Тема 1.15. Общие теоремы динамики

Импульс силы, количество движения. Теорема о количестве движения для точки. Кинетическая энергия точки. Теорема о кинетической энергии для точки. Система материальных точек. Внешние и внутренние силы системы.

Основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела. Момент инерции тела.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

В рекомендованных учебниках [2, 3, 4], а также в руководстве [1], студенты найдут достаточное число примеров задач подобных тем, которые включены в контрольную работу. Поэтому ниже даны лишь необходимые краткие методические указания к решению задач контрольной работы.

Первую задачу (задачи 1-10) следует решить после изучения тем 1.1 и 1.2. Во всех задачах рассматривается равновесие плоской системы сходящихся сил и требуется определить реакции двух шарнирно соединенных между собой стержней, удерживающих два груза. Таким образом, к шарниру В в каждой задаче приложены четыре силы, из которых две неизвестны. Для задач этого типа универсальным является аналитический метод решения.

Последовательность решения задачи:

1) выбрать тело (точку), равновесие которого следует рассматривать;

2) освободить тело (шарнир В) от связей и изобразить действующие на него активные силы и реакции отброшенных связей. Причем реакции стержней следует направить от шарнира В, так как принято считать предположительно стержни растянутыми;

3) выбрать систему координат, совместив ее начало с точкой В, и составить уравнения равновесия, используя условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости ΣХ_i=0; ΣY_i=0;

4) определить реакции стержней из решения указанной системы уравнений;

5) проверить правильность полученных результатов по уравнениям, которые не использовались при решении задачи, либо решить задачу графически.

Пример 1. Определить реакции стержней, удерживающих грузы F₁=70кН и F ₂=100 кН (рис. 1, а). Массой стержней пренебречь.

1. Рассматриваем равновесие шарнира В (рис. 1, а).

2. Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей (рис. 1, а).

3. Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В.

ΣХ = - R₁ cos 45⁰ + F₂ cos 30⁰ = 0. (1)

ΣY = R₁ sin 45⁰ + R₂ + F₂ sin 30⁰ – F₁ = 0. (2)

		y
	В

4. Определяем реакции стержней R₁ и R₂, решая уравнения (1), (2). Из уравнения (1)

= =122.6 кН

Подставляем найденное значение R₁ в уравнение (2) и получаем:

R₂ = F₁ – F₂ sin 30⁰ – R₁ sin 45⁰ = 70-100*0.5-122.6*0.707 = - 66.6 кН.

Знак минус перед значением R₂ указывает на то, что первоначально выбранное направление реакции неверное – следует направить реакцию R₂ в противоположную сторону, т.е. к шарниру В (на рис. 1, б истинное направление реакции R₂ показано штриховым вектором).

5. Проверяем правильность полученных результатов, решая задачу графически (рис. 1, в). Полученная система сил (рис. 1, б) находится в равновесии, следовательно, силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, должен быть замкнутым.

Строим силовой многоугольник в следующем порядке (рис. 1, в): в выбранном масштабе (например, μ_сил= 2 кН/мм) откладываем заданную силу F₁ ( = ) затем из точки b под углом 30⁰ к горизонту откладываем силу F₂ ( = ), далее из точек a и c проводим прямые, параллельные положениям стержней 1 и 2. Эти прямые пересекаются в точке d и в результате построения образуется замкнутый многоугольник abcd, в котором сторона = , а сторона = . Измерив длины этих сторон (в мм) и умножив на масштаб построения μ_сил, получаем значения реакций стержней: R₂ = cd* μ_спл = 33*2 = 66 кН и R₁ = daμ_сил = 61*2=122 кН.

Графическое решение подтверждает правильность первого решения.

Вторую задачу (задача 11-20) следует решать после изучения тем 1.3 и 1.4 . Во всех задачах требуется определить реакции опор балок. Студентам необходимо приобрести навыки определения реакций опор, так как с этого начинается решение многих задач по сопротивлению материалов и деталям машин.

Последовательность решения задачи:

1) изобразить балку вместе с нагрузками;

2) выбрать расположение координатных осей, совместив ось x с балкой, а ось y направив перпендикулярно оси x;

3) произвести необходимые преобразования заданных активных сил:

силу, наклоненную к оси балки под углом α, заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную по закону прямоугольника нагрузку – ее равнодействующей, приложенной в середине участка распределения нагрузки;

4) освободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор, направленными вдоль выбранных осей координат;

5) составить уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил, таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор;

6) проверить правильность найденных опорных реакций по уравнению, которое не было использовано для решения задачи.

Пример 2. Определить реакции опор балки (рис. 2, а).

б)

1. Изобразим балку с действующими на нее нагрузками (рис. 2, а).

2. Изобразим оси координат x и y.

Рис. 2

3. Силу F заменяем ее составляющими F_x = F cos α и

F_y = F sin α.

Равнодействующая qCD равномерно распределенной нагрузки, приложенная в точке пересечения диагоналей прямоугольника (рис. 2, б), переносится по линии своего действия в середину участка CD, в точку K.

4. Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями

(рис. 2, в).

5. Составляем управления равновесия статики и определяем неизвестные реакции опор.

а) Из уравнения суммы моментов всех действующих на балку сил, составленного относительно одной из точек опор, сразу определяем одну из неизвестных вертикальных реакций:

ΣM_A = F_y*AB + M + qCD*AK - R_D*AD = 0;

б) Определяем другую вертикальную реакцию:

ΣM_D = R_Av*AD - F*BD + M - qCD*KD = 0;

в) Определяем горизонтальную реакцию:

ΣX = R_Ax – F_x = 0; R_Ax = F_x = F cos α = 20*0.866 = 17.3 kH

5. Проверяем правильность найденных результатов:

6. ΣY = R_Ay – F_y – _qCD + R_Dy = 5.5 – 10 – 2 + 6.5 = 0.

Условие равновесия ΣY=0 выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.