Кинетическая энергия вращающегося тела

Момент количества движения и момент силы относительно неподвижной оси

Рассмотрим неподвижную ось . Пусть относительно некоторой точки О, лежащей на этой оси, момент количества движения - , а момент силы - .

РИС. 3-15

Моментом количества движения (или моментом импульса) относительно оси называют проекцию на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки на оси: .

Аналогично вводится понятие момента силы относительно данной оси: .

Свойства этих величин выясним, спроектировав на ось уравнение моментов:

.

Производная по времени момента количества движения относительно некоторой оси равна моменту силы относительно этой же оси.

В частности, если , то .

Если момент силы относительно некоторой неподвижной оси равен нулю, то момент количества движения частицы относительно этой же оси остается постоянным.

При этом сам вектор может меняться! Например, может прецессировать вокруг оси. В качестве примера рассмотрим поворот вектора под действием силы тяжести.

РИС. 3-16

- поворачивается под действием момента силы тяжести . Также момент силы перпендикулярен оси x, т.е. ее не пересекает:

.

Запишем аналитические выражения для и , т. е. найдем проекции на ось векторных произведений и .

Введем цилиндрические координаты: .

РИС. 3-17

Тогда:

- радиус-вектор от азимута не зависит (так как частица вращается вокруг оси Oz),

, подставим в выражение для момента количества движения с учетом правила векторного произведения:

( здесь учтен момент импульса, а также выражение для связи линейной и угловой скорости, здесь введена проекция угловой скорости по z, а также - момент инерции материальной точки).

Аналогично введем:

, после подстановки в выражение для момента силы, с учетом векторного произведения, получаем:

( - проекция вектора силы на орт ).

Закон сохранения момента количества движения относительно оси можно записать также следующим образом:

если , то и, следовательно, - сохраняется угловая скорость движения.

Для системы материальных точек, жестко связанных между собой, т. е. для твердого тела (жесткая связь – чтобы была для всех точек одна):

{это сумма моментов количества движения отдельных частиц}

= , где .

Демонстрационные опыты на сохранение момента количества движения

Скамья Жуковского

Малое трение. Реагирует на вращательный импульс, ось которого вертикальна.

а) Человек сидит, широко раскинув руки. Приводим во вращение. Момент количества движения . Человек прижимает руки к телу, момент инерции уменьшается, угловая скорость вращения возрастает: .

.

Вывод: изменение момента инерции приводит к изменению угловой скорости вращения.

Вспомним фигуристов, гимнастов, акробатов!

Рассмотрим регулятор скорости вращения (регулятор Уатта).

РИС. 3 –18

Чем больше , тем больше центробежная сила , тем больше , тем больше , тем меньше - обратная связь. Т.е.

б) Человек сидит неподвижно на скамье Жуковского (обозначим 1) и держит маховик (обозначим 2) с вертикальной осью: . Раскручивает маховик:

Вся система приходит во вращение в противоположном направлении:

Так как (поскольку радиусы разные), то и . По-прежнему .

в) Человек тормозит вращение маховика. Оба момента количества движения обращаются в нуль одновременно. На этом основано управление движением, например, космических объектов, а также стабилизирующие маховики (гироскопы).

г) Если ось маховика горизонтальна, его можно крутить сколько угодно, и система не приходит во вращение: . , следовательно, и .

РИС. 3-19

д) При повороте оси вращения маховика вся система приходит во вращение (так как и ) таким образом, чтобы .

Опыт Эйнштейна – де Гааза

(данный материал является дополнительным)

Каждый атом обладает некоторым моментом количества движения относительно выбранной оси. Однако тела, состоящие, как известно, из атомов, не вращаются самопроизвольно, так как полный (суммарный) момент количества движения всех атомов уравновешивается всевозможными внешними силами (моментами сил), действующими на тело (например, силой трения). Как правило, однако, хотя , из-за хаотической ориентации .

Итак, некоторое твердое тело, например брусок из магнитного материала, подвешено вертикально (вдоль оси z) и никакого внешнего движения не имеет. Однако внутри имеются .

РИС. 3-20

Если бы мы теперь нашли способ, чтобы установить все в одном направлении, то

, т. е. , и все тело в целом должно начать вращаться в противоположном направлении, чтобы обеспечить закон сохранения момента количества движения .

Как организовать установление атомных в одном направлении?

Известно, что момент количества движения атома связан с его магнитным моментом через так называемое гиромагнитное отношение.

Конкретно: ; ; ;

- магнитное квантовое число, =0, 1, 2… (для орбитального движения).

- собственный момент количества движения электрона.

.

Значит, если намагнитить тело, т. е. установить атомные магнитики в одном направлении, то и установятся в одном направлении, следовательно, .

Из этого опыта определялась величина гиромагнитного отношения.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия частицы, находящейся на расстоянии от оси:

.

Отсюда – кинетическая энергия всего вращающегося тела:

, - момент инерции тела.

Таким образом, в механике вращательного движения момент инерции играет роль массы, а угловая скорость – роль линейной скорости в поступательном движении.

Работа сил, вращающих тело

Покажем, что работа сил, вращающих тело, за промежуток времени t равна .

Для этого надо вспомнить определение работы и вместо силы использовать выражение (с. 55), а вместо , т.е. использовать выражение для скорости и связь ее с угловыми характеристиками.

Для справки!

Вычисления моментов инерции: Стрелков С.П. «Механика», 1965 г. (§59).

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, , то момент инерции относительно любой параллельной ей оси есть . Здесь а - расстояние между осями.

Таким образом, зная момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, сразу находим момент инерции относительно любой другой оси.

Для доказательства рассмотрим две оси, ось z -обозначим О - совпадает с центром масс, и О¢ проходящую через т. (x₀ y₀). Расстояние между осями

.

Пусть частица с массой тела Dm_i имеет координаты (x_i , y_i).

РИС. 3-21

Момент инерции относительно оси O(по определению) имеет следующий вид:

Для второй оси О¢:

. Раскроем скобки и произведем суммирование. В итоге получим искомую теорему. При этом также учитывается, что члены, соответствующие моментам сил в поле тяжести, равны нулю! Это члены вида:

для x, и аналогичный для y.

Литература к лекциям 1- 5

1. И. Е. Иродов. «Основные законы механики», 2-е изд., 1978 год.

2. С. Э. Хайкин. «Физические основы механики», 2-е изд., 1971 год.

3. С. П. Стрелков. «Механика», 3-е изд., 1975 год.

4. Берклеевский курс физики: Ч.Киттель, У.Найт, М.Рудерман «Механика», 1971 г.

5. А. В. Астахов. «Механика. Кинетическая теория материи» (Курс физики, т. 1),
1977 г.

6. Д. В. Сивухин. «Общий курс физики», т.1 . Механика, Москва, 1974 г.

5 Лекция 5