Умение составлять формулы размерности позволяют, например, переходить от одной системы единиц измерения к другой

Классы

Модуль 1. Измерение физических величин и обработка результатов

Учителю:предлагаем Вам примерное планирование изучения данной темы, рассчитанное на 5 занятий. В зависимости от подготовки учащихся Вы можете сами определить временные затраты на каждое занятие, выполнять частично или в полном соответствии с нашими разработками, дополнять своими материалами.

Занятие 1: Физические величины и размерность

ü Физическая величина

ü Эталоны, единицы измерения и размерность

Занятие 2: Измерения и погрешности

ü Способы измерения и погрешности прямых измерений

ü Учет измерительной погрешности прямого измерения и метод интервалов

Занятие 3: Учет случайных погрешностей

ü Способы определения границ случайных погрешностей при многократных измерениях

Занятие 4:Учет погрешности косвенных измерений

ü Оценка границ погрешности методом минимальных и максимальных значений

ü Оценка границ погрешности методом учета относительной погрешности

Занятие 5: Лабораторная работа

Занятие 1. Физические величины и размерность

Физические тела обладают рядом свойств как качественных, так и количественных. У любого тела есть количественные характеристики его свойств. Например: масса, вес, температура, длина, ширина, высота, объем, плотность, площадь и т.д. Количественные характеристики свойств тел по-другому называются физическими величинами.

Для каждой физической величины имеются соответствующие единицы измерения.

Стоит отметить, что измеряться могут характеристики не только свойств тел, но и процессов и явлений. Например, звук характеризуется громкостью, взаимодействие тел – силой, электрический ток – силой тока и т.д.

Физические величины можно измерить при помощи приборов или вычислить.

Таблица 1

Характеристика	Физическая величина	Единицы измерения	Прибор (примеры)
Размеры	Длина, ширина, высота	Метр [м]	Линейка, рулетка, измерительная лента, штангенциркуль, микрометр
Площадь	Квадратный метр [м2]	Палетка
Объем	Кубический метр [м3]	Мензурка
Тяжесть	Масса	Килограмм [кг]	Весы
Вес	Ньютон [Н]	Динамометр
разгон	ускорение	Метр в секунду за секунду [м/с2]	Акселерометр
Продолжительность	Время	Секунда [c]	Секундомер, часы, хронометр
Нагретость	Температура	Градус [°C]	Термометр
скорость протекания электрического заряда	сила тока	Ампер [А]	Амперметр
шум, громкость	интенсивность звука	Децибел [дБ]	Шумомер

При желании таблицу можно продолжить.

Единицы измерения физических величин, этовеличины, по определению считающиеся равными единице при измерении других величин такого же рода (1кг, 1м, 1с и т.д.). Эталон единицы измерения – ее физическая реализация. Так эталоном «килограмма» является платино-иридиевый цилиндр массой 1 кг. Эталоном единицы измерения «метр» в системе СИ служит стержень длиной 1м, который до сих пор существует, но уже не используется по прямому назначению. Он находится в Международном бюро мер и весов. Современным эталоном «метра» является длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/ 299 792 458 секунды. А эталон «секунды» равен 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.

В системе единиц для каждой измеряемой физической величины должна быть предусмотрена соответствующая единица измерения. Таким образом, отдельная единица измерения нужна для длины, площади, объема, скорости и т.д., и каждую такую единицу можно определить, выбрав тот или иной эталон. Но система единиц оказывается значительно более удобной, если в ней всего лишь несколько единиц выбраны в качестве основных, а остальные определяются через основные (см. Таблицы 2-3).

Таблица 2.

ОСНОВНЫЕ ЕДИНИЦЫ
Величина	Единица	Обозначение
Наименование	Размерность	СИ	СГС
Длина	метр	L	м	см
Масса	килограмм	M	кг	г
Время	секунда	T	с	с
Термодинамическая температура	кельвин	Q	К	-
Сила тока	ампер	I	А	-
Сила света	кандела	J	кд	-
Количество вещества	моль	N	моль	-

Удобство такой системы единиц (особенно для ученых и инженеров, которые гораздо чаще встречаются с измерениями, чем остальные люди) в том, что математические соотношения между основными и производными единицами системы оказываются более простыми. Такие соотношения носят общий характер и выполняются независимо от того, в каких единицах (метр, фут или аршин) измеряется длина и какие единицы выбраны для других величин.

В принципе, можно представить себе какое угодно большое число разных систем единиц, но широкое распространение получили лишь несколько. В большинстве стран мира пользуются метрической системой.

Наличие различных систем ставит задачу перевода одних единиц в другие. Изменение основных единиц приводит к изменению производных единиц. Например, если основными единицами будут километр и час, то единица скорости окажется километр в час. Очевидно, необходимо найти такое соотношение, которое позволило бы определить, как с изменением каждой основной единицы изменится производная единица интересующей нас величины. Такое соотношение носит название формулы размерности единицы данной величины.

Для написания формулы размерности воспользуемся тремя основными единицами метрических систем СИ и СГС. В этих системах основными единицами являются метр, килограмм, секунда и сантиметр, грамм, секунда соответственно. Обозначим эти единицы как L, M и T, а их размерность, как a, b, с и т.д. относительно единиц длины, массы и времени и т.д. Если единица некоторой величины A обладает размерностью a, b, с, d, e, f, g , то символически это записывают в виде:

[A] = L^aM^bT^c Θ^dI^eJ^fN^g,

где квадратные скобки, в которые поставлен символ величины А, означают, что речь идет о размерности единицы этой величины, а символы L, M, T и т.д. представляют собой обобщенные обозначения единиц длины, массы и времени и т.д. без указания конкретного размера единиц.

Пример: Для функциональной зависимости (формулы) плотности вещества ρ = , формула размерности имеет вид: [ρ] = [m] [V]^-1 = (L³)^-1M¹T⁰ Θ⁰I^0fN⁰,

или, опуская символы основных единиц, стоящих в нулевой размерности: [ρ] = L^-3M¹,

Считается, что размерность положительна, если величина находится в числителе и отрицательна, если величина находится в знаменателе.

Размерность безразмерных величин равна нулю и в формулах размерности так же не записывается.

Пример: Для функциональной зависимости (формулы) объема шара V = πR³формула размерности имеет вид: [V] = [π] [R]³=L³.

Таблица 3.

ПРОИЗВОДНЫЕ ЕДИНИЦЫ СИ, ИМЕЮЩИЕ СОБСТВЕННЫЕ НАИМЕНОВАНИЯ
Величина	Единица	Выражение производной единицы
Наименование	Обозначение	через другие единицы СИ	через основные и дополнительные единицы СИ
Частота	герц	Гц	–	с–1
Сила	ньютон	Н	–	м×кг×с–2
Давление	паскаль	Па	Н/м2	м–1×кг×с–2
Энергия, работа, количество теплоты	джоуль	Дж	Н×м	м2×кг×с–2
Мощность, поток энергии	ватт	Вт	Дж/с	м2×кг×с–3
Электрический заряд	кулон	Кл	А×с	с×А
Электрическое напряжение и потенциал	вольт	В	Вт/А	м2×кг×с–3×А–1
Электрическая емкость	фарада	Ф	Кл/В	м–2×кг–1×с4×А2
Электрическое сопротивление	ом	Ом	В/А	м2×кг×с–3 ×А–2
Электрическая проводимость	сименс	См	А/В	м–2×кг–1×с3×А2
Поток магнитной индукции	вебер	Вб	В×с	м2×кг×с–2×А–1
Магнитная индукция	тесла	Т, Тл	Вб/м2	кг×с–2×А–1
Индуктивность	генри	Г, Гн	Вб/А	м2×кг×с–2×А–2
Световой поток	люмен	лм		кд×ср
Освещенность	люкс	лк		м2×кд×ср
Активность радиоактивного источника	беккерель	Бк	с–1	с–1
Поглощенная доза излучения	грэй	Гр	Дж/кг	м2×с–2

Предложите учащимся решить задачи.

Задание 1. Составьте формулы размерности для следующих функциональных зависимостей:

А) Ускорения a =

Решение. Используя формулу скоростиJ= , получим формулу размерности скорости

[J] = [S] [t]^-1 = L¹T^-1

Тогда формула размерности ускорения примет вид: [a] = [ J] [∆t]^-1 = L¹ T^-1T^-1= L¹ T^-2

Б) Силы F = ma

Решение. [F] = [m] [a] = L¹ M¹T^-2

В) Коэффициента жесткости пружины k =

Решение. [k] = [F] [∆x] = L¹ M¹T^-2 L^-1 = M¹T^-2

Г) Молярной массы M = m₀N_a=

Решение. [M] = [m] [v]^-1 = M¹N^-1

Умение составлять формулы размерности позволяют, например, переходить от одной системы единиц измерения к другой.

Например, найдем размерность кинетической энергии, определяемой формулой E = .

[E] =[ ] [m] [J]²=M¹(L¹T^-1)² = M¹L²T^-2 = L² M¹T^-2

При переходе от единиц системы СИ к единицам системы СГС формула размерности останется такой же, а единица кинетической энергии увеличится в (100)²×(1000)¹×(1)^-2=10⁷ раз. То есть 1Дж=10⁷эрг.

Задание 2. Используя теорию размерностей, переведите плотность вещества 7800кг/м³, в единицы системы СГС.

Решение. Формула размерности плотности вещества имеет вид: : [ρ] = L^-3M¹.

При переходе от единиц системы СИ к единицам системы СГС формула размерности останется такой же, а единица изменится в (100)^-3×(1000)¹=10^-3 раз, то есть уменьшится в 1000 раз. А значит, 7800кг/м³=7,8г/см³.

И наконец, умение работать с формулами размерности позволяет достаточно легко качественно, а порой и количественно (с точностью до констант) определить функциональные зависимости одних физических величин от других.

Задание 3. Согласно распространённой модели «Большого Взрыва» Вселенной время её существования оценивают в 10¹⁰ лет. Оцените размеры пространства Вселенной сейчас.

Подсказка: следует учесть, что согласно современным представлениям скорость распространения материальных процессов не может быть больше скорости света в вакууме.

Решение. Учитывая, что скорость распространения материальных процессов не может быть больше скорости света и расширение Вселенной происходит во всех направлениях с постоянной скоростью, расстояние от центра «Большого взрыва» S = ct,где с - скорость света в вакууме, а t - время расширения Вселенной. Размерность же: [S] = L¹, а объема: [V] = L³.

Тогда, понимая под размерами объем Вселенной, V~(ct)³.

Откуда: V~c³t³~ (3^.10⁸)^3.(3^.10¹⁷)³~7^.10⁷⁷м³

Задание 4. Животным пустыни приходится преодолевать большие расстояния в поисках воды. Как зависит максимальное время, в течение которого может бежать животное, от размеров животного?

Решение.В предположении, что средняя плотность тел животных примерно одинакова, можно считать, что запас воды пропорционален объему тела V. Тогда размерность «запаса» можно считать пропорциональной размерности объема, где [V] = L³. Расход же, то есть скорость испарения, пропорционален площади поверхности тела S.

Учителю: для лучшего понимания ситуации предложите учащимся ответить на вопрос: что быстрее испарится - вода, налитая в стакан или такая же масса воды, разлитая по полу?

Тогда размерность «расхода» можно считать пропорциональной размерности площади поверхности,

где [S] = L². Так как расход = , то время можно выразить как отношение «запаса» к «расходу». Размерность времени будет пропорциональна отношению размерностей объема V и площади S тела.

Тогда [t] ~ ~ L³L^-2 ~ L¹.

Значит, максимальное время пробега от одного источника до другого прямо пропорционально L, то есть линейным размерам животного. Заметим, что и максимальное расстояние, которое может пробежать животное, также пропорционально L.

Занятие 2. Измерения и погрешности

Учителю: это занятие целесообразно провести в том случае, если его материал не знаком учащимся. В противном случае рекомендуем этот материал только обзорно повторить.

Для занятия рекомендуется приготовить:

1) измерительные приборы: линейка ученическая, секундомер (часы с секундной стрелкой), динамометр

2) материалы: калориметрические тела или деревянные бруски, отрезы провода (проволоки) длиной 10-15см, нитяные маятники (небольшие тела на подвесе)