәл келмейтіндей ету керек.

Электростатикалық өрісітегі диэлектриктер. Электростатикалық индукция векторы. Екі диэлектриктердің шекарасы. Электростатикалық өрістегі өткізгіштер. Кулон күштерінің жұмысы.

Диэлектриктер кез келген зат сияқты атомдар мен молекулалардан тұрады. Оң заряд атом ядросында, теріс заряд атомдар мен молекулалардың электрондық қабықшаларында жинақталған. Жалпы алғанда, оң және теріс зарядтар өзара тең, сондықтан атом (молекула) электрлік нейтрал. Молекуланы электрлік диполь ретінде қарастыруға болады. Диэлектриктерді үш топқа бөлуге болады.

Диэлектрикті сыртқы электр өрісіне орналастырсақ, ол поляризацияланады да, оның дипольдік моменті мынаған тең болады: , мұндағы -бір молекуланың дипольдік моменті. Диэлектрик поляризациясы дегеніміз сыртқы өріс әсерінен диэлектрик дипольдарының орналасуы.

Диэлектрик поляризациясын сандық сипаттау үшін поляризациялану деген физикалық шама енгіземіз, ол бірлік көлемдегі диполь моментімен анықталады:

Тәжірибелер көптеген диэлектриктердің поляризациялануы өріс кернеулігіне сызықты байланыста екендігін көрсетті. Егер диэлектрик изотропты және мәні өте үлкен болмаса, онда

мұндағы - заттың диэлектриктік өтімділігі, ол диэлектриктің қасиеттерін сипаттайды. Бұл өлшемсіз шама.

Әртүрлі зарядталған екі шексіз параллель жазықтықтар туғызған біртекті сыртқы электр өрісі арасына диэлектрик қояйық.

Өріс әсерінен диэлектрик поляризацияланады, зарядтардың ығысуы пайда болады: оң зарядтар өріс бойымен, теріс зарядтар өріске қарсы. Осының нәтижесінде диэлектриктің оң қырында көлемдік тығыздығы болатын оң зарядтар, ал сол қырында көлемдік тығыздығы болатын теріс зарядтар артық болады. Осы поляризациядан пайда болған компенсирленбенген зарядтар байланысқан зарядтар деп аталады. Олардың беттік тығыздығы жазықтықтың еркін зарядтарының тығыздығы -дан кем болады. Өрістің кернеулік сызықтарының бір бөлігі диэлектриктен өтіп кетеді, ал қалған бір бөлігі байланысқан зарядтарда үзіліп қалады. Сондықтан, диэлектрик поляризациясы өрісті алғашқы сыртқы өріспен салыстырғанда кемітеді. Диэлектриктен тыс жерде .

Сонымен, байланысқан зарядтар сыртқы (еркін зарядтар тудырған) өрісіне қарсы бағытталған қосымша электр өрісін тудырады, ол сыртқы өрісті кемітеді. Диэлектрик ішіндегі қорытқы өріс

(екі шексіз зарядталған жазықтықтар тудырған өріс), сондықтан

Байланысқан зарядтардың беттік тығыздығын анықтайық. Диэлектрик пластинкаларының толық дипольдық моменті , мұндағы - пластинка қырларының ауданы, - оның қалыңдығы. Екінші жағынан толық диполь моменті байланысқан зарядтардың -дің олардың ара қашықтықтарының көбейтіндісіне тең болады, яғни .

Сонымен,

немесе яғни байланысқан зарядтардың беттік тығыздығы поляризациялануға тең болады.

Орындарына қойсақ

Диэлектрик ішіндегі қорытқы өріс кернеулігі

Екінші жағынан былай да жазуға болады:

Осыларды ескерсек, онда

Шынында да, өрістің диэлектрик есебінен неше есе кемитінін көрсетеді.

Диэлектриктегі электростатикалық өрісті сипаттау үшін электрлік индукция (ығысу) векторы ұғымын енгіземіз. Ол мынаған тең:

Электрлік индукция (ығысу) векторының ағысына арналған Гаусс теоремасы былай жазамыз

мұнда тек еркін зарядтар ғана ескеріледі. Вакуум үшін , онда тұйық беттен өтетін кернеулік векторы .

Ортада электр өрісін, еркін зарядтармен қоса байланысқан зарядтар да тудырады. Сондықтан, Гаусс теоремасын жалпы түрде былай жазуға болады:

мұндағы - сәйкесінше тұйық қамтитын еркін және байланысқан зарядтардың алгебралық қосындылары.

Егер сыртқы электростатикалық өріске нейтрал өткізгіш әкелсек, онда оң зарядтар өріс бойымен, теріс зарядтар өріске қарсы орын ауыстырады. Өткізгіштің бір ұшында оң зарядтар, ал екінші ұшында теріс зарядтар жинақталады. Бұл зарядтар индукциялық деп аталады. Бұл процесс өткізгіш ішіндегі өріс кернеулігі нольге тең болғанша жүре береді, кернеулік сызықтары өткізгіштен тыс жерде өткізгіш бетіне перпендикуляр болады. Сондықтан, электростатикалық өріске әкелінген нейтрал өткізгіш кернеулік сызықтарының біраз бөлігі үзіледі: олар теріс индукциялық зарядтарда аяқталады да, оң зарядтарда қайтадан басталады.

Жұмыс осы нүктелік зарядтың бастапқы және соңғы орындарындағы потенциалық энергиясының айырмасына тең:

Осыдан заряд өрісіндегі зарядтың потенциалық энергиясы . Заряд шексіздікке орын ауыстырса, онда .

мұндағы -зарядтардың ара қашықтығы. Аттас зарядтардың (тебіледі) потенциалық энергиялары оң, ал әр аттас (тартылыс) зарядтардікі теріс болады.

Егер нүктелік зарядтан тұратын жүйе тудырған өрістің потенциалық энергиясы:

Осы формулалардан қатынасы -ге байланысты емес, ол электростатикалық өрістің энергетикалық сипаттамасы – потенциал деп аталады:

Зарядты 1 нүктеден 2 нүктеге орын ауыстырғанда істелетін жұмысты былай жазуға болады:

яғни, жұмыс зарядтың бастапқы және соңғы нүктедегі потенциалдарының айырмасының көбейтіндісіне тең.

Осы екі теңдікті теңестірсек, онда

Мұндағы интегралды осы зарядтың бастапқы және соңғы орындарын қосатын кез келген сызықтың бойымен алуға болады, себебі электростатикалық өріс күшінің жұмысы траекторияға байланысты емес. Егер заряд шексіздікке орын ауыстырса, онда шексіздіктегі потенциал нольге тең, ендеше жұмыс

немесе

Потенциал - бірлік зарядтың осы нүктеден шексіздікке орын ауыстырғандағы істелетін жұмысына тең. Бұл жұмыс бірлік зарядтың шексіздіктен берілген нүктеге орын ауыстырғандағы жұмысына тең. Екі нүктенің потенциалдарының айырмасын кернеу деп атайды. Электростатикалық өрістің күштік сипаттамасы - кернеулік пен энергетикалық сипаттамасы - потенциал арасындағы байланыс:

минус таңбасы өрістің кернеулік векторы потенциалдың кему жағына қарай бағытталғандығын көрсетеді.

Оңашаланған, яғни басқа өткізгіштер мен зарядтардан алыс орналасқан өткізгіш қарастырайық. Оның потенциалы өткізгіш зарядына пропорциональ. Тәжірибелер бірдей зарядталған әртүрлі өткізгіштер әртүрлі потенциалдарға ие болатынын көрсетті. Оны былай жазуға болады:

мұндағы шамасын оңашаланған өткізгіштің электр сиымдылығы деп атайды. Электр сиымдылық бірлік зарядқа берілген зарядқа тең. Өткізгіш сиымдылығы оның өлшемі мен формасына байланысты, ал оның материалына, агрегаттық күйіне және өткізгіштің ішкі бетінің формасы мен өлшеміне байланысты емес. Бұл артық зарядтардың өткізгіштің сыртқы бетінде орналасатынымен түсіндіріледі. Сиымдылық сонымен қатар, өткізгіш зарядына, оның потенциалына да байланысты емес. Электр сиымдылықтың өлшем бірлігі – фарад (Ф).

Шардың сиымдылығын оның потенциалын ескере отырып внықтаймыз

1Ф тең сиымдылық радиусы км-ге тең шардың сиымдылығы. Бұл Жердің радиусынан 1400 есе үлкен. Фарад өте үлкен шама болғандықтан, күнделікті өмірде миллифарад, микрофарад, нанофарад, пикофарадтар қолданылады.

Өткізгіш үлкен сиымдылыққа ие болуы үшін, оның өлшемдері өте үлкен болуы керек.

Өткізбейтін ортада жақын орналасқан екі өткізгіш жүйесін конденсатор деп атайды.

Әрқайсысының ауданы болатын, екі металл пластинка алайық. Олардың арасы диэлектрикпен толтырылсын. Пластинканың бірі оң, екіншісі теріс зарядталсын. Жоғары пластинканың ішкі бетіне (потенциалы ), ал төменгі пластинканың ішкі бетіне (потенциалы ) зарядтары бірдей болып орналассын.

Екі пластинканың ара қашықтығын деп белгілесек, онда пластинкадағы электр өрісінің кернеулігі былай жазылады:

Ал, пластинкалардың арасындағы кернеулік , онда , мұндағы -беттік тығыздық, осыдан . Зарядтың беттік тығыздығы екенін ескеріп, былай жазуға болады: Жазық конденсатордың сиымдылығы ; Жазық конденсатор энергиясының теңдеуін аламыз

мұндағы - конденсатор көлемі.