Кинематика и динамика вращательного движения. работа и мощность при вращательном движении. кинетическая энергия вращающегося тела
ЗАДАНИЯ К РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИМ РАБОТАМ
Вариант задания для каждого студента определяется преподавателем. Числовые значения заданных величин в каждой задаче выбираются студентом из таблицы по номеру варианта.
Студент должен дать полное решение каждой из задач варианта и заполнить сводную таблицу исходных данных и ответов.
Правила оформления расчетно-графической работы:
1. Решение каждой задачи представлять на отдельной странице.
2. Текстовые условия задач записывать обязательно; они могут быть написаны от руки или напечатаны.
3. При оформлении задачи:
— кратко записать её условие;
— выполнить перевод значений физических величин в единицы системы СИ;
— для решения задачи сделать необходимые рисунки;
— вывести расчетную формулу (решить задачу в общем виде;
—подробно выполнить расчеты; при вычислении полученные значения округлять до двух цифр после запятой;
— ответы записать в системе СИ.
ЗАДАНИЕ К РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЕ (1 СЕМЕСТР)
КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Задача 1.1. В процессе прямолинейного движения материальной точки ее координата изменяется по закону x =А + В t + С t2 + D t3. Найти:
1. Координату в момент времени t1.
2. Скорость точки в момент времени t2.
3. Ускорение в момент времени t3.
4. Среднюю скорость в интервале времени t4 – t2.
5. Среднее ускорение в интервале времени t5 – t3 .
6. Путь, пройденный точкой в интервале времени t4 – t5.
7. Постройте графики зависимости координаты, скорости и ускорения от времени.
Таблица 1.1
| № вар | А | В | С | D | t1, с | t2, с | t3, с | t4, с | t5, с |
| - 4 | |||||||||
| - 2 | |||||||||
| - 2 | |||||||||
| - 1 | |||||||||
| - 10 | |||||||||
| - 2 | |||||||||
| -2 | |||||||||
| - 4 | |||||||||
Таблица 1.2
| № вар | А | В | С | D | t1, с | t2, с | t3, с | t4, с | t5, с | ||||
| x, м | v, м/с | a, м/с2 | S, м | <v> , м/с | <a>, м/с2 | ||||||||
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Задача 1.2. Вагон массой m движется с постоянной скоростью v0. В момент времени t0 = 0 на него начинает действовать тормозящая сила, изменяющаяся по закону: F = F0 + kt + bt2. Найти:
1. Ускорение вагона в момент времени t1 .
2. Скорость вагона в момент времени t2 .
3. Импульс вагона в момент времени t3 .
4. Изменение импульса вагона в интервале времени t3 – t2.
5. Путь, пройденный вагоном за время t4.
6. Постройте график зависимости импульса вагона от времени.
Таблица 1.3
| № вар | F0, кН | k, кН/c | b, кН/c2 | m, т | υ0, км/ч | t1, с | t2, с | t3, с | t4, с |
| - 4 | |||||||||
| - 1 | |||||||||
| - 1 | |||||||||
| - 10 | |||||||||
| -5 | |||||||||
| - 4 | |||||||||
Таблица 1.4
| № вар | F0, кН | k, кН/c | b, кН/c2 | m, т | v0, км/ч | t1, с | t2, с | t3, с | t4, с |
| a, м/с2 | v, м/с | p, кг∙м/с | Δp, кг∙м/с | S, м | |||||
РАБОТА И МОЩНОСТЬ В МЕХАНИКЕ. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И ЕЁ ИЗМЕНЕНИЕ.
Задача 1.3. На тележку массой m, двигавшуюся с постоянной скоростью v0, начинает действовать разгоняющая сила, изменяющаяся по закону
F = F0 +kt+ bt2. Найти:
1. Работу, совершенную силой к моменту времени t1 .
2. Кинетическую энергию в момент времени t2 .
3. Мгновенную мощность в момент времени t3 .
4. Изменение кинетической энергии в интервале времени t3 – t2.
5. Путь, пройденный тележкой за время t3.
Таблица 1.5
| № вар | F0, Н | k, Н/c | b, Н/c2 | m, кг | υ0, м/с | t1, с | t2, с | t3, с |
| - 4 | ||||||||
| - 1 | ||||||||
| - 1 | ||||||||
| - 10 | ||||||||
| -5 | ||||||||
| - 4 | ||||||||
Таблица 1.6
| № вар | F0, Н | k, Н/c | b, Н/c2 | m, кг | v0, м/с | t1, с | t2, с | t3, с |
| А, Дж | Ек, Дж | N, Вт | Δ Ек, Дж | S, м | ||||
КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. РАБОТА И МОЩНОСТЬ ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
Задача 1.4. Тонкостенный цилиндр радиусом R и массой m начинает вращаться под действием вращающего момента внешних сил, изменяющегося по закону: М = А + В t + С t2. Найти:
1. Угловое ускорение в момент времени t1.
2. Угловую скорость в момент времени t2.
3. Угол поворота цилиндра в момент времени t3 .
4. Кинетическую энергию цилиндра в момент времени t4.
5. Изменение кинетической энергии цилиндра в интервале времени t4 – t 2.
6. Работу внешних сил по повороту цилиндра в интервале времени t4 – t 2.
7. Построить график зависимости угловой скорости от времени.
Таблица 1.7
| № вар | А | В | С | m, кг | R, м | t1, с | t2, с | t3, с | t4, с |
| - 4 | 0,1 | ||||||||
| - 2 | 0,2 | ||||||||
| 0,3 | |||||||||
| 0,4 | |||||||||
| - 10 | 0,5 | ||||||||
| 0,6 | |||||||||
| 0,7 | |||||||||
| - 4 | 0,8 | ||||||||
| -5 | 0,9 | ||||||||
| 1,0 |
Таблица 1.8
| № вар | А | В | С | m, кг | R, м | t1, с | t2, с | t3, с | t4, с |
 , рад/с2 |  , рад/с |  , рад | Ек, Дж | ΔЕк, Дж | А, Дж | ||||
Задача 1.5. Однородный цилиндр радиусом R и массой m вращающийся с частотой n, начинает останавливаться под действием тормозящего момента внешних сил, изменяющегося по закону М = А + В t + С t2. Найти:
1. Угловое ускорение цилиндра в момент времени t1.
2. Угловую скорость в момент времени t2.
3. Угол поворота цилиндра в момент времени t3 .
4. Момент импульса цилиндра в момент времени t 3.
6. Изменение момента импульса цилиндра в интервале времени t3 – t2.
Таблица 1.9
| № вар | А | В | С | m, кг | R, м | t1, с | t2, с | t3, с | n, об/мин |
| - 4 | 0,1 | ||||||||
| - 2 | 0,2 | ||||||||
| 0,3 | |||||||||
| 0,4 | |||||||||
| - 10 | 0,5 | ||||||||
| 0,6 | |||||||||
| 0,7 | |||||||||
| - 4 | 0,8 | ||||||||
| -5 | 0,9 | ||||||||
| 1,0 |
Таблица 1.10
| № вар | А | В | С | m, кг | R, м | t1, с | t2, с | t3, с | n, об/мин |
| , рад/с2 | , рад/с |  , рад | L, кг∙м2/с | ΔL, кг∙м2/с | |||||
Задача 1.6. Маховик радиусом R вращается так, что угол его поворота изменяется с течением времени по закону φ = А + В t + С t2 + D t3 . Найти:
1. Угол поворота маховика в интервале времени t2 – t1.
2. Угловую скорость в момент времени t1.
3. Угловое ускорение в момент времени t2.
4. Линейную скорость точки на ободе маховика в момент времени t3 .
5. Нормальное, тангенциальное и полное ускорение точки на ободе маховика в момент времени t4.
6. Угол 
между векторами скорости и полного ускорения в момент времени t 4.
6. Угловую координату в момент времени t 2.
7. Путь, пройденный точкой на ободе маховика к моменту времени t 2.
8. Построить графики зависимости угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точки на ободе маховика от времени.
Таблица 1.11
| № вар | А | В | С | D | R, м | t1, с | t2, с | t3, с | t4, с |
| - 4 | 0,1 | ||||||||
| - 2 | 0,2 | ||||||||
| - 2 | 0,3 | ||||||||
| - 1 | 0,4 | ||||||||
| - 10 | 0,5 | ||||||||
| - 2 | 0,6 | ||||||||
| -2 | 0,7 | ||||||||
| - 4 | 0,8 | ||||||||
| 0,9 | |||||||||
| 1,0 |
Таблица 1.12
| № вар | А | В | С | D | R, м | t1, с | t2, с | t3, с | t4, с |
 , рад | , рад/с | , рад/с2 | v, м/с | an, м/с2 | aτ, м/с2 | a, м/с2 | , рад | , рад | S, м |
УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ И СИЛЫ
Задача 1.7. Пружина, закрепленная одним концом, под действием внешней силы F1 растягивается на величину x1. Начальное положение пружины соответствует деформации x0 = 0. Найти:
1. Значение внешней силы F2, растягивающей пружину на x2.
2. Потенциальную энергию пружины при ее растяжении на x2.
3. Изменение потенциальной энергии пружины при растяжении ее от x1 до x2.
4. Работу внешней силы, сжимающей недеформированную пружину на x3.
5. Работу внешней силы, дополнительно сжимающей пружину еще на Δx.
6. Работу силы упругости при изменении деформации от x3 до x4.
7. Изменение потенциальной энергии пружины при растяжении ее от x3 до x2.
8. Построить график зависимости потенциальной энергии пружины от величины её деформации.
Таблица 1.13
| № вар | F1, Н | x1, см | x2, см | x3, см | Δx, см |
Таблица 1.14
| № вар | F1, Н | x1, см | x2, см | x3, см | Δx, см | |
| F2, Н | Еп2, Дж | ΔЕп21, Дж | А3, Дж | А4, Дж | А34, Дж | ΔЕп32, Дж |
Задача 1.8. К металлическому стержню длиной l0 и диаметром d0, закрепленному на потолке в вертикальном положении, подвешен груз массой m. Модуль упругости металла Е. Найти:
1. Коэффициент жесткости стержня k.
2. Удлинение стержня Δ l.
3. Длину в растянутом состоянии l1.
4. Силу упругости в стержне.
5. Работу силы тяжести при подвешивании груза.
6. Работу силы упругости при подвешивании груза.
7. Механическое напряжение в стержне.
8. Изменение потенциальной энергии стержня при отрыве груза.
Таблица 1.15
| № вар | l0, м | d0, мм | m, кг | Е, ГПа |
| 1,6 | ||||
| 0,8 | ||||
| 3,2 | ||||
| 0,6 | ||||
| 0,8 | ||||
| 1,2 | ||||
| 2,4 | ||||
| 4,8 | ||||
Таблица 1.16
| № вар | l0, м | d0, мм | m, кг | Е, ГПа | |||
| k, кН/м | Δ l, м | l1, м | F2, Н | Ат, Дж | Ау, Дж | σ, МПа |  П, Дж |
Задача 1.9. К резиновому шнуру длиной l0 и диаметром d0, закрепленному на потолке в вертикальном положении, подвешен груз массой m. Модуль упругости резины Е, коэффициент Пуассона μ. Найти:
1. Коэффициент жесткости шнура k.
2. Удлинение шнура Δ l.
3. Длину в растянутом состоянии l1.
4. Силу упругости в шнуре.
5. Работу силы тяжести при подвешивании груза.
6. Работу силы упругости при подвешивании груза.
7. Диаметр шнура в нагруженном состоянии.
8. Изменение потенциальной энергии шнура при отрыве груза.
Таблица 1.17
| № вар | l0, м | d0, мм | m, кг | Е, кПа | μ |
| 1,6 | 0,6 | ||||
| 0,8 | 0,8 | ||||
| 3,2 | 0,5 | ||||
| 0,6 | 0,7 | ||||
| 0,8 | 0,6 | ||||
| 1,2 | 0,8 | ||||
| 2,4 | 0,5 | ||||
| 0,7 | |||||
| 4,8 | 0,6 | ||||
| 0,5 |
Таблица 1.18
| № вар | l0, м | d0, мм | m, кг | Е, ГПа | μ | ||
| k, кН/м | Δ l, м | l1, м | F2, Н | Ат, Дж | Ау, Дж | d1, мм | DП, Дж  |
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
Задача 1.10. Металлический шарик диаметром d равномерно падает в стакане с вязкой жидкостью. Плотность металла ρ1, плотность жидкости ρ2. Динамическая вязкость жидкости η. Высота стакана равна h. Найти:
1. Скорость установившегося падения.
2. Силу Архимеда, действующую на шарик.
3. Силу сопротивления жидкости.
4. Время падения.
5. Как изменится скорость падения, если диаметр шарика увеличить в n раз?
Таблица 1.19
| № вар | h , м | d0, мм | ρ1, г/cм3 | ρ1, г/cм3 | η, Па∙с | n |
| 1,6 | 7,8 | 1,2 | 1,6 | |||
| 0,8 | 1,6 | 8,9 | 0,9 | |||
| 1,2 | 2,4 | 7,2 | 1,2 | 1,6 | 1,5 | |
| 0,6 | 2,8 | 2,7 | 0,0018 | 0,5 | ||
| 0,8 | 1,8 | 11,3 | 0,9 | 0,8 | ||
| 1,2 | 2,6 | 7,8 | 0,0018 | |||
| 2,4 | 8,9 | 1,2 | 1,6 | |||
| 2,4 | 7,2 | 0,9 | 0,1 | 1,5 | ||
| 1,8 | 1,4 | 2,7 | 0,9 | 0,5 | ||
| 2,4 | 4,8 | 11,3 | 0,0018 | 0,8 |
Таблица 1.20
| № вар | h , м | d0, мм | ρ1, г/cм3 | ρ1, г/cм3 | η, Па∙с | n |
| v1, м/с | Fа, Н | Fс, Н | t1, с | v2 / v1 | ||
Задача 1.11. Вода в водопроводной магистрали диаметром d1 на уровне земли течет со скоростью v1 под давлением p1. Плотность воды ρв = 1 г/cм3. Коэффициент динамической вязкости воды η = 1,8 мПа∙с. Найти:
1. Скорость течения v2 в отводной трубе диаметром d2, расположенной на высоте h.
2. Давление в отводной трубе p2.
3. Силу, с которой вода давит на клапан сечением S в отводной трубе.
4. Максимальный уровень H, на который может подняться вода из этой магистрали.
5. Мгновенный объемный расход воды.
6. Время наполнения резервуара объемом V.
Таблица 1.21
| № вар | d1, мм | v1, м/с | p1, кПа | d2, мм | h, м | S, мм2 | V, м3 |
Таблица 1.22
| № вар | d1, мм | v1, м/с | p1, кПа | d2, мм | h, м | S, мм2 | V, м3 |
| v2, м/с | F2, Н | р2, кПа | H, м | Q, м3/с | t, с | ||
Задача 1.12. По трубопроводу длиной l и диаметром d подается жидкость, плотность которой ρ, динамическая вязкость η. Насос создает перепад давления на концах трубопровода Δр. Найти:
1. Скорость течения v в трубопроводе.
2. Мгновенный объемный расход жидкости.
3. Силу, с которой жидкость давит на клапан сечением S в начале трубы.
4. Максимальную высоту H, на которую поднимется жидкость из этого трубопровода.
5. Время, необходимое для перекачки объема V.
Таблица 1.23
| № вар | l, м | d, мм | Δр, кПа | ρ, г/cм3 | η, Па∙с | V, м3 |
| 0,9 | 0,1 | |||||
| 0,9 | ||||||
| 1,2 | 1,6 | |||||
| 0,0018 | ||||||
| 0,9 | ||||||
| 0,0018 | ||||||
| 1,2 | 1,6 | |||||
| 0,9 | 0,1 | |||||
| 0,9 | ||||||
| 0,0018 |
Таблица 1.24
| № вар | l, м | d, мм | Δр, кПа | ρ, г/cм3 | η, Па∙с | V, м3 |
| v, м/с | Q, м3/с | H, м | F, Н | t, с | ||
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Задача 1.13. Расстояние между точечными зарядами q1 и q2 равно l. Заряд q3 размещен на прямой, соединяющей заряды q1 и q2, на расстоянии S от первого заряда. Найти:
1. Напряженность поля в точке М, лежащей на прямой правее заряда q2 и удаленной от него на расстояние b.
2. Силу, действующую на заряд q3.
3. Силу взаимодействия зарядов q1 и q2.
4. На каком расстоянии d от заряда q1 находится точка, в которой заряд q3 будет находиться в равновесии.
5. Потенциал поля в точке N, лежащей на прямой левее заряда q1 и удаленной от него на расстояние a.
Таблица 1.25
| № вар | q1, мкКл | q2, мкКл | q3, нКл | l, м | S, м | a, м | b, м |
| 6,4 | |||||||
| 4,8 | |||||||
| 1,6 | |||||||
| 8,0 | 6,4 | ||||||
| 3,2 | |||||||
| 4,8 | 1,6 | ||||||
| 8,0 | |||||||
| 3,2 | |||||||
| 4,8 | 4,8 | ||||||
Таблица 1.26
| № вар | q1, мкКл | q2, мкКл | q3, нКл | l, м | S, м | a, м | b, м |
| Е, В/м | F3, Н | F12, Н | d, м | φ, В | |||
Задача 1.14. Точечный заряд q перемещается в электростатическом поле, потенциал которого зависит от координат точки по закону φ = В x2 + С y2 + D z3. Найти:
1. Потенциал в точке М (x1, y1, z1).
2. Напряженность поля в точке N (x2, y2, z2).
3. Потенциальную энергию взаимодействия заряда и поля в точке N.
4. Работу поля по перемещению заряда q из точки M в точку N.
5. Работу внешней силы по удалению заряда q из точки M поля в бесконечность.
6. Изменение потенциальной энергии при перемещении заряда q из бесконечности в точку N.
Таблица 1.27
| № вар | q, мкКл | В | С | D | x1, м | y1, м | z1, м | x2, м | y2, м | z2, м |
| - 4 | ||||||||||
| 4,8 | - 3 | |||||||||
| - 2 | ||||||||||
| 6,4 | - 1 | |||||||||
| - 10 | ||||||||||
| 1,6 | - 5 | |||||||||
| 8,0 | -2 | |||||||||
| 3,2 | - 4 | |||||||||
| 4,8 | ||||||||||
Таблица 1.28
| № вар | q, мкКл | В | С | D | x1, м | y1, м | z1, м | x2, м | y2, м | z2, м |
| , В | Е, В/м | Wэ, Дж | Аэп, Дж | Авс, Дж | ΔWэ, Дж | |||||
Задача 1.15. Металлический шарик радиусом R, находится в вакууме. Шарик несет заряд q. Из бесконечности по направлению к шарику движется электрон, имеющий начальную скорость v0. Найти:
1. На каком расстоянии l от шарика скорость электрона уменьшится вдвое.
2. На какое минимальное расстояние S электрон сможет приблизиться к шарику.
3. Работу электрического поля до момента остановки электрона.
4. Изменение кинетической энергии электрона от начала движения до момента остановки.
5. Потенциал поля в точке остановки электрона.
6. Поверхностную плотность заряда на поверхности шарика.
7. Скорость электрона в точке, удаленной от шарика на расстояние r.
Таблица 1.29
| № вар | q, мкКл | R, м | v0, км/с | r, м |
| 0,1 | ||||
| 4,8 | 0,2 | |||
| 0,3 | ||||
| 6,4 | 0,4 | |||
| 0,5 | ||||
| 1,6 | 0,06 | |||
| 8,0 | 0,07 | |||
| 3,2 | 0,08 | |||
| 4,8 | 0,09 | |||
| 0,64 | 0,05 |
Таблица 1.30
| № вар | q, мкКл | R, м | v0, км/с | r, м | ||
| l, м | S, м | Аэп, Дж | ΔWэ, Дж | , В | σ, Кл/м2 | v, км/с |
Задача 1.16. Плоский конденсатор с пластинами площадью S и расстоянием между пластинами d, заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Пластины подключены к источнику тока, на выходных клеммах которого поддерживается постоянная разность потенциалов Δφ0. Найти:
1. Электрическую емкость конденсатора.
2. Заряд конденсатора.
3. Напряженность поля между пластинами.
4. Энергию заряженного конденсатора.
5. Разность потенциалов между пластинами, если конденсатор отключить от источника тока и увеличить расстояние между пластинами в n раз.
6. Количество теплоты, которое выделится в этом процессе.
7. Разность потенциалов, которая установится между пластинами, если конденсатор отключить от источника тока и удалить диэлектрик.
Таблица 1.31
| № вар | d, м | S, м2 | Δφ0, В | ε | n |
| 0,002 | |||||
| 0,004 | 0,2 | ||||
| 0,006 | 0,3 | ||||
| 0,008 | 0,4 | ||||
| 0,01 | 0,5 | ||||
| 0,002 | 0,1 | ||||
| 0,004 | 0,9 | ||||
| 0,006 | 0,7 | ||||
| 0,008 | 0,6 | ||||
| 0,010 | 0,8 |
Таблица 1.32
| № вар | d, м | S, м2 | Δφ0, В | ε | n | |
| С, мкФ | q, мкКл | Е, В/м | Wэ, Дж | Δφ1, В | Q, Дж | Δφ2, В |
Задача 1.17. Два металлических шарика массой m подвешены в одной точке на шелковых нитях длиной l. Когда шарикам сообщили одинаковые заряды q1, шарики разошлись, так, что нити образовали угол с вертикалью. Найти:
1. Силу электрического взаимодействия шариков.
2. Заряды шариков q1.
3. Напряженность поля в точке, лежащей на середине линии, соединяющей центры шариков.
4. Заряд третьего шарика q3, который размещен посередине между первым и вторым шариками, при этом нить образует с вертикалью угол .
5. Диэлектрическую проницаемость ε материала пластины, которую поместили между шариками, в результате чего угол отклонения нити от вертикали стал равен 
.
Таблица 1.33
| № вар | m, г | l, м | | | |
| 0,1 | |||||
| 0,2 | |||||
| 0,3 | |||||
| 0,4 | |||||
| 0,5 | |||||
| 0,06 | |||||
| 0,2 | 0,07 | ||||
| 0,4 | 0,08 | ||||
| 0, 6 | 0,09 | ||||
| 0, 8 | 0,05 |
Таблица 1.34
| № вар | m, г | l, м | | | |
| Fк, Н | q1, мкКл | Е, В/м | q3, мкКл | ε | |
Задача 1.18. Прямолинейный проводник длиной l несет электрический заряд q1, равномерно распределенный по его длине. Координатная ось проходит по оси симметрии проводника, начало координат совпадает с его геометрическим центром. Найти:
1. Напряженность поля в точке М (x1), лежащей на координатной оси.
2. Силу электрического взаимодействия проводника и заряда q2, находящегося в точке М.
3. Потенциал поля в точке N (x2), лежащей на координатной оси.
4. Потенциальную энергию взаимодействия проводника и заряда q3, находящегося в точке N.
5. Работу электрического поля по перемещения заряда q3 из точки М в точку N.
6. Работу внешних сил по удалению заряда q2 из точки М в бесконечность.
Таблица 1.35
| № вар | q1, мкКл | q2, нКл | q3, нКл | l, м | x1, м | x2, м |
| 6,4 | -2 | |||||
| 4,8 | -5 | |||||
| 1,6 | ||||||
| 8,0 | 6,4 | -6 | ||||
| 3,2 | -8 | |||||
| 4,8 | 1,6 | -6 | ||||
| 8,0 | ||||||
| 3,2 | -5 | -8 | ||||
| 4,8 | 4,8 | |||||
| -10 |
Таблица 1.36