Теорема об изменении кинетической энергии мнханической системы

Изменение кинетической энергии материальной системы на ее конечном перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил на этом перемещении:

,

где Т₀ – начальное значение кинетической энергии системы.

Формулы для подсчёта кинетической энергии

Твердого тела в различных видах его движения

1. Тело движется поступательно

Скорости всех точек твердого тела одинаковы и равны скорости центра масс тела, поэтому:

,

где М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с.

Тело вращается вокруг неподвижной оси

,

где J_z – момент инерции тела относительно оси вращения тела, кг·м²; угловая скорость вращения тела, 1/c.

Тело совершает плоское движение

Плоское движение может быть рассмотрено как сумма поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного движения тела вокруг оси Сz^', перпендикулярной присоединенной плоскости и проходящей через центр масс тела, поэтому:

,

где J_Сz^' – момент инерции тела относительно оси вращения Сz^', кг·м²; - угловая скорость вращения тела, 1/c; М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с.

Тело вращается вокруг неподвижной точки

,

где J_ω – момент инерции тела относительно мгновенной оси скоростей, кг·м².

Примечание: 1. Момент инерции цилиндра: 2. Момент инерции ступенчатого шкива: 3. Момент инерции блока, масса которого равномерно распределена по ободу:

Примеры вычисления работы сил

1. Сумма работ внутренних сил системы в общем случае отлична от нуля.

2. Если материальная система представляет собой абсолютно твердое тело, то сумма работ внутренних сил равна нулю.

3. Работа любой силы равна нулю, если сила приложена в неподвижной точке, скорость которой равна нулю в данный момент времени.

4. Работа внутренних сил натяжений гибких нерастяжимых тросов, канатов и т.п. равна нулю.

5. Работа силы тяжести равна произведению веса материальной системы на вертикальное перемещение центра масс, взятому со знаком «плюс», если центр масс опускается, и со знаком «минус», если центр масс поднимается: А=± Mgh_c, где М – масса материальной системы, кг; h_c – вертикальное перемещение центра масс, м; g – ускорение свободного падения, м/с².

6. Работа силы, приложенной к вращающемуся вокруг оси абсолютно твердому телу, равна: А=± M^П(φ-φ₀), где M^П- момент пары сил, приложенной к телу, Нм; φ-φ₀ – значение конечного угла поворота тела.

7. Работа силы трения: А= - F_тр·S, где S- перемещение, м. Работа силы трения всегда отрицательна.

8. Работа сил упругости пружины: А=0,5с∙(λ²₀ - λ²₁), где с - коэффициент жесткости пружины; λ - удлинение пружины, м. Работа положительна при λ₀> λ₁ и отрицательна при λ₀< λ₁.

ЗАДАЧА Д3