Законы сохранения и симметрия пространства и времени

17.1. Законы сохранения.

Мы рассмотрели три закона сохранения, выполняющихся для замкнутых систем: законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.

В механике (и в физике, вообще) функции координат и скорости, которые сохраняют при движении постоянные значения и зависят только от начальных условий, называют интегралами движения.

Однако не все интегралы движения играют в механике одинаково важную роль. Среди них есть три, происхождение которых имеет глубокий физический смысл: они связаны с фундаментальными свойствами пространства и времени - их однородностью и изотропностью. Все эти сохраняющиеся величины имеют важное общее свойство – аддитивность, т.е. их значение для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь (оно не влияет на процесс движения), равно сумме значений для каждой из этих частей. Именно свойство аддитивности позволяет рассматриваемым величинам играть в механике особенно важную роль.

Очень часто встречается утверждение, что законы сохранения есть следствие однородности и изотропности пространства и времени. Однако было бы неверно думать, что только указанных свойств пространства и времени достаточно, чтобы вывести эти законы сохранения. Все перечисленные законы есть следствие законов движения (например, 2-го закона Ньютона). Поэтому справедливым является следующее утверждение:

законы сохранения можно получить из 2-го закона Ньютона, если к нему присоединить свойства симметрии пространства и времени.

17.2. Симметрия пространства и времени.

Под симметрией пространства и времени мы будем понимать однородность пространства и времени, а также изотропность пространства. Что такое однородность времени, пространства и изотропность пространства? Поясним, какой смысл вложен в эти понятия.

1) Однородность времени означает, что если в два любые момента времени все тела замкнутой системы поставить в совершенно одинаковые условия, то, начиная с этих моментов, все явления в этой системе будут протекать совершенно одинаково.

2) Однородность пространства означает, что если замкнутую систему тел перенести из одного места пространства в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений.

3) Изотропность пространства означает, что если замкнутую систему тел повернуть в пространстве на любой угол, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений.

Эти свойства пространства и времени - фундаментальное обобщение опытных фактов.

17.3. Однородность пространства и закон сохранения импульса.

Итак, в силу однородности пространства механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве.

Перенесем систему из произвольного положения в другое произвольное положение так, чтобы все её материальные точки претерпели одно и тоже смещение, притом так, чтобы их скорости остались прежними (по величине и направлению), что сохраняет неизменной кинетическую энергию системы.

Действующие в замкнутой системе силы внутренние.

Поскольку пространство однородно, при переносе всех частицы системы в пространстве на одно и то же расстояние изменения в самой системе отсутствуют, и работа всех внутренних сил над частицами системы, определяемая изменением потенциальной энергии системы, должна быть равна нулю:

. (17.1)

Для произвольного условие (17.1) выполняется, если

.

Тогда из второго закона Ньютона получаем закон сохранения импульса:

и . (17.2)

Из проведенного рассмотрения вытекает еще один важный результат.

Поскольку сумма всех сил, действующих в замкнутой системе равна нулю, то можно записать

,

где сила, действующая на тую частицу со стороны той частицы системы.

Переписывая это условие иначе

,

в силу независимости взаимодействия каждой из пар частиц друг с другом получаем 3-ий закон Ньютона:

. (17.3)

Для замкнутой системы закон сохранения импульса формально следует из 2-го закона Ньютона, если предположить, что все действующие силы подчиняются закону равенства сил действия и противодействия (3-й закон Ньютона).

Тогда

и ,

однако выполнение 3-го закона Ньютона, как и закона сохранения импульса, обусловлены однородностью пространства.

Примечание. Если носителями импульса являются не только материальные тела, но и поле, то 3-ий закон Ньютона в этой формулировке неприменим.

В то же время, учитывая вклад поля, для замкнутой системы тел из однородности пространства мы снова получим закон сохранения импульса: .

17.4. Изотропность пространства и закон сохранения момента импульса.

Изотропность пространства означает, что при повороте замкнутой системы на какой-либо угол в пространстве внутри этой системы не произойдет никаких изменений.

Для замкнутой системы тел момент внешних сил . Пусть моменты внутренних сил, определенные относительно неподвижной точки . Повернем всю рассматриваемую систему на угол .

Вследствие изотропности пространства внутри самой системы никаких изменений при этом повороте не происходит, т.е. работа сил, действующих внутри системы, должна быть равна нулю:

.

В силу произвольности угла заключаем, что геометрическая сумма моментов внутренних сил равна нулю:

. (17.4)

И отсюда следует закон сохранения момента импульса:

. (17.5)

17.5. Закон сохранения энергии и однородность времени.

Рассматривая задачи динамики, мы получили следствие 2-го закона Ньютона – работа сил, совершаемая над механической системой, равна приращению ее кинетической энергии:

. (17.6)

Проведем сначала рассмотрение применительно к одной материальной точке.

Пусть на тую частицу действует сила , компоненты которой равны:

В самом общем случае потенциальная энергия (например, для незамкнутой системы) может зависеть не только от координат, но и еще от времени: и полное приращение потенциальной функции включает также и производную по времени (т.е. вводим полный дифференциал):

. (17.7)

На конечном перемещении материальной точки из положения в положение вдоль некоторой кривой потенциальная энергия получает приращение:

. (17.8)

Для замкнутой системы тел работа сил на этом перемещении представляется интегралом:

добавим и вычтем в правой части частную производную по времени, тогда:

Суммируя по всем материальным точкам системы, получаем из равенства работ:

,

. (17.9)

Полученный результат справедлив и для незамкнутых систем.

Обратимся опять к замкнутой системе тел и используем свойство однородности времени.

Однородность времени заключается в том, что, начиная с любого момента времени развитие событий должно происходить одинаковым образом, т.е. потенциальная энергия замкнутой системы тел (материальных точек) не может явно зависеть от времени:

. (17.10)

Откуда получаем закон сохранения энергии:

. (17.11)

Вместо заключения: между уравнениями динамики и законами сохранения имеется существенная разница.

Законы динамики дают нам представление о детальном ходе процесса. Законы сохранения обусловлены фундаментальными свойствами пространства и времени и поэтому они универсальны и всеобщи. Но они не дают указаний на то, как должен идти тот или иной процесс. Они говорят лишь о том, какие процессы запрещены в природе. Законы сохранения выступают как запреты (ограничения)! Если, например, выясняется, что какой-то процесс противоречит законам сохранения, то сразу можно утверждать: этот процесс невозможен, и бессмысленно пытаться его осуществить.