Определение скорости распространения малых возмущений в сжимаемой среде

Цель работы: ознакомиться с уравнением динамики идеальной среды и волновым уравнением малых возмущений в сжимаемой среде; определить скорость звука в воздухе; овладеть навыками моделирования зависимости скорости звука в газожидкостной (барботажной) смеси от объемной доли газа.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ

Возмущение среды – это отклонение каких-либо характеристик среды (давления, плотности, температуры, или скорости частиц среды) от своих равновесных значений. Поэтому возмущение, например, плотности среды математически определяются выражением:

, (1)

где – плотность среды в начальный момент времени наблюдения. В силу малости возмущения в первом приближении можно считать, что в покоящейся сжимаемой среде распространение малых возмущений является одномерным (например, вдоль оси x), баротропным процессом, зависящим только от координат и времени. Тогда выражение (1) примет вид:

. (2)

В силу баротропности процесса для малых возмущений давления получается, что

, (3)

где обладает размерностью квадрата скорости. Уравнение для возмущения скорости движения частиц среды записывается аналогично (3):

. (4)

Уравнение динамики идеальной среды, связывающее возмущение плотности, давления и скорости частиц в среде, в случае малых возмущений (среду можно считать изотропной, а скорость невысокой) имеет вид:

. (5)

Уравнение сплошности в данном случае примет вид:

. (6)

С учетом соотношений (3) и (4) уравнения (5) и (6) можно записать в одно уравнение, называемое волновым:

(7)

Аналогичным образом можно получить уравнение для давления в среде:

. (8)

Общее решение волнового уравнения (8) можно представить в виде суммы:

, (9),

где вид функций зависит от начальных условий задачи и определяют одномерное распределение возмущений плотности или давления. Если распределение имеет максимум, то его называют волновым пакетом. Механический смысл (9) состоит в том, что фиксированная форма одномерного возмущения перемещается от источника в противоположных направлениях. Следовательно, в любой момент времени t волновой пакет не изменит свою форму, а переместится на расстояние в противоположных направлениях. Другими словами, вследствие сплошности среды возмущение, возникшее в некотором месте среды, распространяется с некоторой скоростью .

Любой волновой пакет может быть представлен, как суперпозиция так называемых гармонических волн. Волна называется гармонической, если возмущение давления или плотности в фиксированной точке среды при распространении волны изменяется с течением времени по гармоническому закону:

, (10)

где – амплитудное (максимальное) значение давления или плотности в волновом пакете; – циклическая частота гармонических колебаний возмущения плотности среды; – частота колебаний; – начальная фаза колебаний; – период колебаний.

Если в начале координатной оси OX (x₀=0) возмущение изменяется по гармоническому закону, то в точке x вдоль направления распространения волны, возмущение происходит по такому же закону, но с запозданием на время , необходимое на прохождение волной расстояния .

В результате уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси , в точке с координатой примет вид:

. (11)

Расстояние , на которое распространяется волна за время одного периода колебаний, называется длиной волны:

. (12)

Если ввести величину , называемую волновым числом, которое показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной , то уравнение (11) принимает вид:

. (13)

Если волна распространяется в отрицательном направлении оси , то

. (14)

Таким образом, в плоской гармонической (монохроматической) волне возмущения давления или плотности во всех точках среды совершают гармонические колебания одинаковой частоты и амплитуды, но различные по фазе. Общая для волн (7) и (8) называется скоростью распространения малых возмущений в среде или скоростью звука. Из соотношения (12) можно получить выражение, связывающее , ν и λ:

. (15)

Скорость распространения малых возмущений в среде или скорость звука является важной пороговой характеристикой потока сжимаемой среды. При превышении скорости истечения среды значения, равного скорости звука, наблюдается независимость характеристик потока от роста давления в среде. Подобное явление называется запиранием потока.

В случае однородной среды процесс распространения гармонической волны можно считать протекающим без теплообмена (δQ=0) (адиабатическим). Тогда давление и плотность связаны соотношением:

. (16)

где – показатель адиабаты, определяемый отношением теплоемкостей среды при постоянном давлении и объеме. Из (16) с учетом баротропности процесса и уравнения состояния сжимаемой среды можно найти соотношение для определения скорости звука в среде:

.

В результате, для определения скорости распространения малых возмущений в сжимаемой среде получим:

. (17)

Из соотношения (17) следует, что скорость малых возмущений в идеальной среде не зависит от давления.

В смесях жидкости и газа, полученных вследствие барботажа, скорость звука зависит от давления в смеси p, плотности жидкости и объемной доли газа ( – объем газа, О – объем смеси):

. (18)

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

При одновременном распространении нескольких волн каждая из них распространяется так же, как и в отсутствии других волн. При наложении двух (или более) волн наблюдается интерференция: пространственное распределение амплитуды возмущения, например, плотности среды, при котором в одних точках колебание частиц среды происходит с максимальной, а в других – с минимальной амплитудой. Результирующее возмущение в каждой точке среды равно сумме возмущений, создаваемых каждой волной. При интерференции распространяющихся навстречу друг другу волн одинаковой частоты, амплитуды и поляризации (например, падающей и отраженной от преграды волн) образуется стоячая волна. Те места пространства, где наблюдаются колебания с максимальной амплитудой, называются пучностями, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами стоячей волны. Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно . В данной работе скорость звука в воздухе определяется методом стоячих волн, образующихся в столбе воздуха внутри закрытой трубы. Схема установки
изображена на рис. 1.

Рис. 1. Схема установки.

В трубе 1 может перемещаться поршень 2, ограничивающий столб воздуха в трубе. Другой торец трубы закрыт крышкой 3. На стержне 4, связанном с поршнем, имеется шкала, позволяющая определять расстояние между поршнем и крышкой, то есть длину столба воздуха в трубе. Колебания воздуха в трубе возбуждаются мембраной телефона , который подключен к генератору электрических колебаний звуковой частоты. Приемником звуковых колебаний служит микрофон , преобразующий механические колебания в электрические, которые подаются на вход электронного осциллографа .

Выведем условие возникновения стоячей звуковой волны в столбе газа, ограниченного закрытой по торцам трубой длиной . Пусть звуковая волна распространяется в трубе вдоль ее оси. Тогда для падающей на торец трубы волны смещения можно записать как:

,

где – амплитуда смещения частиц газа. Навстречу падающей волне распространяется отраженная от торца волна. Если коэффициент отражения равен единице, то для отраженной волны:

.

Результирующая волна смещения:

.

Применив правило сложения косинусов, получим:

.

Величина является амплитудой стоячей волны смещения, значение которой зависит только от координаты и не зависит от времени. В точках, для которых , наблюдаются узлы стоячей волны смещения; здесь амплитуда колебаний .

Непосредственно у твердой преграды частицы среды при отражении продольной волны не смещаются, амплитуда их колебаний . Поэтому при возникновении стоячей волны в закрытой с обеих сторон трубе на торцах могут располагаться только узлы стоячей волны смещения. Если координата одного торца , а другого , то эти граничные условия запишутся так:

и ,

где – расстояние между торцевыми стенками трубы. Запишем первое граничное условие в явном виде:

.

Это выражение справедливо, если , то есть если или . Используя это, применим второе граничное условие:

.

Данное равенство выполняется, если , а это имеет место, если . Отсюда . Так как , то окончательно получаем:

, (19)

где .

При отражении продольной волны от твердой преграды амплитуда колебаний давления газа на стенку максимальна. При возникновении стоячей волны здесь наблюдается пучность стоячей волны давления. На открытом торце трубы наблюдается пучность стоячей волны смещения и узел стоячей волны давления, так как на открытом торце давление газа не отличается от атмосферного, следовательно, нет изменения давления. Если координата открытого торца трубы , то граничное условие стоячей волны давления для открытого торца трубы запишется так: , где – амплитуда стоячей волны давления.

Амплитуда колебаний в узле стоячей волны будет равна нулю только в том случае, если падающая и отраженная волны имеют одинаковые амплитуды, что имеет место при коэффициенте отражения R = 1. Если R < 1 (или есть поглощение в среде), то в узлах стоячей волны не будет полного гашения колебаний, а будет наблюдаться лишь минимум амплитуды колебаний, что и происходит в реальных условиях.

Амплитуда колебаний, наблюдаемых на экране осциллографа, пропорциональна амплитуде давления в звуковой волне. Если подобрано такое положение поршня, что в трубе устанавливается стоячая волна, то амплитуда колебаний на экране достигает наибольшего значения. Разность отсчетов по шкале двух соседних положений поршня и дает, согласно формуле (19), значение половины длины звуковой волны:

. (20)

Зная, кроме того, частоту звуковых колебаний генератора, можно по формуле (15) определить скорость звука .

Приборы и принадлежности: акустическая труба с подвижным поршнем, телефоном и микрофоном; звуковой генератор; электронный осциллограф.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Объем работы и условия проведения опыта устанавливаются преподавателем или вариантом индивидуального задания.

1. После проверки схемы подключения согласно рис. 1 включить осциллограф и генератор в сеть. На генераторе установить необходимую частоту колебаний (в диапазоне от 700 до 1500 Гц).

2. Регулировочными ручками осциллографа получить достаточно яркую и четкую картину колебаний, расположенную в центре экрана, с размером по вертикали примерно 1 – 2 см.

3. Постепенно вдвигая (или выдвигая) поршень, определить по шкале все возможные резонансные положения . Результаты записать в таблицу 1.

Таблица 1. Результаты измерений.

, Гц
, см
, см

4. Измерения, указанные в пункте 3, провести при трех других значениях частоты звукового генератора. Результаты оформить в виде таких же таблиц.

5. Для каждой частоты вычислить разность всех соседних положений поршня и найти среднее значение , используя которое, по формуле (20) определить длину звуковой волны. По формуле (15) рассчитать скорость звука . Результаты расчетов оформить в виде таблицы 2. Определить среднее значение скорости звука .

Таблица 2. Результаты расчетов.

, Гц	, м	, м	, м/с

6. По формуле (17) рассчитать теоретическое значение скорости звука в воздухе. Молярные теплоемкости и , где число степеней свободы молекулы . Молярная масса воздуха = 0,029 кг/моль.

7. В зависимости от индивидуального задания, с помощью Excel смоделировать зависимость скорости звука в смеси жидкости и газа от объемной доли газа в заданном диапазоне.

8. В выводах по работе обсудить:

– согласуются ли между собой значения и ;

– характер зависимости скорости звука в баротражной смеси от объемной доли газа;

– проанализировать результаты моделирования зависимости скорости звука в смеси жидкости и газа от объемной доли газа.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятию «возмущение среды».

2. Сформулируйте качественную модель состояния среды при малых возмущениях.

3. Дайте математическое определение возмущению плотности и давления в среде.

4. Математически определите параметр .

5. Сформулируйте уравнение динамики идеальной среды (приведите в математическом виде с объяснением символов).

6. Сформулируйте волновое уравнение малых возмущений плотности идеальной среды (приведите в математическом виде с объяснением символов).

7. Дайте определение волнового пакета и его основного свойства.

8. Определите в символьном виде скорость распространения малых возмущений в однородной среде молярной массы μ при температуре T и в баротражной смеси при давлении p и плотности жидкости ρ_ж. Обоснуйте различия.

9. Докажите, что в однородной среде молярной массы μ при температуре T скорость распространения малых возмущений плотности зависит только от абсолютной температуры и структуры молекул среды.

Литература

Гиргидов, А.Д. Механика жидкости и газа (гидравлика): Учебник / А.Д. Гиргидов. – М.: НИЦ ИНФРА–М, 2014. – 704 с. – ЭБС «Знаниум».

Лабораторная работа № 4