Розділ іі. похибки вимірювань фізичних величин

Сучасне становище

Міжнародна система одиниць СІ складається з набору одиниць вимірювання та набору кратних і частинних префіксів до них. Система також визначає стандартні скорочені позначення для одиниць та правила запису похідних одиниць.

Одиниці виміру

В основі СІ лежать незалежні одна від одної основні одиниці, а інші, похідні одиниці, встановлюються через рівняння з основних одиниць.

Основні одиниці. На даний момент в СІ визначено сім основних фізичних величин, які, за домовленістю, вважаються незалежними. Відповідними до них є сім основних одиниць виміру.

Похідні одиниці, що мають власні назви. Похідні одиниці СІ є добутками цілих степенів основних одиниць. Деякі з похідних одиниць виміру мають власні назви, їх теж можна використовувати при визначенні інших похідних одиниць. На даний час існує 22 такі одиниці виміру.

За допомогою вищезазначених семи основних та двадцяти двох похідних одиниць можна побудувати одиницю виміру будь-якої відомої на даний час фізичної величини. Але через те, що загальна кількість фізичних величин в науці необмежена, тому навести повний перелік похідних одиниць вимірювання неможливо.

Множники та префікси для утворення кратних та частинних одиниць

В СІ існують десяткові множники за допомогою яких можна утворювати кратні та частинні одиниці. Всі числові префікси є степенями десяти.

В системі СІ забороняється придумувати комбінації префіксів, що складаються з двох або більше префіксів.

Правопис

Існує загальна міжнародна згода, щодо написання та використання позначень і назв одиниць та їх префіксів. Дотримування правил сприяє підвищенню читабельності текстів.

Позначення одиниць пишуться звичайним прямим шрифтом, на відміну від позначень фізичних величин, що пишуться курсивом. Наприклад, м (метр) та m (маса).

Позначення одиниць завжди пишуться з рядкової букви, якщо вони не утворені від особових імен, якщо одиниця названа на честь людини, то перша буква позначення завжди є великою, але, при написанні назви повністю, ця назва пишеться з рядкової букви. Наприклад, 15 кг; 60 с; 2 Н, але 2 ньютона; 200 мкФ, але 200 мікрофарад.

Якщо використовуються префікси, вони пишуться попереду одиниці та пишуться з нею разом.

Позначення одиниць є математичними виразами, а не скороченнями. Тому після них не ставиться крапка.

Забороняється використовувати скорочені назви одиниць СІ, наприклад сек. замість с, або кв. м, замість м². Використовування правильних позначень одиниць СІ є обов'язковим, тільки в такому випадку можна уникнути невизначеностей та непорозумінь.

Зважаючи на важливість теми «Міжнародна система одиниць (СІ)» для успішного засвоєння матеріалу розділу «Основи метрології» дисципліни «Електрорадіовимірювання» та подальшого ефективного використання в практичній діяльності набутих навичок, весь матеріал теми розбитий на дві контрольні роботи: «Контрольна робота «Одиниці системи СІ» та «Контрольна робота «Кратні та частинні одиниці в системі СІ. Відносні одиниці вимірів».

КОНТРОЛЬНА РОБОТА «ОДИНИЦІ СИСТЕМИ СІ»

До складу контрольної роботи включені питання по темі «Міжнародна система одиниць (СІ)» та питання, які відносяться до теми «Організація метрологічної служби в Україні». Такий підбір запитань дає можливість закріпити знання по основній темі та перевірити рівень залишкових знань по неосновній темі.

Для успішного виконання контрольної роботи необхідно вивчити фактичний матеріал тем, та дати відповіді на запропоновані запитання.

Індивідуальні завдання (білети) пропонується сформувати з чотирьох запитань – три по основній темі, одне по неосновній, приклад наведений в додатку 1.

Питання до контрольної роботи «Одиниці СІ»

1. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: маса?
2. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: довжина?
3. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: час?
4. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: сила електричного струму?
5. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: сила електричного струму?
6. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: частота?
7. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: сила?
8. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: енергія?
9. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: потужність?
10. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: величина електричного заряду?
11. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: електрична напруга?
12. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: ємність?
13. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: опір?
14. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: провідність?
15. Вкажіть, до яких одиниць (основних чи похідних) відноситься величина: індуктивність?

1. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: омах?
2. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: амперах?
3. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: сименсах?
4. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: фарадах?
5. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: вольтах?
6. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: генрі?
7. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: теслах?
8. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: веберах?
9. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: кулонах?
10. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: ватах?
11. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: герцах?
12. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: джоулях?
13. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: метрах?
14. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: кілограмах?
15. Вкажіть, яка фізична величина вимірюється в: кельвінах?

1. Вкажіть, як позначається фізична величина «маса» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
2. Вкажіть, як позначаються фізична величина «довжина» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
3. Вкажіть, як позначаються фізична величина «час» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
4. Вкажіть, як позначаються фізична величина «сила електричного струму» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
5. Вкажіть, як позначаються фізична величина «температура» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
6. Вкажіть, як позначаються фізична величина «частота» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
7. Вкажіть, як позначаються фізична величина «сила» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
8. Вкажіть, як позначаються фізична величина «енергія» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
9. Вкажіть, як позначаються фізична величина «потужність» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
10. Вкажіть, як позначаються фізична величина «електричний заряд» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
11. Вкажіть, як позначаються фізична величина «електрична напруга» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
12. Вкажіть, як позначаються фізична величина «електрична ємність» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
13. Вкажіть, як позначаються фізична величина «електричний опір» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
14. Вкажіть, як позначаються фізична величина «електрична провідність» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?
15. Вкажіть, як позначаються фізична величина «індуктивність» та одиниці її виміру (українські та міжнародні)?

1. Дайте визначення метрології, як науки.

2. Що Ви розумієте під терміном «єдність вимірювань»?

3. Що Ви розумієте під терміном «Точність вимірювань»?

4. Назвіть вищий орган Міжнародної метричної конвенції?

5. Вкажіть де зберігаються міжнародні еталони?

6. Назвіть, як називається вищий орган з питань стандартизації, метрології та якості продукції в Україні?

7. Вкажіть, чи стандарти колишнього СРСР вважаються чинними на території України?

8. Назвіть вищий орган з питань стандартизації, метрології та якості продукції України?

9. Вкажіть чи знаходиться у Вінницькій області центр стандартизації, метрології та сертифікації?

10. Вкажіть, як скорочено називається Міжнародна організація з питань стандартизації?

11. Вкажіть, що є законодавчою основою національної метрологічної си­стеми України?

12. Вкажіть, чи підлягають засоби вимірювальної техніки ввезені із закордону, державним випробуванням?

13. Вкажіть, на яку Державну службу покладено виконання завдання передачі сигналів точного часу?

14. Вкажіть, які головні завдання Державної служби стандартних зразків складу і властивостей речовин та матеріалів?

15. Вкажіть, які головні завдання Державної служби стандартних довідкових даних про фізичні сталі та властивості речовин і матеріалів?

КОНТРОЛЬНА РОБОТА «КРАТНІ ТА ЧАСТИННІ ОДИНИЦІ В

СИСТЕМІ СІ. ВІДНОСНІ ОДИНИЦІ ВИМІРІВ»

До складу контрольної роботи включені питання «Відносні одиниці вимірів» та «Кратні та частинні одиниці в системі СІ» теми «Міжнародна система одиниць (СІ)».

Для успішного виконання контрольної роботи необхідно вивчити фактичний матеріал тем, та дати відповіді на запропоновані запитання. Контрольні питання, що відносяться до групи «Відносні одиниці вимірів» розроблені для усного розв’язування. Для цього слід згадати правила переходу від абсолютних до відносних одиниць вимірювання:

де Р₁, Р₂, І₁, І₂ – виміряні потужності та струми (напруги), відповідно.

Легко замітити, що «децибели» це покажчик степеню, тому множення та ділення одиниць виражених в «разах» можна замінити на додавання та віднімання тих самих одиниць виражених в «децибелах». Таким чином для розв’язання запропонованих завдань достатньо запам’ятати всього кілька табличних співвідношень між «децибелами» та «разами» (наприклад, 10 відповідає 10 дБ; 2 відповідає 3 дБ (за потужністю) та 10 відповідає 20 дБ; 2 відповідає 6 дБ (за напругою або струмом)), щоб без використання обчислювальної техніки, з достатньою точністю робити взаємні перетворення.

Для переведення числа вираженого в «децибелах» потрібно представити його як суму та різницю чисел 10 і 3, а потім поставити їм у співвідношення їх відображення в «разах» і замінити додавання на множення, а віднімання на ділення. Наприклад, потрібно перевести 12 «децибелів» за потужністю в «рази», тоді розпишемо 12 як суму чисел 3:

потужність зросла на:	12 дБ =	3 дБ	+	3 дБ	+	3 дБ	+	3 дБ
↓ переводимо ↓		↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕
потужність збільшилась в:		×		×		×		= 16 разів

Інший приклад. Необхідно визначити скільки в разах 14 дБ за напругою:

напруга зменшилась на:	14 дБ =	20 дБ	-	3 дБ	-	3 дБ
↓ переводимо ↓		↕	↕	↕	↕	↕
напруга зменшилась в:		÷		÷		= 5 разів

Для зворотного переведення з «разів» в «децибели» необхідно число представити як добуток або частку табличних значень, потім їм у відповідність поставити відображення в «децибелах» замінити множення на додавання, а ділення на віднімання і вирахувати вираз:

Необхідно перевести в децибели 141 раз за напругою:

напруга зменшилась в:	141 раз =		×		×
↓ переводимо ↓		↕	↕	↕	↕	↕
напруга зменшилась на:	3 дБ	+	20 дБ	+	20 дБ	= 43

Необхідно перевести в децибели 16 разів за потужністю:

потужність зросла в:	16 раз =		÷		×
↓ переводимо ↓		↕	↕	↕	↕	↕
потужність зросла на:	5 дБ	-	3 дБ	+	10 дБ	= 12

або так:

потужність зросла в:	16 раз =		×		×		×
↓ переводимо ↓		↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕
потужність зросла на:	3 дБ	+	3 дБ	+	3 дБ	+	3 дБ	= 12

Індивідуальні завдання (білети) пропонується сформувати з чотирьох запитань – три по темі «Відносні одиниці вимірів», одне по темі «Кратні та частинні одиниці в системі СІ», приклад наведений в додатку 2.

Питання до контрольної роботи «Кратні та частинні одиниці в системі СІ.

Відносні одиниці вимірів»

1. Рівень напруги зріс на 3 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
2. Рівень напруги зріс на 6 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
3. Рівень напруги зріс на 9 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
4. Рівень напруги зріс на 10 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
5. Рівень напруги зріс на 13 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
6. Рівень напруги зріс на 16 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
7. Рівень напруги зріс на 18 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
8. Рівень напруги зріс на 20 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
9. Рівень напруги зріс на 24 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
10. Рівень напруги зріс на 26 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
11. Рівень напруги зріс на 30 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
12. Рівень напруги зріс на 33 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
13. Рівень напруги зріс на 36 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
14. Рівень напруги зріс на 40 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
15. Рівень напруги зріс на 46 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла напруга?
16. Рівень напруги знизився на 3 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
17. Рівень напруги знизився на 6 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
18. Рівень напруги знизився на 9 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
19. Рівень напруги знизився на 10 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
20. Рівень напруги знизився на 12 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
21. Рівень напруги знизився на 16 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
22. Рівень напруги знизився на 18 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
23. Рівень напруги знизився на 20 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
24. Рівень напруги знизився на 24 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
25. Рівень напруги знизився на 26 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
26. Рівень напруги знизився на 30 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
27. Рівень напруги знизився на 36 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
28. Рівень напруги знизився на 40 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
29. Рівень напруги знизився на 42 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?
30. Рівень напруги знизився на 46 дБ. У скільки разів, приблизно, знизилась напруга?

1. Напруга зросла у 1,41 рази. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
2. Напруга зросла у 2 рази. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
3. Напруга зросла у 2,8 рази. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
4. Напруга зросла у 3,2 рази. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
5. Напруга зросла у 4 рази. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
6. Напруга зросла у 6,3 рази. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
7. Напруга зросла у 8 разів. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
8. Напруга зросла у 10 разів. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
9. Напруга зросла у 14,1 разів. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
10. Напруга зросла у 16 разів. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
11. Напруга зросла у 20 разів. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
12. Напруга зросла у 28 разів. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
13. Напруга зросла у 32 рази. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
14. Напруга зросла у 40 разів. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
15. Напруга зросла у 100 разів. На скільки децибелів, приблизно, зросла напруга?
16. Напруга зменшилась у 2 рази. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
17. Напруга зменшилась у 3,2 рази. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
18. Напруга зменшилась у 4 рази. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
19. Напруга зменшилась у 6,3 рази. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
20. Напруга зменшилась у 8 разів. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
21. Напруга зменшилась у 10 рази. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
22. Напруга зменшилась у 16 разів. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
23. Напруга зменшилась у 20 разів. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
24. Напруга зменшилась у 28 разів. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
25. Напруга зменшилась у 32 рази. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
26. Напруга зменшилась у 40 разів. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
27. Напруга зменшилась у 100 разів. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
28. Напруга зменшилась у 200 разів. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
29. Напруга зменшилась у 320 разів. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?
30. Напруга зменшилась у 1000 рази. На скільки децибелів, приблизно, знизилась напруга?

1. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 3 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
2. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 6 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
3. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 9 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
4. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 10 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
5. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 12 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
6. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 13 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
7. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 16 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
8. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 19 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
9. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 20 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
10. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 23 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
11. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 26 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
12. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 29 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
13. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 30 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
14. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 33 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
15. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 36 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
16. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 39 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
17. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 40 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
18. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 43 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
19. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 46 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
20. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 49 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
21. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 50 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
22. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 53 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
23. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 56 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
24. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 59 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
25. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 60 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
26. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 63 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
27. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 66 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
28. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 69 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
29. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 70 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?
30. Рівень потужності на виході підсилювача зріс на 73 дБ. У скільки разів, приблизно, зросла потужність на виході підсилювача?

1. Представте запис 100 ГОм у тетаомах.
2. Представте запис 1 ГОм у мегаомах.
3. Представте запис 0,1 ГОм у кілоомах.
4. Представте запис 100 МОм у тетаомах.
5. Представте запис 10 МОм у гігаомах.
6. Представте запис 1 МОм у кілоомах.
7. Представте запис 0,01 МОм у омах.
8. Представте запис 100 кОм у гігаомах.
9. Представте запис 10 кОм у мегаомах.
10. Представте запис 1 кОм у омах.
11. Представте запис 0,01 кОм у міліомах
12. Представте запис 100 В у мегавольтах.
13. Представте запис 10 В у кіловольтах.
14. Представте запис 0,1 В у мілівольтах.
15. Представте запис 0,001 В у мікровольтах.
16. Представте запис 100 мА у кілоамперах.
17. Представте запис 10 мА у амперах
18. Представте запис 1 мА у мікроамперах.
19. Представте запис 0,001 мА у наноамперах.
20. Представте запис 100 мкА у амперах.
21. Представте запис 10 мкА у міліамперах.
22. Представте запис 0,2 мкФ у нанофарадах.
23. Представте запис 0,002 мкФ у пікофарадах.
24. Представте запис 10000 нФ у фарадах.
25. Представте запис 100 нФ у міліфарадах.
26. Представте запис 20 нФ у мікофарадах.
27. Представте запис 0,2 нФ у пікофарадах.
28. Представте запис 1000 пФ у міліфарадах.
29. Представте запис 200 пФ у мікрофарадах.
30. Представте запис 10 пФ у нанофарадах.

РОЗДІЛ ІІ. ПОХИБКИ ВИМІРЮВАНЬ ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН

При вимірюванні фізичних величин розме­жовують два поняття: істинне значення фізичної величини та результати вимірювань фізичної величини [2].

Істинне значення фізичної величини, А_і — це значення, що ідеально відображає властивості об'єкта як у кількісно­му, так і в якісному відношеннях.

Результат вимірювань, А_х завжди містить в собі якусь неточність, обумовлену багатьма чинниками (це і обрані методи вимірювання, тех­нічні засоби, властивості органів чуття спостерігача, вплив зовнішнього середовища й самих фізичних величин та ін.), цю неточність називають похибкою вимірювання — це число, що по­казує можливі межі невизначеності значення вимірюваної величини. Таким чином результат вимірювання є приблизною оцінкою значення шуканої ве­личини.

Різни­ця між результатом вимірювання А_х та істинним значен­ням шуканої величини А_і називається абсолютною похиб­кою вимірювання:

Δ = А_х – А_і

В цій формулі криється певна невизначеність, оскільки істинне значення А_і шуканої фізичної величини невідоме, невідомі й похибки вимірювання. Для одержання хоча б приблизних відомостей про похибки у формулу підставляють дійсне значення фізичної величини А_д - значення фізичної величини, знайдене експериментально, яке настільки наближається до істинного, що його можна використовувати у вимірюванні замість істинного. В якості значень А_д використовують розрахункові значення, обчислені за формулами, покази еталонів, зразкових приладів і точніших технічних засобів вимірювання.

Причини виникнення похибок можна об'єднати у дві великі групи:

1. Чинники, що з'являються нерегулярно і зникають несподівано або проявляються з непередбачуваною інтенсивністю є причиною випадкової похибки. Деякі з чинників можуть проявлятися надпосильно (наприк­лад, зміна напруги у мережі електроживлення) і призводи­ти до того, що похибка перевищуватиме допустимі межі. Такі похибки у складі випадкових називаються грубими. До них слід віднести і похибки з вини спостерігача, які називаються промахи.

2. Чинники постійні або такі, що закономірно зміню­ються у процесі вимірювання фізичної величини призводять до виникнення систематичних похибок.Їх особливість полягає в тому, що вони або постійні за величиною, або ж закономірно змінюються при повторних вимірюваннях однієї й тієї самої величини.

Отже, у процесі вимірювання фізичної величини проявляються як випадкові, так і систематичні похибки вимірювань. Систематичні похибки зазвичай визначаються і виключаються з результатів вимірювання під час повірки засобів вимірювання, а мінімізувати випадкові похибки можливо лише при виконанні серії вимірювань з подальшим математичним опра­цюванням експериментальних даних.

Опис випадкових похибок

Опис випадкових похибок проводиться із застосуванням елементів теорії ймовірності. Основною ідеєю при цьому є те, що при багаторазовому вимірюванні фізичної величини в кожному наступному вимірюванні випадкові похибки призводять, як до збільшення результатів вимірювання так і до зменшення із однаковою ймовірністю (підпорядковуються нормальному закону розподілу), а тому в процесі знаходження середнього арифметичного вони взаємно знищаться. При цьому середнє арифметичне і буде найбільш близьким до істинного значення (по іншому найбільш очікуваним значенням) вимірюємої величини. Теоретично при збільшенні кількості вимірів до нескінченності, середнє арифметичне точно відповідатиме істинному значенню вимірюємої величини [2].

Однієї статистичної характеристики недостатньо для опису випадкового процесу. Середнє арифметичне не описує, а як далеко від нього розташовуються всі виміри. Вони можуть бути зосереджені навколо середнього арифметичного, можуть бути зосереджені локально в стороні від нього, можуть бути «розмазані» по широкому проміжку можливих значень, а можуть вкладатись у вузький проміжок навколо середнього арифметичного. Опис ступеня розсіювання випадкових похибок (або міра їх зосередженості) визначається дисперсією розподілу - D, яка має розмірність квадрата вимірю­ваної величини (дисперсія незручна для користування), тому використовується позитивне значення квадратного кореня з дисперсії – середнє квадратичне відхилення результатів спостережень, .

Довірчі межі (інтервали) випадкових похибок — це верхня та ниж­ня межі проміжку, в які випадкові похибки δ потрапляють із заданою ймовірністю Р_задане, яка називається довірчою ймо­вірністю. Чим вища задана ймовірність тим ширшим буде інтервал, в який попадають похибки, і навпаки, чим вужчий довірчий інтервал, тим менша ймовірність, що похибка не перевищить заданої межі.

Довірчий інтервал, обчислюється за формулою:

,

де σ - середнє квадратичне відхилення;

k – коефіцієнт, який задає точність вимірювання (задається в довідниках, приклад табл. 1).

Таблиця 1

Рзадане	0,683	0,90	0,95	0,98	0,99	0,995	0,9973
k	1,00	1,645	1,96	2,33	2,58	2,80	3,00

Так, при нормальному розподілі похибок з ймовірністю Р_задане=0,68, випадкові похибки δ знаходяться у довірчих межах ±1σ; з ймовірністю Р_задане=0,95 – у межах подвійної середньої квадратичної похибки ±2σ; а з ймовірністю Р_задане=0,9973 – у ме­жах ±3σ.

Для звичайних технічних вимірювань, коли не вима­гається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95.

Математична обробка результатів багаторазових вимірювань

Результати багаторазових спостережень А₁, А₂, А₃,… А_i одержані при вимірювані фізичної величини опрацьовуються по-різному, залежно від того, мало (n < 40) чи багато (п > 40) проведено спостережень.

При малій кількості результатів обробка їх проводить­ся з використанням в якості коефіцієнта k коефіцієнтів Стюдента, при великій кількості в якості коефіцієнта k приймають значення інтегралу ймовірностей (ці значення табульовані та розраховані для нескінченно великої кількості вимірювань).

1. Визначається середнє арифметичне значення результатів спостережень:

2. Обчислюються відхилення результатів спо­стережень від та їх квадрати:

3. Визначається середнє квадратичне відхилення резуль­татів спостережень:

де D – дисперсія розподілу результатів спостереження.

4. Перевіряється нормальність розподілу результатів спо­стережень. Для цього необхідно знайти суму всіх відхилень результатів вимірів - вона повинна бути рівна нулю, інакше необхідно знайти грубі похибки.

5. Визначається наявність грубих похибок і-го виміру за критерієм δ ≥3σ. Результати з грубими помил­ками опускають і проводять обчислення для меншого чис­ла спостережень з попередньою послідовністю.

6. Визначається середнє квадратичне середнього арифметичного результатів спостережень:

7. Задавши значення довірчої ймовірності Р_задане, визначається зна­чення довірчого інтервалу випадкової похибки:

де k – коефіцієнт Стюдента k_ст, або табульоване значення інтегралу ймовірностей k_йм.

8. Результат істинного значення записується у такому вигляді:

Приклад. Визначте істинне значення виміряної тем­ператури в апараті за низкою результатів спостережень (табл. 2) при заданій ймовірності Р_задане =0,95.

Таблиця 4.3

вимір
tі, °С	123,5	123,8	123,6	123,7	123,9	123,0	123,4	123,2	123,1	123,3	101,2	145,2

1. Визначаємо середнє арифметичне даних спостережень:

Одержане числове значення середнього арифметичного округляємо до t_с = 123,41 °С (щоб випадкові відхилення не були більшими за дві-три значущі цифри при точних вимірюваннях).

2. Визначаємо відхилення результатів спостережень:

δ₁=123,5-123,41=0,09; δ₂=123,8-123,41=0,39; …. δ₁₂=145,2-123,41=21,79.

Їх сума не дорівнює нулю, хоча повинна. Проте два спостереження (номер 11 та 12) мають значні відхилення, тому перевіряємо їх щодо наявності грубих відхилень за відношенням δ ≥3σ.

3. Визначаємо середнє квадратичне відхилення резуль­татів спостережень:

- згідно з правилом δ ≥3σ два останніх спостереження (номер 11 та 12), відхилення яких наближаються до 3σ, відносяться до ре­зультатів з грубими похибками, вилучаємо їх з ряду спостережень, залишивши в ньому перші 10 спостережень. Повторюємо обробку результатів для 10 спостережень, отримуємо:

- середнє арифметичне значення результатів 10 спостережень: ;

- відхилення результатів 10 спостережень: δ₁=123,5-123,45=0,05; δ₂=123,8-123,45=0,35; …. δ₁₀=123,3-123,45=-0,15. Їх сума дорівнює нулю. Значних відхилень результатів спостережень не виявлено;

- середнє квадратичне відхилення результатів 10 спостережень: ;

4. Визначаємо середнє квадратичне середнього арифметичного результатів спостережень:

5. Визначаємо значення довірчого інтервалу випадкової похибки, за Р_задане = 0,95:

- при 10 спостереженнях, знаходимо значення коефіцієнта Стюдента: k_ст = 2,228 [1. Додаток 5]

- в разі застосування Інтегралу ймовірностей: k_йм ≈1,95 [2. Приложение 1. Табл.П4]

6. Записуємо результат істинного значення вимірюва­ної температури:

- при використанні коефіцієнтів Стюдента:

- в разі застосування Інтегралу ймовірностей:

Як видно з отриманих результатів, при застосуванні розподілу Стюдента довірчий інтервал розширюється відносно результату отриманого з допомогою Інтегралу ймовірностей. Це пов’язане з тим, що значення Інтегралу ймовірностей обчисленні при умові, що кількість вимірів прагне до нескінченності, а в розподілі Стюдента враховується і кількість вимірів, що й зумовлює розширення довірчої межі. При кількості вимірів понад сто коефіцієнти k_ст та k_йм практично збігаються.

КОНТРОЛЬНА РОБОТА «ПОХИБКИ ВИМІРЮВАНЬ ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН»

До складу контрольної роботи включені питання, для визначення рівня знань матеріалу розділу «Похибки вимірювань фізичних величин», які розбиті по темам: «Похибки непрямих вимірювань»; «Класифікація похибок»; «Випадкові похибки».

Для успішного виконання контрольної роботи необхідно вивчити фактичний матеріал тем, та дати відповіді на запропоновані запитання. Виконання задачі по обчисленню істинного значення фізичної величини, виміри якої містять випадкову похибку орієнтоване на використання табличного процесору MS Excel, де є вбудовані функції статистичного обробітку масиву даних.

Індивідуальні завдання (білети) пропонується сформувати з трьох запитань – два теоретичних, одна задача, приклад наведений в додатку 3.

Питання до контрольної роботи «Похибки вимірювань»

1. Які похибки вимірювань ви знаєте. Охарактеризуйте процеси, що призводять до їх виникнення.
2. Наведіть визначення систематичної похибки. Охарактеризуйте процеси, що призводять до виникнення систематичних похибок.
3. Наведіть визначення випадкової похибки. Охарактеризуйте процеси, що призводять до виникнення випадкових похибок.
4. Наведіть визначення методичної похибки. Вкажіть, до яких похибок відносяться методичні похибки.
5. Наведіть визначення апаратурної похибки. Вкажіть, до яких похибок відносяться апаратурні похибки.
6. Наведіть визначення суб’єктивної похибки. Вкажіть, до яких похибок відносяться суб’єктивні похибки.
7. Що таке паралакс зору. Вкажіть, до яких похибок відноситься це явище.
8. Що таке промахи. Вкажіть, до яких похибок відноситься це явище.
9. Вкажіть, які шляхи подолання систематичних похибок вимірювань ви знаєте.
10. Вкажіть, як можна зменшити вплив випадкових похибок на результат вимірювань.
11. Наведіть визначення довірчого інтервалу.
12. Наведіть визначення довірчої ймовірності.
13. Поясніть, що таке грубі похибки вимірювань. які шляхи виявлення грубих похибок вимірювань ви знаєте.
14. Поясніть, в яких випадках для визначення довірчого інтервалу використовують коефіцієнти Стюдента. Чи відрізняються між собою результати обчислень довірчого інтервалу через коефіцієнти Стюдента та за допомогою інтегралу ймовірності.
15. Вкажіть, чи змінюється похибка вимірювань при переході від прямих до непрямих вимірювань однієї і тієї ж величини. Якщо так, то яким чином.

1. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншими величинами залежністю Х+У. Наведіть формулу для розрахунку абсолютної похибки вимірювань.
2. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншими величинами залежністю Х-У. Наведіть формулу для розрахунку абсолютної похибки вимірювань.
3. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншими величинами залежністю Х·У. Наведіть формулу для розрахунку абсолютної похибки вимірювань.
4. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншими величинами залежністю Х÷У. Наведіть формулу для розрахунку абсолютної похибки вимірювань.
5. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншими величинами залежністю Хⁿ. Наведіть формулу для розрахунку абсолютної похибки вимірювань.
6. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншими величинами залежністю Х^1/n. Наведіть формулу для розрахунку абсолютної похибки вимірювань.
7. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншою величиною залежністю sinХ. Наведіть формулу для розрахунку абсолютної похибки вимірювань.
8. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншою величиною залежністю cosХ. Наведіть формулу для розрахунку абсолютної похибки вимірювань.
9. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншими величинами залежністю Х+У. Наведіть формулу для розрахунку відносної похибки вимірювань.
10. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншими величинами залежністю Х-У. Наведіть формулу для розрахунку відносної похибки вимірювань.
11. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншими величинами залежністю Х·У. Наведіть формулу для розрахунку відносної похибки вимірювань.
12. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншими величинами залежністю Х÷У. Наведіть формулу для розрахунку відносної похибки вимірювань.
13. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншими величинами залежністю Хⁿ. Наведіть формулу для розрахунку відносної похибки вимірювань.
14. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншими величинами залежністю Х^1/n. Наведіть формулу для розрахунку відносної похибки вимірювань.
15. Вимірюєма величина функціонально пов’язана із іншою величиною залежністю sinХ. Наведіть формулу для розрахунку відносної похибки вимірювань.

В результаті серії однократних вимірювань величини отриманий масив результатів вимірювань (варіанти за номером у журналі):

варіант	номер вимірювання
	7,60	7,45	7,40	7,50	7,40	7,40	7,65	7,50	7,45	8,00
	9,90	10,60	10,70	10,60	10,50	10,40	10,60	10,60	10,80	10,00
		33,6	33,4	33,5	33,4	33,5	33,6	33,5	33,6	33,4
	13,10	13,00	13,80	13,60	13,90	13,10	13,50	13,60	13,80	13,70
	9,10	9,90	9,60	9,50	9,80	9,70	9,00	9,00	9,60	9,00
	17,00	17,00	17,70	17,60	17,90	17,10	17,50	17,80	17,60	17,20
	12,80	12,00	12,60	11,90	12,00	12,80	12,70	12,60	12,10	12,50
	6,90	6,50	6,10	6,60	6,80	6,70	6,00	5,90	6,60	6,00
	15,60	15,80	15,00	15,60	14,50	15,00	15,70	15,80	15,60	15,50
	24,70	24,80	25,00	25,00	24,70	24,50	24,80	24,50	25,00	24,50
	13,50	13,40	13,50	14,90	13,50	13,40	13,40	13,50	13,50	13,40
	4,55	4,45	4,35	4,45	4,50	4,45	4,35	4,50	5,10	4,45
	14,00	14,15	14,20	14,20	14,15	14,20	11,30	14,15	14,20	14,10
	46,40	46,30	46,30	46,40	46,40	48,40	46,30	46,30	46,40	46,30
	37,4	38,1			37,2	38,2	37,8		37,1	37,6
	11,90	12,30	11,10	11,20	11,30	11,30	11,80	11,90	12,20	12,50
	46,50	48,40	47,30	43,90	43,50	44,40	47,60	42,00	45,40	44,50
	15,00	14,80	14,90	14,00	14,80	14,80	14,90	14,80	14,90	14,90
	31,2	30,7	30,2	30,5	30,6	30,5	30,2	30,7	31,2	31,2
	17,10	16,20	16,80	16,50	16,20	17,10	16,90	16,90	16,60	16,00
	20,40	19,90	20,10	19,10	20,00	19,90	20,10	19,20	19,50	19,50
	34,7		34,5	34,6	34,7	34,6	34,7	34,6	34,5	34,6
	26,1	26,9	27,2	26,1		26,3	26,3			27,2
	28,1	28,1	27,6	27,4	28,2	28,2	27,9	27,6		27,2
		28,7	28,6	29,9	28,3	28,4	28,3	28,4	28,4	28,3
	7,9	7,5	7,7	7,2	7,6	7,6	8,4	7,7	7,4	8,5
	4,3	4,5	4,5	4,3	4,3	4,4	4,3	4,4	4,5
	11,00	10,50	10,10	10,10	10,70	10,30	10,90	10,40	10,80	10,00
	23,6	23,4	24,9	23,4	23,4	23,5	23,7	23,3	23,7	23,4
	17,60	17,30	18,40	17,80	18,30	17,40	17,20	17,80	17,80	17,20

Визначте дійсне значення вимірюємої величини, довірчий інтервал (при довірчій ймовірності 0,8), використовуючи інтеграл ймовірності та коефіцієнти Стюдента, порівняйте результати. Перевірте результати вимірювань на наявність грубих похибок.