Айналмалы қозғалыстың кинетикалық энергиясы

Қозғалмайтын z өсіне қатысты айналмалы қозғалыс жасап тұрған абсолют қатты денені қарастырайық. Осы денені ойша, массалары m1, m2, ….mn тең және өстен r1, r2, …rn қашықтықта орналасқан кішкене көлемдерге бөлеміз. Қатты дененің қозғалмайтын өске қатысты айналмалы қозғалысы кезінде массасы mi элементар көлемдер әр түрлі ri радиусты шеңберлер сызады және υi сызықтық жылдамдыққа ие болады. Абсолют қатты денені қарастырып отырғандықтан осы элементар көлемдердің барлығы бірдей бұрыштық жылдамдықпен қозғалады. ω = υ1/r1= υ2/r2=…= υi/ri

Айналмалы қозғалыс жасап тұрған дененің кинетикалық энергиясын элементар көлемдердің кинетикалық энергияларының қосындысы арқылы табамыз.

кин.айн

m u2

m u2

m u2

n m u2

å

n m w2

å i

2 n

w

å i i

J w2

Е = 1 1 +

1 2 + .... +

n n =

i =1

i i =

2

J w2

i =1

i r 2 =

2 2

i=1

m r 2 = z

2

Екин.айн

= z

Jz- дененің z өсіне қатысты инерция моменті.

Үйкеліссіз домалап кележатқан деннің кинетикалық энергиясы

mu2 J w2

С С

Екин.айн = +

2 2

Күш моменті. Қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасының негізгі теңдеуі.

F

Қозғалмайтын О нүктесіне қатысты F күшінің моменті деп – О нүктесінен күш түсірілген А нүктесіне жүргізілген rr радиус вектордың r

күшіне векторлық көбейтіндісімен анықталатын физикалық шаманы айтамыз

r rr

M = [r , F ]

Күш моментінің модулі M=Frsinα=Fl

F

Мұндағы α бұрышы rr мен rарасындағы бұрыш. Күш иініl =rsinα – күштің

әсер ету сызығы мен О нүктесі арасындағы ең қысқа қашықтық.. СИ жүйесіндегі өлшем бірлігі Н∙ м

Қозғалмайтын z өсіне қатысты F күшінің моменті деп - берілген z өсінің

r

қандайда бір О нүктесіне қатысты анықталған М күш моменті векторының осы

М

z

z

өстегі проекциясына тең Мz скаляр шаманы айтамыз. Мz моментінің мәні О нүктесінің z өсіндегі орнына тәуелді емес. Егер z өсі r векторының бағытымен

r rr

бағыттас болса, онда күш моменті

М = [r , F ]

Айналмалы қозғалыс кезіндегі жұмыстың өрнегін анықтайық. z өсінен r

r

қашықтықта орналасқан В нүктесіне F күші түсірілсін. α бұрышы –күштің

бағыты мен rr радиус вектор арасындағы бұрыш. Дене абсолют қатты дене

болғандықтан күштің жұмысы бүкіл денені бұруға жұмсалған жұмысқа тең. Дененің шексіз аз dφ бұрышқа бұрылуы кезінде күш түсірілген В нүктесі ds= rdφ жол жүреді де жұмыс ығысу бағытындағы күш проекциясын ығысу шамасына көбейткенге тең.

dA = Fsinα rdφ dA = Mzdφ , толық жұмыс Мұнда Frsinα=Fl= Mz- z өсіне қатысты күш моменті.

j

А = òМ z dj

Айналмалы қозғалыс кезіндегі жұмыс оның кинетикалық энергиясының өсуіне

жұмсалады. dA=dEк

J w2 dj dw

dEк= d( z )=Jzωdω, Mzdφ= Jzωdω немесе Mz

2 dt

dw

= Jzω

dt

Mz= Jz dt = Jzε

Бұл өрнек қатты дененің қозғалмайтын өске қатысты айналмалы қозғалыс динамикасының негізгі теңдеуі

Егер z өсі массалар центрі арқылы өтетін инерция өсімен сәйкес келсе онда

=

M

r Jer