Зведення системи сил до заданого центру
Основна теорема статики
Сили, довільно розташовані в просторі, можна привести до однієї сили, рівній їх головному вектору та прикладеному до центра зведення, і однієї пари сил з моментом, рівним головному моменту всіх сил відносно центра зведення.
Геометрична сума всіх сил системи називається головним вектором і позначається R*. Рівнодіючу позначають R .
Момент пари сил відносно центра зведення, дорівнює геометричній сумі моментів сил системи відносно цього центра.
_ _ _ _
М= Мо=Σmo(Pk)
Теорема Варіньона про момент рівнодіючої
Момент рівнодіючої сили, якщо вона існує, відносно любої точки дорівнює геометричній сумі моментів складових сил відносно тієї ж точки.
Система сил, довільно розташованих на площині
Обчислення головного вектора та головного моменту сил
Головний вектор, довільно розташованих сил на площині, обчислимо користуючись методом проекцій. Всі сили розташовані в площині хОу. Головний вектор 
*= 
проекції на координатні осі Rх*=P1x+P2x+…+Рnx, Rу*=P1у+P2у+…+Рnу, де Ркx та Рку – проекції сили Р на координатні осі. __________
Модуль головного вектора R=√Rx*2+ Ry*2 та його напрямляючи косинуси
_ _ _ _
cos(R*^i)=(Rx*/R*); cos(R*^i)= (Ry*/R*)
Так як всі сили і центр зведення лежать в одній площині, то головний момент довільної плоскої системи сил відносно довільного центру розташованого в цій площині, визначається як алгебраїчна сума моментів сил відносно цього центра.
Аналітичні умови рівноваги довільної плоскої системи сил
Для того, щоб довільна плоска система сил була зрівноваженою необхідно і достатньо, щоб головний вектор та головний момент відносно довільного центру зведення були рівні нулю. __________
*=0, Мо=0, або R=√Rx*2+ Ry*2 =0 звідки отримуємо Rх*=0, Rу*=0
Маємо три основні рівняння рівноваги
ΣPkx=0
ΣPky=0
Σmo(Pk)=0
Існують дві інші системи трьох рівнянь рівноваги сил.
ІІ ΣmА( 
)=0; ΣmВ( )=0; Pku=0;
При цьому вісь U не може бути перпендикулярна прямій, котра проходить через точки А і В.
ω
А1
_
Р1 А2 α≠π/2
Р2
α
А В
Р4
А4 А3
Р3
ΣmА( )=0; ΣmВ( )=0; Σmс( )=0
Де точки А,В,С не лежать на одній прямій.
Приклади рішення задач
1. Кран має шарніри в точках А, В і D при цьому АВ=АD=ВD=8м. центр ваги ферми крана знаходиться на відстані 5м від вертикалі, котра проходить через точку А. Виліт крана рахуючи від точки А, рівний 15 м. Підіймаємий вантаж важить 200 кН; вага ферми Р=120 кН. Визначити опорні реакції і натяг ВD для указаного положення крана.
y
_
B Q
_ _
T _ P
60o yA
D 60o 5м
_
хА x
A
Рішення. Кран знаходиться під дією активних сил Р i Q і реакції в’язів. Реакція стержня BD направлена вздовж стержня, а реакція рухомого шарніра представлена двома складовими хА та уА.
Рівняння рівноваги:
ΣPkx=0; хА-Тcos60о=0 (1)
ΣPky=0; уА-Тsin60o-Р-Q=0 (2)
ΣmA(Pk)=0; T*ABsin60o-P*5-Q*15=0 (3) AB=8
З рівняння (3) Т=520(кН)
З рівняння (1) хА=260(кН)
Рівняння (2) уА=Тsin60o+Р+Q=770 (кН)
Відповідь: ) Т=520(кН), хА=260(кН), уА=770 (кН)
2. Визначити реакцію жорсткого закріплення консольної балки, зображеної на малюнку. На балку діє зосереджена сила Р, пара сил з моментом М і розподілене навантаження за законом трикутника.
y
_
Q
q
уА _
Р1 _
Р2
mA А хА 45о
2м 1м 1,5м В x
1м 3м 5м
А
Дано q=4кН/м, Р1=2кН, α=45о, Р1=1кН, М=3кН*м
Визначити хА, уА, mA
Рішення. На балку діють зосереджені сили Р1, Р2, розподілене навантаження, котре замінимо зосередженою силою Q=1/2*g*l; Q=1/2*4*3=6; котра прикладена в центрі ваги трикутника.
Реакцію жорсткого защіплення зобразимо силю зі складовими хА, уА та mA
Запишемо рівняння рівноваги
ΣPkx=0; хА-Р1cos45о=0 (1)
ΣPky=0; уА-Q-P1sin45o-Р2=0 (2)
ΣmA(Pk)=0; mA-Q(1+2)- P1sin45o*5,5-P2*9-M=0 (3)
З рівняння (1) хА=1,41 (кН)
З (2) уА=8,41(кН)
3 (3) mA=37,78(кН*м)
Відповідь: хА=1,41 (кН), уА=8,41(кН), mA=37,78(кН*м)
Увага! Якщо розподілення навантаження рівномірне, то зосереджена сила Q=g*l і
Q прикладена посередині балки
q
l
Якщо навантаження розподілене за лінійним законом, то зосереджена сила обчислюється за законом Q=1/2*g*l і прикладена в точці, що ділить відрізок д в співвідношенні 2:1
_
Q
qmax
0<g<gmax
2/3*l 1/3*l
l