III. 8. Трение качения

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса r и веса P, находящийся на шероховатой поверхности

(рис. I.33,а). Приложим к оси катка горизонтальную силу .

Рис. I.33

Тогда на каток действуют, кроме заданных активных сил и , нормальная реакция в точке касания катка с плоскостью и сила трения , препятствующая скольжению катка. Как показывает опыт, если сила достаточно мала, то каток остается в покое.

Но при такой схеме сил, действующих на цилиндр, = - × r отличен от нуля, и при любой сколько угодно малой силе должно было бы начаться качение, что реально не наблюдается.

Для объяснения полученного парадокса приходится оказаться от введенной ранее гипотезы абсолютно твердого тела и принять во внимание, что вблизи точки контакта А поверхности цилиндра и плоскости деформируются, и их касание происходит по некоторой площадке конечной ширины (рис. I.33,б), сдвинутой относительно вертикального диаметра катка в направлении качения. Пока каток находится в равновесии, силы , и ( равнодействующая распределенных по пятну контакта сил давления) уравновешены, т.е. линия действия силы проходит через центр катка, а, значит, ее точка приложения В должна быть смещена от вертикали, проходящей через центр катка, на некоторое расстояниеd. Коэффициент d называется плечом трения качения, ибо он имеет размерность длины. Разложим силу на составляющие: нормальную и касательную – силу трения. Составим уравнения равновесия катка: F-T =0; N – P =0; N × d - T × r = 0.

В последнем уравнении плечо силы трения T ввиду малости деформации взято равным r . Полученная схема действующих сил статически не противоречива. Первые два уравнения определяют трение T = F и нормальную реакцию N = P, а из третьего уравнения можно найти расстояние d :

d = (F/P) × r. Как видно, с увеличением силы растет расстояниеd. Но величина d определяет размеры деформированной области, которая не может расти неограниченно, а отсюда следует, что при некотором значении силы F смещение d достигает предельной величины и равновесие должно нарушиться, каток придет в движение.

Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется условие

d £ , которое можно записать и так: момент силы трения качения

= £ , или £ ( / ) .

Заметим, что для силы, приложенной к катку в точке D (рис. I.33,в) условие равновесия имеет вид £ ( / ) .

Коэффициент k = называется коэффициентом трения качения;

В отличие от коэффициента коэффициентом трения качения k является размерной величиной и имеет размерность длины.

Первые исследования трения качения были проведены Кулоном в опытах с качением тяжелого цилиндра по плоскости и установлены следующие приближенные законы для максимального момента трения, препятствующего качению:

- максимальный момент в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка;

- предельное значение момента ( )_max пропорционально нормальному давлению, т.е. нормальной реакции N : ( )_max = k × N.

Коэффициент трения качения в первом приближении можно полагать не зависящим от скорости скольжения и угловой скорости качения катка. Но его значение зависит от материала контактирующих тел, состояния их поверхностей и определяется опытным путем. В справочниках приводятся значения k для различных пар материалов. О порядке величины k [см], можно судить по его значениям для некоторых материалов:

- дерево по дереву k=0,05-0,08;

- сталь по стали (колесо по рельсу) k=0,005;

- сталь закаленная по стали (шариковый подшипник) k=0,001.

Обычно k/ << для большинства материалов. Отсюда следует, что трение качения весьма мало по сравнению с трением скольжения (примерно на два порядка). Уже давно было известно, что для перекатывания цилиндрического тела требуется гораздо меньшая сила, чем при его перетаскивании. Поэтому в технике, когда это возможно и целесообразно, стремятся заменить скольжение качением (колесо, катки, шарикоподшипники и т.п.).

Пример.Груз весом Р₁ расположен посередине доски, опирающейся на два одинаковых цилиндрических катка, которые могут перекатываться по неподвижной поверхности (рис.I. 34,а). Вес каждого катка Р₂, радиус катка , коэффициенты трения качения между катком и доской k₁, между катком и основанием – k_2. Найти максимальную силу , приложенную горизонтально к доске, при которой доска будет еще оставаться в покое.

Рис.I.34

Р е ш е н и е. Рассмотрим равновесие одного катка, отбросив мысленно верхнюю и нижнюю поверхности, заменив их действие соответствующими реакциями (рис.I. 34,б). Со стороны нижней поверхности на каток действует нормальная реакция , смещенная по отношению к вертикальному диаметру на расстояние k₂ вправо, т.е. в сторону возможного качения катка, и сила трения ; со стороны доски – нормальная реакция , смещенная на k₁ влево от вертикального диаметра, и сила трения , равная половине силы .

1.Уравнения равновесия катка в проекции на вертикаль:

- Р₂ - = 0, откуда = Р₂ + .

2. Уравнение равновесия катка вместе с грузом:

- Р₂ - Р₁/2 = 0, откуда = Р₂ + Р₁/2 и, следовательно, = Р₁/2.

3. Сумма моментов всех сил относительно точки А :

× k₁ + × k₂ - (1/2) × 2 = 0, откуда искомая максимальная сила

.

Частные случаи:

1. k₁ = k₂ = k = ;

2. = = и Р₂ << Р₁ = .

ГЛАВАIV. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО СТАТИКЕ

Поскольку основные положения и методы теоретической механики широко используются во многих областях техники, поэтому важной задачей является применение теоретических результатов к конкретным приложениям (решение контрольных работ). Приведем также краткие рекомендации по решению задач на равновесие тел и примеры выполнения контрольных работ.