Что такое математический анализ?

Согласно словарю русского языка анализ – это метод научного исследования путём рассмотрения отдельных сторон, свойств, составных частей чего-нибудь. Один из важнейших разделов математики называется математическим анализом, а часто даже просто анализом. Сразу возникает вопрос: что же именно анализируется математическим анализом? Ответ однозначен – анализу подвергаются функции. Функция (от латинского «функцио» – осуществление) представляет собой зависимость между переменными числовыми величинами.

Поскольку анализ – это метод исследования, возникает второй вопрос: в чём заключается этот метод? Ответ даёт второе название математического анализа – дифференциальное и интегральное исчисление. Исчислением называется раздел математики, излагающий правила вычислений. Слово «дифференциал» происходит от латинского слова «дифференция», т. е. разность. Слово «интеграл» не имеет такого ясного происхождения («интегер» – целый; «интегро» – восстанавливать), но оно имеет смысл объединения частей в целое, восстановления разбитого на разности. Такое восстановление достигается с помощью суммирования.

Подведём первые итоги:

· Главными объектами, изучаемыми в математическом анализе являются функции.

· Функции – это зависимости различного вида между переменными числовыми величинами.

· Методом математического анализа является дифференцирование – работа с разностями значений функций, и интегрирование – вычисление сумм.

Таким образом, для освоения математического анализа, прежде всего, нужно разобраться с понятием функции. Функция является важнейшим математическим понятием, поскольку функции представляют собой математический способ описания движения и изменения. Функция – это процесс.

Самым важным видом движения является механическое движение по прямой. При движении измеряются расстояния, пройденные объектом, но этого явно недостаточно для полного описания движения. И Ахиллес, и черепаха могут удалиться от исходной точки на одинаковое расстояние, но их движение различается по скорости, а скорость нельзя измерить без измерения времени.

Уже из рассмотрения этого примера становится понятным, что для описания движения и изменения недостаточно одной переменной. Интуитивно ясно, что время меняется равномерно, а расстояние может меняться то быстрее, то медленнее. Движение полностью описано, если в каждый момент времени известно, на какое расстояние объект удалился от точки старта. Итак, при механическом движении возникает соответствие между значениями двух переменных величин – времени, которое меняется независимо ни от чего, и расстояния, которое зависит от времени. Этот факт положен в основу определения функции. При этом две переменные уже не называют временем и расстоянием.

Определение функции: функция – это правило или закон, ставящий каждому значению независимой переменной величины х определённое значение зависимой переменной у. Независимая переменная х называется аргументом, а зависимая у – функцией. Иногда говорят, что функция – это зависимость между двумя переменными.

Как наглядно представить, что такое переменная величина? Переменная – это числовая прямая (линейка или шкала), по которой движется точка (термометр или спица с бусинкой). Функция – это механизм из шестерёнок с двумя окошечками х и у. Этот механизм позволяет установить в окошечке х любое значение, а в окошечке у автоматически появится с помощью шестерёнок значение функции.

Задача 1. Больному измеряют температуру каждый час. Существует функция – зависимость температуры от времени. Как представить эту функцию? Ответ: таблица и график.

Функция непрерывна, как непрерывно движение, но на практике невозможно зафиксировать эту непрерывность. Можно поймать только отдельные значения аргумента и функции. Однако теоретически непрерывность описать всё же удаётся.

Задача 2. Галилео Галилей обнаружил, что свободно падающее тело за первую секунду проходит единицу расстояния, за вторую – 3 единицы, за третью – 5 и т. д. Определить зависимость времени от расстояния. Указание: вывести общую формулу зависимости пройденного пути от номера расстояния.

Способы задания функций.

Способ задания	Пример	Достоинства и недостатки
Табличный	х							На практике позволяет превратить процесс в функцию. Ненагляден, недостаточно информативен, теряется непрерывность.
у						– 5
Графический		Нагляден, но неточен.
Аналитический	у = х3 + 5 х2 + 7 х +1	Даёт возможность теоретического изучения функций, сохраняет непрерывность описания. Ненагляден, затруднена связь с практикой.

Задачи математического анализа.

Переход от одного представления функции к другому (вычисление значений функции, построение приближенных аналитических функций по экспериментальным числовым и графическим данным, исследование функций и построение графиков).

Математическое изучение свойств функции как процесса. Пример 1: поиск скорости по известной функции пути от времени (дифференцирование). Пример 2: поиск пути по известной функции скорости от времени (интегрирование).