Длина свободного пробега и среднее число столкновений молекул идеального газа
| Молекулы газа, | находясь | |||
| d | в тепловом движении, непре- | |||
| рывно сталкиваются друг с дру- | ||||
| гом. Под столкновением моле- | ||||
| кул подразумевают | процесс | |||
| взаимодействия между молеку- | ||||
| лами, в результате которого мо- | ||||
| лекулы изменяют | направление | |||
| Рис. 11.2.1 | своего движения. | Минимальное | ||
| расстояние d, на которое сбли- | ||||
жаются при столкновении центры двух молекул, называется эффек-
тивным диаметром молекулы.Величинаσ=πd2называется эффек-
тивным сечением молекулы.Эффективный диаметр молекул зависитот их энергии молекул, а, следовательно, и от температуры. С повыше-нием температуры эффективный диаметр молекул уменьшается. Пред-положим вначале, что все молекулы, кроме выбранной, застыли непод-вижно на своих местах. Рассмотрим движение выделенной молекулы. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет лететь пря-молинейно до тех пор, пока не столкнется с какой-либо другой непод-вижной молекулой. Это соударение произойдет в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется на прямой, вдоль которой ле-тит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра моле-кулы. В результате столкновения молекула изменит направление сво-его движения, после чего некоторое время опять будет двигаться пря-молинейно, пока на ее пути не встретится молекула, центр которой бу-дет находиться в пределах цилиндра радиуса d (см. рис. 11.2.1). Число соударений с молекулами, происходящих за время t, равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь ломаного цилиндра длины l = υотн t и радиуса d.Гдеυотн−средняя скорость движения моле-
кул по отношению друг к другу (а не средней скоростью молекул отно-сительно стенок сосуда). Объем цилиндра можно считать равным
| V = πd 2 | υотн t . | (11.2.1) |
| Если взять время t = 1 с, то объем будет равен | ||
| V = πd 2 | υотн . | (11.2.3) |
Умножив этот объем на число молекул в единице объема n, по-лучим среднее число столкновений молекулы за единицу времени (1 секунду)
| z = πd 2υотн n . | (11.2.4) |
Найдем 〈υотн〉. Относительная скорость двух произвольно взятых молекул равна υотн = υ2 − υ1 . Возведя это соотношение в квадрат, по-
лучим: υотн2 = ( υ 2 − υ1 ) 2 = υ 22 + υ12 − 2 υ1υ2 . Среднее значение суммы не-скольких величин равно сумме средних значений складываемых вели-
чин. Поэтому υотн2 = υ 22 + υ12 − 2 υ1υ2 . Событие, заключающиеся
в том, что первая молекула имеет скорость υ1 , а вторая − скорость υ2 , являются статистически независимыми. Поэтому 〈υ1 υ2〉 = 〈υ1〉〈υ2〉. Для газа, находящегося в равновесии, каждый из этих сомножителей равен
| нулю. Таким образом υ 2 | = | υ 2 | + υ 2 = 2 υ2 . | Полученный ре- | |
| отн | |||||
| зультат означает, что υотн.ср.кв. = | 2υср.кв. . Средние квадратичные ско- | ||||
| рости пропорциональны средним арифметическим, следовательно | |||||
| υотн | = | 2 υ . | (11.2.5) | ||
| Тогда среднее число столкновений за секунду | |||||
| z | = | 2πd 2 υ n . | (11.2.6) |
Средняя длина свободного пробега −это среднее расстояние,ко-
торое проходит молекула между двумя последовательными столкно-вениями. Если за время t = 1 c молекула проходит путь L = 〈υ〉t = 〈υ〉 и претерпевает при этом в среднем 〈z〉 столкновений, то средняя длина свободного пробега будет равна
| λ = | L = | υ . | (11.2.7) | ||
| z | z | ||||
| Учитывая формулу (11.2.6) для среднего числа столкновений, | |||||
| окончательно получим | |||||
| λ = | . | (11.2.7) | |||
| 2πd 2n |
В случае, когда длина свободного пробега молекул превышает
линейные размеры сосуда, говорят, что в сосуде достигнут вакуум. Газ в этом случае называют ультраразреженным. Хотя в буквальном смысле слова вакуум означает «пустоту», в ультраразреженном газе
содержится в единице объема большое число молекул. Так, при дав-лении в 10−6 мм. рт. ст. в 1 м3 находится примерно 1016 молекул. Более
того, в очень малых порах состояние , определяемое как вакуум, может быть достигнуто и при атмосферном давлении.
Поведение ультраразреженных газов отличается целым рядом особенностей. В вакууме молекулы обмениваются импульсами только со стенками сосуда, так что имеет смысл лишь понятие давления газа на стенку. Внутреннее трение в газе также отсутствует. Однако тело, движущееся в ультраразреженном газе, будет испытывать действие силы трения, обусловленной тем, что молекулы, ударяясь об это тело, будут изменять его импульс. Коэффициент теплопроводности оказы-вается в ультраразреженном газе пропорциональным плотности газа. Теплопередача от одной стенки к другой будет с понижением давле-ния уменьшаться, в то время как теплопроводность газа при обычных условиях не зависит от давления.