Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

где

Таким образом, момент вращающегося твердого тела относительно неподвижной оси его вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела.

Рассмотрим изменение кинетического момента твердого тела.

Уравнение справедливо и для движения системы вокруг центра масс.

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Сравним (10.2) с уравнением при вращательном движении является характеристикой инертности тела.

Если , то , тело вращается ускоренно.

, то , вращение тела равномерное.

, то , вращение замедленное.

Теорема о зависимости между кинетическими моментами механической системы относительно неподвижного центра и относительно центра масс. рис.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно центра масс системы в ее относительном движении по отношению к этому центру геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на точки системы относительно центра масс.

Следствие: Если , то , и .

Дифференциальные уравнения плоского движения.

По теореме о движении центра масс

3 уравнение из (10.8)

т.к. относительное движение вращение

кинетический момент системы относительно оси

получаем

Таким образом, дифференциальные уравнения имеют вид:

« » - дзета

« » - эта

« » - кси

Уравнения плоского движения получим используя теоремы о движении центра масс и применении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к центру масс.

С помощью этих уравнений можно решать 2 основные задачи динамики.

Работа силы

Для характеристики действия оказываемого силой на тело; при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы.

Введем понятие элементарной механической работы силы

Элементарной работой силы называется скалярная величина

(11.1). ,

где: - проекция силы на касательную к траектории

ds – элементарное бесконечно малое перемещение.

( , а не dA, т.к. в общем случае она не является дифференциалом функции).

Элементарная работа является полным дифференциалом координат точки только для потенциальных сил. рис

На изменение модуля скорости будет влиять только силы составляющая изменяет направление вектора скорости (сообщает точке нормальное ускорение). На модуль скорости не влияет.

получим

2. Элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементарное перемещение ds.

3. Элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

, то работа «+»

, то работа «-»

, то и работа равна 0

Работа всегда равна нулю.

Из кинематики известно,

, тогда

4. Элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Найдем аналитической выражение элементарной работы.

Силу разложим на составляющие ( ).

Элементарное перемещение ds слагается из dx, dy, dz

Подставив и в формулу

- аналитическое выражение элементарной работы

Полная работа силы

Работа силы на конечном перемещении переходя к пределу этой суммы при бесконечно малых ds.

(11.5)

Работа силы на конечном перемещении равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.

Если сила const, то , где

Теорема о работе силы.

1. Теорема. Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении.

на точку М действует система сил

точка получает элементарное перемещение

2. Теорема: Работа постоянной по модулю и направлению силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.

Точка получила совокупность последовательных перемещений .

Результирующее перемещение

Работа постоянной силы

Определяем интеграл по полному промежутку интегрирования равен сумме интегралов по составляющим.

Мощность силы.

Изменение работы силы к единице времени, называется мощностью силы. (N)

, то

таким образом, мощность силы равна скалярному произведению векторов силы и скорости точки ее приложения.

Аналитическое выражение мощности.

За единицу мощности в «СИ» 1 ватт = 1

«Лошадиная сила» 1 л.с. = 736 вт.

Примеры вычисления работ.

1. Работа силы тяжести.

,

подставляя это в формулу (11.5)

Работа силы тяжести равна взятому со знаком «+» или «-» произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения.

Работа упругой силы.

Элементарная работа силы упругости

из формулы (11.4)

Работа отрицательная, если деформация увеличивается, т.е. когда сила упругости направлена противоположно перемещению точки ее приложения.

Если начальная деформация не равна нулю, а равна , то работа упругой силы ( – конечное удлинение пружины).

(11.11).

Работа силы тяготения. рис

Работа сил, приложенных к твердому телу.

Твердое тело – механическая система, расстояние между точками которой остается неизменным. рис

Рассмотрим точки и твердого тела.

по закону равенства действия и противодействия.

Предположим, что в данный момент времени точки имеют скорости и

за dt и элементарные перемещения

, направлены вдоль векторов скорости

На основании первого следствия из теоремы о скоростях точек плоской фигуры проекции и на равны, следовательно, будут равны и проекции этих точек на

Поэтому:

т.к. каждой внутренней силе соответствует другая, равная ей по модулю и противоположная по направлению, то:

(11.3)

На конечном перемещении

Сумма работ внутренних сил твердого тела на любом возможном перемещении его равна 0.

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу.

Тело вращается вокруг неподвижной оси под действием горизонтальной силы , приложенной в точке М.

- элементарный угол поворота точки М.

- перемещение точки М по дуге окружности.

Определим работу элементарную работу силы Р

- касательная составляющая силы.

если .

угол поворота выражен в радианах, то размерность работы совпадает с размерностью момента.

Определим мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся.