Теорема Гауса в інгегральній формі

Теорема Гауса - один із основних законів електростатики, еквівалентний закону Кулона, твердження про зв'язок між потоком вектора електричної індукції через замкнену поверхню, і сумарним зарядом, в об'ємі, оточеному цією поверхнею. Теорема Гауса справедлива також для змінних полів і є одним із основних законів електродинаміки.

В системі СІ теорема Гауса має вигляд:

де D - вектор електричної індукції, Q - сумарний електричний заряд в об'ємі, оточеному поверхнею S:

де - густина заряду.

В гаусовій системі одиниць СГСГ теорема Гауса формулюється

де E - напруженість електричного поля.

Теорему Гауса можна сформулювати так: потік напруженості, що пронизує будь-яку замкнену поверхню, що оточує електричні заряди, пропорційний алгебраїчний сумі оточених зарядів.

Теорема Гауса для електричних полів в вакуумі в інтегральній формі.

Розглянемо деяку поверхню S. Обчислимо потік, що протікає через неї.

– заряд знаходиться всередині поверхні;

– заряд поза поверхнею.

Потік вектора напруженості крізь довільну замкнену поверхню S в вакуумі дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, зосереджених в об’ємі, що обмежений цією поверхнею, поділеній на .

(1.5)

Теорема Гауса і закон Кулона відображають одну і ту саму фундаментальну властивість електростатичного поля: його інтенсивність обернено-пропорційна квадрату відстані від точкового заряду.

Висновок: оскільки в загальному випадку потік не дорівнює нулю, то лінії електростатичного поля незамкнені. Вони починаються на позитивних зарядах, а закінчуються на негативних.

Доведена теорема ряді в випадків дозволяє розв’язати основну задачу електростатики. Для цього необхідна наявність певної симетрії в розподілі зарядів.

Застосування теореми Гауса для розрахунку поля.

А) Поле нескінченої одноріднозарядженої площини.

Б) Поле нескінченого одноріднозарядженого круглого циліндру радіуса R.

В) Поле одноріднозарядженої кулі радіуса R.

Алгоритм розв’язання основної задачі електростатики:

1) висновок про симетрію поля;

2) вибір вигляду замкненої поверхні;

3) обчислення потоку крізь неї;

4) обчислення повного заряду всередині поверхні;

5) визначення залежності напруженості від відстані.

Дивергенція вектора.

Величина потоку визначає сумарну алгебраїчну потужність джерел та стоків поля – об’єм рідини, що утворюється чи поглинається за одиницю часу.

– середня питома потужність джерел в одиниці об’єму.

Границя відношення потоку поля крізь замкнену поверхню до об’єму, що обмежений цією поверхнею, при стягання його до точки називають дивергенцією поля в даній точці.

(1.6)

Фізичний зміст дивергенції – питомий потік, питома потужність джерел (стоків) поля.

Дивергенція – скалярна функція координат, локальна характеристика поля.

Обчислимо дивергенцію в декартовій системі координат.

Нехай дано точку та задано напруженість поля . Знайдемо зміну потоку через поверхню куба, що оточує точку А зі сторонами . Пронумеруємо грані куба так, щоб грані 1 та 2 були перпендикулярні осі , 3 та 4 ­– осі , а 5 та 6 – осі . Обчислимо потоки через ці грані:

Тоді потік вздовж осі :

– приріст середнього значення при зміщенні вздовж осі на .

Аналогічно:

Тоді

(1.7) – визначає дивергенцію вектора в т. в декартових координатах.

Позначимо . Тоді (1.8).

В сферичних координатах:

(1.9)

Поле зарядженої осі.

Під зарядженою віссю розуміють теоретично нескінченно довгий провідник. Заряд на одиницю довжини осі приймемо рівним τ. Для знаходження напруженості поля в точці, розташованої на відстані r від осі, проведемо через цю точку циліндричну поверхню так, щоб вісь цього циліндра збігалася із зарядженою віссю. З міркувань симетрії ясно, що напруженість поля у всіх точках циліндричної поверхні буде однаковою. Замкнена поверхня утворюється бічною поверхнею й двома денцями циліндра. На поверхні циліндра вектор, що зображує елемент поверхні циліндра ds перпендикулярний поверхні циліндра й по напрямкові завжди збігається з вектором напруженості електричного поля E. Потік вектора E через денця циліндра відсутній, тому що елемент поверхні денця перпендикулярний вектору напруженості електричного поля E.

Використовуючи теорему Гауса одержуємо:

Ми обчислюємо поверхню циліндра одиничної довжини й використовуємо заряд, що доводиться на ту ж одиницю довжини.