Теорема Остроградського - Гаусса

1. Сформульована Гауссом і доведена Остроградським теорема дозволяє за принципом суперпозиції обчислювати напруженості полів, утворених системами електричних зарядів.

2. Визначення. Потік вектора напруженості електричного поля через будь-яку, довільно обрану замкнуту поверхню, пропорційний розміщеному в середині цієї поверхні електричному заряду.

3. , або де Ф_Е потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверхнею S, q - повний заряд, що міститься в об'ємі, обмежений поверхню S, ε₀ - електрична стала.

4. Теорема Остроградського - Гаусса застосовується для електростатичного поля у вакуумі:

Рисунок 10.7 Графіки напруженості електростатичного поля:а) точкового заряду,б) зарядженої кулі, в) нескінченної пластини.

10.4 Напруженість електростатичного поля заряджених тіл

Поле точкового заряду (Рисунок 10.7 а)

, де q – заряд, що створює поле; R – відстань від заряду до точки, у якій розглядають напруженість поля; ξ – діелектрична проникність середовища, що оточує заряд;. k=9∙10⁹ Н∙м²/Кл²

Поле зарядженої кулі (Рисунок 10.7 б)

а) Якщо R < r, то Е=0 б) якщо R > r, то ; де q – заряд кулі, що створює поле; r- радіус кулі; R – відстань від центру зарядженої кулі до точки, в якій розглядають напруженість поля; ξ – діелектрична проникність середовища, що оточує кулю;. k=9∙10⁹ Н∙м²/Кл²

Поле зарядженої нескінченної пластини(Рисунок 10.7 в)

Е=σ/2ξξ₀ , де σ - густина поверхневого заряду σ=q/S.

Е з відстанню від пластини не змінюється, тому поле отримане від зарядженої пластини називають однорідним.

Напруженість поля двох різнойменно заряджених площин

Рисунок 10.8 Поле двох різнойменно заряджених площин

Знаючи, яким є поле зарядженої площини та користуючись принципом суперпозиції, можна визначити характер поля двох різнойменно заряджених площин. Припустимо, що на обох заряджених площинах поверхнева густина зарядів однакова. За принципом суперпозиції напруженість результуючого поля буде дорівнювати векторній сумі напруженості поля кожної із площин. Тому що в просторі між площинами напрямок ліній напруженості полів обох заряджених площин однаковий, і напруженість , результуючого поля по модулю буде в 2 рази більша напруженості поля однієї зарядженої площини: або

Рисунок 10.9 До пояснення роботи заряду в електростатичному полі

Зовні площин лінії напруженості мають протилежні напрямки, і напруженість результуючого поля дорівнює нулю. Досліди підтверджують те, що поле двох різнойменно заряджених площин зосереджено між площинами (Рисунок 10.8). Напруженість поля між площинами всюди однакова. Це означає, що таке електричне поле буде однорідним. Однорідність поля порушується лише біля країв пластин.

10.5 Робота сил поля. Потенціальність електростатичного поля. Потенціальна енергія заряду в полі.

Робота сил поля. Потенціальність електростатичного поля.

Якщо в полі точкового заряду q з точки 1 в точку 2 вздовж довільної траєкторії переміщується інший точковий заряд q₀ (рисунок 10.9), то сила F, прикладена до заряду q₀, здійснює на елементарному переміщенні dl роботу

Оскільки , то

Робота по переміщенню заряду з точки 1 у точку 2

З формули видно, що робота сил поля не залежить від траєкторії переміщення, а визначається тільки початковим 1 і кінцевим 2 положеннями заряду. Якщо ж заряд повертається в початкове положення, то робота виконана над зарядом з боку електричного поля дорівнюватиме 0. Звідки маємо що електростатичне поле точкового заряду є потенціальним, а електростатичні сили – консервативними.

Потенційна енергія заряду, внесеного в електричне поле W_п

1. Якщо тіло знаходиться в потенційному полі сил, то воно має потенційну енергію, за рахунок якої силами поля виконується робота. Оскільки електростатичне поле потенціальне - то заряд, внесений в електричне поле, повинен мати потенціальну енергію (енергію взаємодії заряду й поля).

2. Визначення. Потенційна енергія заряду, внесеного до електричного поле, - це фізична величинарівна добутку напруженості електричного поляE на заряд q₀, внесений в електричне поле і на відстаньdвід нульового рівня енергії електричного поля до внесеного заряду.

3. Це скалярна величина.

4. Для однорідного поля W_п = Eq₀d, для поля точкового заряду або кулі W_п = Eq₀R, де E - напруженість електричного поля в спостережуваній точці простору, q₀ - заряд, внесений в електричне поле, d - відстань від нульового рівня енергії електричного поля до цього заряду, R- відстань від точкового заряду або центру кулі до внесеного в поле заряду.

5. [W_п] = Дж

* Нульовий рівень потенційної енергії електричного поля, як правило, відраховують від заземленого тіла або від негативно зарядженого тіла.

10.6 Циркуляція вектора Е. Властивості циркуляції вектора Е електростатичного поля

Циркуляція вектора Е.

1. Циркуляція вектора характеризує ступінь завихреності поля.

2. Визначення. Циркуляцією вектора напруженості називається робота, яку здійснюють електричні сили при переміщенні одиничного позитивного заряду по замкнутому шляху l

3. Інтеграл називають циркуляцією вектора напруженості.

4. Формула справедлива тільки для електростатичного поля.

Властивості циркуляції вектора Е електростатичного поля

1. З формули роботи випливає, що робота, виконана при переміщенні електричного заряду в зовнішньому електростатичному полі по будь-якому замкнутому шляху l, дорівнює нулю, тобто

2. З перетворення на нуль циркуляції вектора Е маємо, що лінії напруженості електростатичного поля не мають завихренності й не можуть бути замкнутими. Тобто вони починаються й закінчуються на зарядах (відповідно на позитивних чи негативних) або ж прямують у нескінченність.

10.7 Потенціал електричного поля. Робота по переміщенню заряду в електричному полі. Різниця потенціалів.

Потенціал електростатичного поля j (ф.в.)

1. Потенціал електростатичного поля - це енергетична характеристика поля. Це означає, що якщо його помножити на заряд, то отримують потенціальну енергію заряду в даному полі.

2. Визначення. Потенціал електростатичного поля - це фізична величина, яка дорівнює відношенню потенціальної енергії заряду, внесеного в електричне поле, до величини цього заряду.

Рисунок 10.10 До пояснення потенціалу електростатичного поля

3. Потенціал електростатичного поля - це скалярна величина, яка може бути додатною й від'ємною. Це залежить від заряду, який створює поле, і від вибору нульового рівня електростатичного поля.

4. . Де (рисунок 10.10) W_п - потенціальна енергія, яку має заряд, внесений у електростатичне поле. q₀ - заряд, який вносять у поле.

5. [φ] = Дж/Кл = В.

6. Прилад для вимірювання електрометр.

Потенціал електростатичного поля заряджених тіл

Рисунок 10.11 Графіки потенціалу електростатичного поля: а) точкового заряду, б) зарядженої кулі, в) нескінченної пластини.

Потенціал поля точкового заряду(Рисунок 10.11а)

, де q – заряд, що створює поле; R – відстань від заряду до точки, в якій розглядають потенціал поля; ε – діелектрична проникність середовища, що оточує заряд;. k=9∙10⁹ Н∙м²/Кл²

Потенціал електростатичного поля зарядженої кулі, виготовленої з провідника(Рисунок 10.11б)

Поле зарядженої електропровідної кулі має наступні особливості: у середині кулі потенціал залишається постійним і його можна визначити за формулою , де r - радіус кулі. Поза кулею потенціал зменшується обернено пропорційно відстані від центру кулі. Математично це виглядає так: , де R – відстань від центру зарядженої кулі до точки, в якій розглядають потенціал поля.

Потенціал поля зарядженої нескінченної пластини (рисунок 10.11в)

Виведення формули потенціалу поля зарядженої нескінченної пластини є складним завданням. Тому ми його не розглядатимемо, а вкажемо тільки, що ця залежність визначається наступною формулою: , де d – відстань від зарядженої пластини до точки, у якій розглядають поле; ε - діелектрична проникність речовини; ε₀ - електрична стала; σ - густина поверхневого заряду.

З формули видно, що потенціал електричного поля отриманого від нескінченної пластини з відстанню від пластини зростає.

Напруга електричного поля U (ф.в.)

1. Напруга електричного поля характеризує роботу, яку може виконати електричне поле по переміщенню заряду. Це означає, що якщо напругу помножити на заряд, то отримують роботу по переміщенню заряду в даному електричному полі.

2. Визначення. Напруга електричного поля - це фізична величина, яка дорівнює відношенню роботи електричних сил по переміщенню заряду в електричному полі до величини цього заряду.

3. Це скалярна величина.

4. U=A/q₀. де A - робота по переміщенню заряду в електричному полі. q₀ - заряд, який вносять у поле.

5. [U] = Дж/Кл = В.

6. Один Вольт - це напруга, при якій електричне поле виконує роботу в 1 Дж по переміщенню заряду 1 Кл, внесеного в це поле.

7. Для вимірювання напруги використовують вольтметр.

Робота по переміщенню заряду в електричному полі (формула)

1. Формула роботи по переміщенню заряду в електричному полі встановлює зв'язок між роботою і потенціальною енергією заряду в електричному полі.

2. Визначення. Робота електричного поля по переміщенню заряду дорівнює зміні його потенціальної енергії.

3. A=-(W_п2-W_п1) або A= (φ_п1 - φ_п)q₀ =Uq₀

* Знак «-» означає, що при виконанні роботи електричним полем над зарядом потенціальна енергія заряду зменшується.

4. Формулу роботи електричного поля по переміщенню заряду застосовують тільки для замкнених систем.

Формула зв’язку напруги з потенціалом

1. Установлює зв’язок між напругою й потенціалом.

2. Визначення. Напруга між двома точками електричного поля дорівнює різниці потенціалів цих точок.

3. U=φ₀ - φ

4. Межі застосування. Формула справедлива для будь - яких електричних полів.

10.8 Принцип суперпозиції полів для потенціалу. Напруженість як градієнт потенціалу. Еквіпотенціальні поверхні

Принцип суперпозиції полів для потенціалу

Визначення. Потенціал поля, утворений системою зарядів, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених кожним із зарядів по окремості.

Напруженість як градієнт потенціалу (формула)

1. Установлює зв’язок між напругою й напруженістю електростатичного поля.

2. Визначення. Напруженість поля дорівнює градієнту потенціалу, узятому зі знаком мінус.

3.

Знак «–» означає, що під дією сил електричного поля заряд переміщується в бік зменшення потенціалу.

4. Межі застосування. Формула використовується для будь-яких електростатичних полів.

*Формула означає, що вектор E направлений в сторону максимального зменшення потенціалу. Це означає, що силові ліній вектора E перпендикулярні до еквіпотенціальних поверхонь.

Еквіпотенціальні поверхні електростатичного поля

Для наочного зображення електричного поля, крім ліній напруженості електричного поля, використовують ще й еквіпотенціальні поверхні.

Рисунок 10.12 Еквіпотенціальні поверхні: 1) поля точкового заряду; 2) однорідного поля.

Визначення. Еквіпотенціальними поверхнями називають поверхні однакового потенціалу.

Для еквіпотенціальних поверхонь характерні такі властивості:

1. Робота по переміщенню заряду з однієї точки еквіпотенціальної поверхні в іншу точку цієї ж поверхні дорівнює нулю.

2. Лінії напруженості електричного поля завжди входять під прямим кутом до еквіпотенціальних поверхонь.

3. Еквіпотенціальні поверхні не перетинаються.

4. Провідники, внесені в електростатичне поле, є еквіпотенціальними поверхнями.

На рисунку 10.12 наведено приклади зображення еквіпотенціальних поверхонь різних полів.

Запитання до лекції №10

1. У чому полягає закон збереження зарядів?

2. У чому полягає закон Кулона?

3. Дайте визначення силовій характеристиці електричного поля.

4. Напишіть формулу для напруженості електричного поля, що утворене точковим зарядом на певній відстані від нього.

5. У чому полягає принцип суперпозиції електричних полів?

6. Дайте визначення силовим лініям або лініям напруженості електричного поля.

7. Яке електричне поле називається однорідним?

8. Дайте визначення потенціалу електричного поля в даній точці?

9. Напишіть формулу для потенціалу електричного поля, що утворене точковим зарядом на певній відстані від нього.

10. Як визначити роботу переміщення електричного заряду із однієї точки поля в іншу?

11. Чому електростатичне поле називають консервативним?

12. Як визначити напруженість електричного поля в певній точці через градієнт потенціалу?

13. Дайте визначення потоку вектора напруженості електричного поля.

14. Напишіть вираз для потоку вектора напруженості електричного поля через довільну поверхню.

15. Сформулюйте теорему Остроградського-Гаусса для потоку вектора напруженості електричного поля через замкнену поверхню. Напишіть відповідну формулу.

Лекція 11. Електричне поле в речовині

Рисунок 11.1 Схематичне зображення диполя

11.1 Електричний диполь. Напруженість і потенціал поля диполя. Диполь у зовнішньому електричному полі

Електричний диполь – це система двох зарядів, однакових за величиною й протилежних за знаком, відстань l між якими значно менше відстані до розглянутих точок поля.

Модель молекули зображують, як гантель (рисунок 11.1), вона дозволяє задовільно описати електричні властивості багатьох атомів та молекул, таких, наприклад, як молекули води, кислот, основ та ін.; системи іскрових розрядників та антен.

Електричний дипольний момент р

1. Характеризує електричні властивості поля диполя й дії на нього зовнішніх полів.

2. Визначення. Електричний дипольний момент - це фізична величина рівна модулю добутку величини позитивного заряду q на відстань між зарядами диполя l.

3. Це векторна величина, напрямлена від негативного до позитивного заряду.

4. p = ql .

Де q - позитивний заряд диполя, l - плече диполя, тобто вектор з початком у негативному заряді й кінцем у позитивному.

5. [p] = Кл·м.

*Дипольний момент - величина адитивна, тобто дипольний момент накладення декількох систем зарядів дорівнює векторній сумі їх дипольних моментів. р_i - дипольний момент i-ї молекули.

Диполь у однорідному електричному полі

В однорідному електричному полі на обидва полюси диполя діють однакові та протилежно напрямлені сили , які створюють пару сил із моментом (рисунок 11.2) де β - кут між векторами та

Тоді механічний момент пари сил є векторним добутком .

Рисунок 11.2 Дія сил на диполь в однорідному полі.

Під дією цього моменту диполь буде намагатись орієнтувати свій момент паралельно вектору . Таке розташування диполя в електричному полі буде стійким.

Висновок. В однорідному електричному полі диполь орієнтує свій момент паралельно вектору .

Диполь у неоднорідному електричному полі

Нехай поле зменшується вздовж осі x (рисунок 11.3). Тепер на заряди діятимуть різні сили F₁ і F₂, причому F₁ > F₂. Це означає, що диполь буде втягуватись в у частину поля, де вектор напруженості більше (на нашому

Рис 11.3 Дія сил на диполь у неоднорідному полі.

рисунку він зміститься ліворуч).

Висновок. У неоднорідному електричному полі диполь буде втягуватись у ту частину поля, де вектор напруженості більше.

Саме цим пояснюється притягання легких предметів до наелектризованого тіла. У легких тілах індукуються заряди у вигляді диполів, і легке тіло зміщується в напрямку зарядженого тіла.

11.2 Вільні та зв’язані електричні заряди. Поверхневі зв’язані заряди. Полярні та неполярні молекули. Поляризація діелектриків. Вектор поляризації.

Вільні та зв’язані електричні заряди

Визначення. Діелектрик - речовини, що практично не проводять електричний струм і в які проникає електричне поле.

Приклади діелектрика: пластмаси, кераміка чи неіонізовані гази, непровідні рідини.

Вільні заряди існують у будь-якому провіднику, вони можуть досить вільно переміщатися в межах провідника.

У діелектриках майже всі заряди зв'язані між собою й здатні переміщатися тільки в межах своєї молекули на відстань порядку 10^-9 м

Поверхневі зв’язані заряди

Рисунок 11.4 Диполі усередині діелектрика при відсутності зовнішнього електричного поля.

Некомпенсовані заряди, що з'являються в результаті поляризації діелектрика, називають поверхневими зв’язаними зарядами абополяризаційнимизарядами. Переміщення таких зарядів обмежені. Вони можуть зміщуватися лише всередині електрично нейтральних молекул.

Поляризація діелектриків (діелектрична поляризація)

1. Знайомство з явищем. Діелектрики послаблюють електричне поле.

2. Визначення явища. У середині діелектрика електричне поле слабшає.

3. Умови перебігу явища. Явище спостерігається при будь-яких умовах.

Рисунок 11.5 Поляризація полярного діелектрика.

4. Математичне опис явища. ε = Е₀/Е

5. Пояснення явища. У полярних діелектриках молекули являють собою диполь. У середині діелектрика диполі вільно переміщатися не можуть, і при відсутності зовнішнього електричного поля (Е₀), вони тільки коливаються й обертаються біля вузлів кристалічної решітки (рисунок 11.4). Якщо такий діелектрик внести в електричне поле, то його диполі поляризуються - намагаються зорієнтуватися в напрямку силових ліній (рисунок 11.5). Цій орієнтації заважає тепловий рух

Рисунок 11.6 Зміщення центрів додатних і від’ємних заряді при внесені неполярного діелектрика у електричне поле.

молекул, тому говорять про ступінь поляризації диполів. Чим потужніше поле, тим краще орієнтовані диполі в діелектрику, тобто мають більшу ступінь поляризації. При поляризації заряди в середині діелектрика взаємно компенсують один одного. А на краях діелектрика утворюються некомпенсовані заряди, які називають поверхневими зв’язаними зарядамиякі створюють власне електричне поле напруженістю Е_в, що має протилежний напрямок напруженості зовнішнього поля Е_з. За принципом суперпозиції ; Е=Е₀-Е_зв поле зв’язаних поверхневих зарядів діелектрика (Е_зв) послаблює зовнішнє поле всередині діелектрика, (Е₀) стає меншим за зовнішнє.

Рисунок 11.7 Поляризація неполярного діелектрика.

Неполярні діелектрики – до них відносять H₂;N₂.і т.п. У таких діелектриках центри додатних і від’ємних зарядів молекул співпадають (додатній заряд - це заряд ядра атома, а від’ємний заряд – це заряд електронної хмари атому) (рисунок 11.6). При внесені неполярного діелектрика в електричне поле центри додатних і від’ємних зарядів атомів зміщуються. І далі такий атом поводиться як диполь (рисунок 11.7).

Визначення явища. Діелектрична поляризація - це зміщення електричних зарядів діелектрика під впливом зовнішнього електричного поля, яке зумовлює виникнення внутрішнього електричного поля з протилежним напрямком, наслідком чого є послаблення прикладеного поля.

11.3 Вектор поляризації. Зв'язок між P і Е. Діелектрична сприйнятливість речовини

Вектор поляризації

1. Вектор поляризації – це основна кількісна характеристика діелектричної поляризації. Вона показує густину зв’язаних зарядів, що утворюється на поверхні діелектрика при його електризації.

2. Визначення. Вектор поляризації- це дипольний момент одиниці об'єму діелектрика.

3. Це векторна величина

4. , де – сумарний дипольний момент усіх молекул в об’ємі ΔV – фізично безмежно малий об’єм, тобто об’єм, достатньо малий, щоб в його межах можна було вважати постійними макроскопічні величини (наприклад: напруженість поля, густину, температуру та інше), а з другої сторони - повинен містити достатньо велику для усереднення кількість молекул. Окрім того, вектор поляризації є не що інше, як поверхнева густина зв’язаних зарядів.

5. У системі СІ вектор поляризації вимірюється [P] = Кл/м²=В/м.

Зв'язок між P і Е

Як відомо, поверхневі зв’язані зарядистворюють власне електричне поле, яке послаблює зовнішнє. Тому поле всередині діелектрика можна знайти, як

Е = Е₀ - Е_зв

З формули слідує, що Е₀=εЕ. Е_зв можна знайти як напруженість поля двох пластин, тобто або , то звідки або .

Позначимо , тоді , де χ – дістала назву «діелектрична сприйнятливість речовини». Дана формула правильна для більшості діелектриків (за винятком сегнетоелектриків).

Діелектрична сприйнятливість речовини χ (капа)

1. Діелектрична сприйнятливість речовини характеризує податливість речовини явищу електричної поляризації.

2. Визначення. Діелектрична сприйнятливість речовини - це фізична величина пропорційна відношенню вектора поляризації до напруженості поля Е в діелектрику.

3. Це скалярна величина і для діелектриків, як правило, позитивна.

4.

5. Діелектрична сприйнятливість є безрозмірною величиною [χ] = 1.

Рисунок 11.8 Екранування телевізійного тюнера за допомогою металевої коробочки.

11.4 Умови рівноваги зарядів у провіднику. Потенціал провідника. Поле поблизу поверхні провідника. Розподіл зарядів по поверхні провідника. Електростатичний захист.

Провідники в електричному полі (явище)

Визначення. Провідники - це речовини, які проводять електричний струм. Найчастіше як провідники використовують метали.

1. Приклади застосування явища. Явище використовують для захисту чутливих до електричних полів пристроїв. Щоб захистити прилади від електричних полів, їх поміщають всередину замкнутих металевих ящиків - екранів. Частіше екранують не найчутливіший для електричних полів прилад, а джерело електричного поля (рисунок 11.8, 11.9).

Рисунок 11.9 Екранований телевізійний кабель

2. Визначення явища. При рівновазі зарядів ні в якому місці усередині провідника не може бути надлишкових зарядів – усі вони розподілені по поверхні провідника з деякою густиною σ.

3. Умови протікання явища.

Умови рівноваги зарядів у провіднику. Потенціал провідника.

Рівновага зарядів на провіднику спостерігається при виконанні двох умов:

1. Усередині провідника поле повинно бути відсутнє. E=0

Рисунок 11.10 Провідник в електричному полі.

Тобто потенціал усередині провідника повинен бути постійним.

2. Напруженість поля на поверхні провідника направлена вздовж нормалі до поверхні. – на поверхні провідника.

Отже, поверхня провідника при рівновазі зарядів є еквіпотенціальною.

4. Математичне опис явища.

; Е₁-Е₂=0. (Рисунок 11.10)

5. Пояснення явища. Явище пояснюється будовою провідника. У металах валентні електрони поводяться як молекули газу. Тобто рухаються хаотично, й зі збільшенням температури швидкість їх руху зростає. Ядра провідника коливаються у вузлах кристалічної решітки металу. Якщо провідник не заряджений, то сумарний заряд усіх вільних електронів у провіднику дорівнює сумарному заряду всіх іонів металу.

При внесенні провідника в електричне поле (Рисунок 11.10) електрони рухаються проти напрямку силових ліній електричного поля, утворюючи на кінцях провідника позитивні і негативні заряди. Цей рух електронів буде тривати доти, доки електричне поле, утворене зарядами на краях провідника (Е₂), повністю не компенсує зовнішнє поле (Е₁).

Якщо величину зовнішнього поля збільшити, більше електронів переміститься на край провідника, і внутрішнє поле знову компенсує зовнішнє. Таким чином, усередині провідника, який знаходиться в електростатичному полі, напруженість завжди дорівнює нулю. Це явище називають електростатичною індукцією або електризацією через вплив.

Визначення. Електростатичною індукцією називають явище перерозподілу електричних зарядів усередині провідника при внесенні його в електростатичне поле.

Розглянемо інший випадок. Нехай маємо негативно заряджену кулю (рисунок 11.11). Тобто куля має надлишок електронів. У результаті дії електричних сил надлишкові електрони розмістяться на зовнішній поверхні кулі. Геометрична сума напруженостей, отриманих від надлишкових електронів, у будь-якій точці провідника дорівнює нулю.

Рисунок 11.11 Розміщення зарядів у негативно зарядженій кулі.

Густина заряду на поверхні провідника визначається кривизною поверхні r=1/R, де R – радіус кривизни. Густина заряду зростає зі збільшенням позитивної кривизни поверхні (опуклості) і зменшується при збільшенні негативної кривизни (вгнутості). У результаті цього явища на гострих виступах зарядженого провідника накопичується найбільша кількість зарядів (це можна перевірити дослідним шляхом). Тому напруженість електричного поля біля вістря найбільша, і вона настільки велика, що в навколишньому повітрі починається іонізація молекул, і з’являться вільні електрони, позитивні і негативні іони. Іони однакового заряду з вістрям будуть відштовхуватися від вістря, утворюючи течію повітря. Іони, протилежного з вістрям заряду, будуть притягатися до вістря, зменшуючи його заряд. Кажуть, заряд стікає із загострених предметів. Щоб позбутися стікання заряду, предмети, на яких накопичуються великі заряди, заокруглюють.

11.5 Електроємність провідника. Конденсатори. Ємність конденсатора. Енергія системи зарядів.

Електроємність провідника

1. Електроємність - характеризує здатність провідника накопичувати електричний заряд. Вона залежить від форми, розмірів провідника і його навколишнього середовища.

2. Визначення. Електроємність - це фізична величина, яка чисельно дорівнює відношенню заряду провідника q до його потенціалу φ.

3. Це скалярна величина.

4. Для кулі С = 4πεε₀r, де ε - діелектрична проникність навколишнього середовища вище, ε₀ - електрична постійна r - радіус кулі.

5. [C] = Ф (Фарад) Ф = Кл / В.

6. Визначення. Один Фарад - це електрична ємність провідника, при якій провідник накопичує заряд в 1 Кл, маючи потенціал 1В.

Рисунок 11.12 Схематичне позначення конденсатора

* 1 Ф - це дуже велика ємність, на практиці користуються мкФ (микрофарад) і пФ. (пикофарад)

1 мкФ = 10^-6 Ф; 1 пФ = 10^-12 Ф.

Конденсатор (прилад)

1. Конденсатор призначений для накопичення великих електричних зарядів.

2. Схематичне позначення (рисунок 11.12).

3. Будова. Конденсатор складається з двох провідників, що мають рівні по модулю й протилежні за знаком заряди. Якщо конденсатор складається з двох пластин, розділених між собою діелектриком, то його називають плоским конденсатором.

1.4. Принцип дії. Візьмемо 2 пластини, розділені діелектриком (рисунок 11.13). Якщо зарядити пластину 2 позитивним зарядом, то на пластині 1 заряди перерозподіляться (Рисунок 11.13 а). Якщо заземлити пластину 1 (Рисунок 11.13 б), то електрони з Землі компенсують позитивний заряд пластини 1. Внаслідок притягання електричні заряди, що залишилися будуть розміщені на внутрішніх поверхнях пластин і електричне поле завжди буде зосереджене всередині конденсатора.

Рисунок 11.13 До пояснення принципу дії конденсатора.

Якщо збільшити заряд на пластині 2, то з Землі додається деяка кількість електронів на пластину 1. Причому електрони будуть додаватися, поки заряди пластини 1 і 2 цієї статті не вирівняються (по модулю).

* Збільшувати заряди на пластинах конденсатора безкінечно не можна, бо може статися пробій діелектрика, і конденсатор (якщо він не повітряний) вийде з ладу.

* Заряди на пластинах конденсатора завжди рівні за модулем і протилежні за знаком.

Ємність конденсатора

Ємність плоского конденсатора розраховують за формулами, , де q - заряд, який має конденсатор, U - різниця потенціалів на конденсаторі, ε - діелектрична проникність діелектрика конденсатора, ε₀ = 8,85∙10^-12 Н∙м²/Кл² - електрична постійна, S - площа перекриття однієї поверхні пластини конденсатора, d - відстань між пластинами конденсатора. З формули випливає: чим більше площа S, тим «вільніше» розмістяться на ній заряди, відштовхування між ними буде менше, і кожна пластина зможе утримувати більший заряд. Чим більше відстань d між пластинами, тим слабкіше заряди на одній пластині будуть притягувати заряди на інший.

Звернемо також увагу на те, що С не залежить від q або U і, оскільки величина q пропорційна U.

Таблиця 11.1 - З’єднання конденсаторів

Паралельне з’єднання	Послідовне з’єднання
С = С1 + С2 +...+ Сn U = U1 = U2 =...= Un q = q1 + q2 +...+ qn		U = U1 + U2 +...+ Un q1 = q2 =...= qn

11.6 Енергія конденсатора. Енергія й об’ємна густина енергії електричного поля.

Енергія електричного поля конденсатора

Знайти енергію конденсатора можна за формулами: , де С - ємність конденсатора, q - заряд, який має конденсатор, U-різниця потенціалів на конденсаторі.

Виведення формул енергії електричного поля конденсатора

У зарядженому конденсаторі накопичена електрична енергія. Ця енергія конденсатора дорівнює роботі, необхідній для зарядки конденсатора. Процес зарядки конденсатора полягає в тому, що джерело напруги, коли його підключають до конденсатора, переносить заряд з однієї пластини на іншу. Спочатку, коли конденсатор не заряджений, для переносу першої порції заряду не вимагається роботи. Але, коли на кожній із пластин уже існує заряд, для його збільшення доводиться здійснювати роботу проти сил електричного відштовхування. І чим накопичений пластинами заряд більший, тим більшу роботу необхідно здійснити. Якщо на пластинах існує різниця потенціалів U, робота з перенесення елементу заряду dq дорівнює А = dW = Udq. Оскільки , де С - ємність, енергія зарядженого конденсатора має вигляд -

.

Оскільки q = СU, де U - різниця потенціалів між обкладинками, ми можемо написати

.

Енергія електричного поля

За теорією близькодії, уся енергія взаємодії заряджених тіл сконцентрована в електричному полі цих тіл. Виходячи з того, що основною характеристикою електричного поля є напруженість, то за допомогою цієї величини можна виразити енергію поля.

Як відомо, усередині зарядженого конденсатора існує електричне поле. Використовуючи формули, отримані для плоского конденсатора, знайдемо цю енергію.

Виходимо з формули , оскільки U = Ed, а , то . Врахувавши те, що d·S = V, отримаємо .

Тобто енергія електричного поля пропорційна квадрату напруженості електричного поля та об’єму, у якому це поле розглядають.

Густина енергії електричного поля

1. Важливим є поняття густини електричного поля w. Уперше поняття густини енергії електричного поля ввів Дж. Максвелл. На відміну від прихильників теорії далекодії, які вважали, що енергія концентрується на заряджених тілах, Максвелл виходив із польових уявлень. Він вважав, що енергія електричного поля зосереджена по всьому об'єму з певною густиною.

2. Визначення. Фізична величина, що дорівнює відношенню енергії електричного поля до об’єму простору, у якому його розглядають, називається об'ємною густиною енергії електричного поля.

3. Густина енергії електричного поля - це скалярна величина.

4. або → →

5. Одиницею виміру об'ємної густини енергії є [w] = Дж/м³.

Легко довести, що 1 Дж/м³ = 1 (Нм)/м³ = 1 Н/м² = 1 Па, тобто збігається з одиницею вимірювання тиску. Тому, об'ємну густину енергії електростатичного поля можна розглядати як тиск, який чиниться з боку електричного поля на розміщені в ньому тіла.

Запитання до лекції №11

1. Дайте визначення діелектричної проникності середовища.

2. Що називають електричним моментом диполя (дипольним моментом)?

3. Дайте визначення вектора поляризації (поляризованості) діелектрика.

4. Дайте визначення діелектричної сприятливості діелектрика та вкажіть на її зв'язок з діелектричною проникністю.

5. Назвіть умови рівноваги вільних зарядів провідника.

6. Як залежить напруженість електричного поля біля поверхні зарядженого провідника від її кривизни?

7. Дайте визначення ємності окремого провідника.

8. Від чого залежить ємність окремого провідника?

9. Назвіть одиницю вимірювання ємності в системі СІ.

10. Напишіть формулу ємності плоского конденсатора.

11. Напишіть формулу, що визначає потенціальну енергію (енергію взаємодії) системи точкових зарядів.

12. Якою формулою визначається енергія зарядженого конденсатора?

13. Напишіть формулу, що визначає об’ємну густину енергії електричного поля.

Лекція 12. Постійний електричний струм

12.1 Електричний струм, умови його існування. Сила та густина струму. Рівняння нерозривності. Закон Ома для ділянки кола в інтегральній та диференціальній формах.

Електричний струм, умови його існування

1. Приклади явища. Електричний заряд може переходити від тіла, яке має більший потенціал до тіла з меншим потенціалом. Під переходом заряду слід розуміти рух заряджених частинок.

2. Визначення. Електричний струм - це впорядкований рух заряджених частинок, який супроводжується переносом електричної енергії.

Розрізняють декілька видів електричного струму: струм провідності, струм у вакуумі, конвекційний струм, дифузний струм, струм зміщення.

Рисунок 12.1 Рух заряджених частинок у провіднику.

Розглянемо струм провідності. Він виникає в провідних середовищах як впорядкований рух вільних зарядів під дією електричного поля, створеного в цих середовищах.

Визначення. Струм провідності - це впорядкований рух заряджених мікрочастинок у макротілі.

3. Умови виникнення струму провідності: а) наявність вільних носіїв зарядів (зарядів, які можуть вільно рухатися); б) наявність стаціонарного електричного поля.

4. ..............................................

5. Електричний струм має напрямок. Відомий американський вчений і політичний діяч Б. Франклін запропонував за напрямок електричного струму вибрати напрямок руху позитивно заряджених частинок від точок з високим потенціалом до точок з більш низьким потенціалом (Рис. 41).

Рисунок 12.2 До визначення одного Ампера

Усі провідники ділять на дві групи: провідники першого роду, у яких електричний струм не викликає хімічного впливу (метали, вугілля) в них, струм проводять валентні електрони, і провідники другого роду, у яких під дією струму відбуваються хімічні перетворення (електроліти). В електролітах струм проводять позитивні й негативні іони речовин.

Сила струму І (ф.в.)

1. Сила струму - це кількісна характеристика електричного струму.

2. Визначення. Сила струму - це фізична величина, яка чисельно дорівнює відношенню заряду, що проходить через переріз провідника, до часу проходження заряду.

3. Сила струму - це скалярна величина, але вважають, що вона напрямлена від «+» до «-».

4. I=Δq/Δt

5. [І]= А.

6. 1 Ампер - це сила струму, при проходженні якого через два паралельні провідники, які мають довжину по 1 м, і розташовані на відстані 1 м один від одного, взаємодіють між собою з силою 2∙10^-7 Н. (Рисунок 12.2)

7. Прилад для вимірювання - амперметр.

Густина струму J (ф.в.)

1. Густина струму - це характеристика електричного струму.

2. Визначення. Густина струму - це фізична величина, яка дорівнює відношенню сили струму в провіднику до площі перерізу провідника.

3. Густина струму - це векторна величина, напрямок якої збігається з напрямком руху додатних частинок у провіднику.

4. , де dІ – струмчерез елементарну площу dS.

5. [J] = А/м²

Зв'язок сили струму й густини струму з швидкістю впорядкованого руху зарядів

Виразимо силу й густину струму через швидкість ‹v› впорядкованого руху зарядів у провіднику. Якщо концентрація носіїв струму дорівнює n і кожен носій має елементарний заряд е, то за час dt через поперечний переріз S провідника переноситься заряд -

dq = ne‹v›Sdt. Сила струму , тоді густина струму

. Тобто , а .

Електричний опір R (ф.в.)

1. Електричний опір - це характеристика властивостей провідника.

Рисунок 12.3 До пояснення формули опору провідника

2. Визначення. Електричний опір - це здатність провідника протидіяти електричному струму.

3. Електричний опір - це скалярна величина.

4. , де r_ел - питомий опір провідника, l – довжина провідника, S – площа перерізу провідника (Рисунок 12.3).

5. [R] = Ом.

6. 1 Ом - це опір провідника, у якому при напрузі 1 Вольт виникає сила струму 1 Ампер.

7. Електричний опір вимірюють за допомогою омметра.

Зверніть увагу! Термін «електричний опір» часто застосовують для позначення елемента, що включається в електричний ланцюг з метою обмеження чи регулювання струму. Регульовані електричні опори називають реостатами, - нерегульовані електричні опори, що включаються послідовно з приймачами струму «додатковими опорами», а включені паралельно – «шунтами».

Питомий опір r (ф.в.)

1. Питомий опір - це характеристика електричних властивостей речовини.

2. Визначення. Питомий опір - це опір провідника довжиною 1м і площею перерізу 1 м².

3. Питомий опір - це скалярна величина.

4. Питомий опір - це таблична величина.

5. [ρ] = Ом∙м

Закон Ома для ділянки кола в інтегральній формі

1. Закон Ома для ділянки кола зв’язує між собою всі характеристики електричного кола.

2. Визначення. Сила струму в ділянці кола пропорційна напрузі на кінцях ділянки кола й обернено пропорційна опору цієї ділянки.

3. I=U/R

4. Закон застосовують тільки для тих ділянок електричного кола де відсутні джерела електричного струму.

Закон Ома для ділянки кола в диференціальній формі

Отримаємо закон Ома для ділянки кола в диференціальній формі, для цього в закон Ома підставимо замість І, U, R, відповідні вирази , ; Отримаємо . Звідки - законОма для ділянки кола в диференціальній формі.

Визначення. Густина струму j прямо пропорційна напруженості електричного поля Е всередині провідника.

12.2 Робота електричного струму. Закон Джоуля-Ленца в інтегральній та диференціальній формах. Потужність і к.к.д. в колі постійного струму.