Порядок вычислеия геометрических характеристик сложных поперечных сечений

Цель работы:

Найти положение главных центральных осей и вычислить главные моменты инерции составного сечения.

Исходные данные к выполнению расчетно-графического задания выбираются из сборника заданий к расчетно-графическим работам по курсу «Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности» согласно шифру, выданного каждому студенту преподавателем. Это пособие также определяет объем и последовательность выполнения работы.

При расчетах используются таблицы сортамента (части стандартных профилей прямоугольниками не заменять).

Порядок выполнения работы: Построим данное сечение в выбранном масштабе, согласно всем необходимым для данного задания геометрическим параметрам.

1) Выберем первоначальные оси координат . Для того, чтобы упростить путь вычисления статических моментов и моментов инерции целесообразно направить оси так, чтобы все сечение находилось в первой четверти относительно осей .

2) Данное поперечное сечение состоит из простейших геометрических фигур: прямоугольника, двутавра (швеллера) и равнобокого уголка.

В каждой простой фигуре проведем собственные центральные оси , параллельные осям . В первоначальных осях определим координаты центров тяжести каждой простой фигуры .

3) Найдем положение центра тяжести всего сечения в первоначальных осях , т.е. координаты :

(9)

где - площадь - ой фигуры.

Проведем через центр тяжести (точку ) оси и параллельно первоначальным осям . Это будут центральные оси всего сечения.

4)Вычислим моменты инерции каждой простой фигуры относительно первоначальных осей по формулам параллельного переноса (3):

(10)

где , - осевые и центробежный моменты инерции - ой фигуры относительно первоначальных осей.

, - осевые и центробежный моменты инерции - ой фигуры относительно собственных центральных осей.

Для всего сложного сечения моменты инерции относительно осей определятся суммированием:

(11)

5) Вычислим моменты инерции всего сечения относительно центральных осей и согласно формуле (4):

(12)

Если , то оси будут только центральными осями, но не главными.

6) Определим положение главных центральных осей сечения. Согласно соотношению (8) главная центральная ось сечения расположена под углом к центральной оси :

(13)

Положительные значения откладывают от оси против хода часовой стрелки, отрицательные - по ходу часовой стрелки.

7) Вычислим главные моменты инерции сечения .

Моменты инерции можно определить по формулам (5):

(14)

Замечание: Последнее соотношение в (14) проверочное, так как относительно главных центральных осей центробежный момент инерции должен быть равен нулю, т.е. .

Главные моменты инерции можно определить и по соотношению (7).

8) Вычислим моменты инерции относительно центральных осей , расположенных под углом к главным центральным осям . Для этого необходимо воспользоваться соотношениями (5) с учетом того, что :

(15)

9) Произведем проверку вычислений. Для этого нужно воспользоваться соотношением (6):

(16)