ДC.7 Використання теореми про зміну кінетичної енергії для вивчення руху матеріальної системи

Матеріальна система(рис.7.1-7.5) рухається із стану спокою під дією сили тяжіння. Знайти прискорення та швидкість тіла 1 у момент часу, коли воно пройде шлях S. Масами шнурів, силами опору в шарнірах знехтувати. Тіла котяться по поверхнях без ковзання.

Величини для розрахунків наведені в табл. 7.1 де прийнято такі позначення: m₁ ,m₂ ,m₃ – маси тіл 1, 2, 3; R₂, r₂, R₃, r₃ — найбільші та найменші розміри ступінчастих шківів тіл 2 та 3; ρ_2x, ρ_3x — радіуси інерції ступінчастих шківів 2 та 3 відносно осі обертання; α,β кути нахилу площин до горизонту. Якщо тіла (шківи) 2 або 3 однорідні, тоді при розрахунках брати R₂, R₃. Шнури над похилими площинами паралельні цим площинам.

Таблиця 7.1

Варіант	m1, кг	m2, кг	m3, кг	R2, M	r2, M	R3, M	r3,M	ρ2x, M	ρ3x, M	α
				0.6	0.5	0.5	0.3	0.6	0.4
				0.8	0.6	0.7	0.4	0.7	0.6
				0.65	0.5	0.6	0.4	0.5	0.5
		0.5	1.5	0.5	0.4	0.45	0.2	0.45	0.3
		0.75	1.25	0.4	0.3	0.3	0.15	0.35	0.2
				0.4	0.35	0.35	0.25	0.3	0.3
		0.3		0.3	0.2	0.25	0.15	0.2	0.2
		0.2	0.3	0.2	0.15	0.25	0.2	0.2	0.25
				0.7	0.6	0.6	0.3	0.65	0.5
				0.75	0.65	0.65	0.45	0.7	0.5
3	4
5	6

Рисунок 7.1

Рисунок 7.2

Рисунок 7.3

Рисунок 7.4

Рисунок 7.5

Приклад виконання завдання

Визначити прискорення та швидкість центра мас тіла 1 у момент часу, коли він пройде шлях S1, якщо матеріальна система (рис.7.6) починає рухатися із стану спокою. Масами шнурів знехтувати. Тіла 1 та 3 рухаються без ковзання. Дано: m1=10кг; m2=2кг; m3=1кг; R2=0.4M; r2=0.3M; R3=0.3M; r3=0.2M; ρ2=0.35M; ρ3=0.25M; α=30˚; β=45˚; S1=0.4M

Рисунок 7.6

Розв’язання. Для дослідження руху матеріальної систем (рис.7.6) застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи в диференціальній формі.

=∑N^е+∑N^і (7.1)

де Т — кінетична енергія системи при 0<х≤S1; ∑N^і та ∑N^е− сума потужностей внутрішніх та зовнішніх сил системи. Матеріальна система (рис.7.6) складається із твердих тіл та нерозтяжних шнурів, тоді

∑ N^і=0. (7.2)

І диференціальне рівняння (6.1) набуває вигляду

=∑ N^е. (7.3)

Знайдемо кінематичні співвідношення між швидкостями точок, кутовими швидкостями тіл записавши їх через швидкість V₁ центра мас тіла1.

Кутова швидкість тіла 1, враховуючи, що миттєвий центр швидкості тіла 1 знаходиться в точці О₁ (рис.7.6)

w₁ = (7.4)

де R₁ – радіус однорідного суцільного диска (тіла) 1.

Кутова швидкість тіла 2

(7.5)

Швидкість точки А, враховуючи, що тіла 2 та 3 з’єднані нерозтяжним шнуром.

. (7.6)

Оскільки точка О₃ – миттєвий центр швидкості тіла 3, тоді

(7.7)