Кинетическая энергия вращающегося тела

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Линейная скорость элементарной массы m_i равна υ_i = ωR_i , где R_i − расстояние от элементарной массы до оси вращения. Кинетическая энергия этой элементарной массы получается выражением

К		=	1 m υ 2	=	1 m ω2 R2.	(4.9.1)
	i		2 i i		2 ii

Кинетическая энергия тела складывается из кинетических энер-гий его частей, т. е.

n	n	1			=	1		n		(4.9.2)
К =∑ К i =∑		mi ω	Ri		ω	∑mi Ri .
i=1	i=1					i=1

n

Так как величина ∑m_i R_i² = I − есть момент инерции тела отно-

i=1

сительно оси вращения, то кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

	1
К =	2 Iω.	(4.9.3)

Рассмотрим плоское движение тела, которое может быть пред-

ставлено как наложение двух движений − поступательного с некото-рой скоростью υ₀ и вращательное вокруг соответствующей оси с уг-

ловой скоростью ω^r.

Кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр

масс тела, т. е.
К =	1 mυ 2	+	1 I	ω2 .	(4.9.4)
		c		2 c

Работа силы при вращении тела

Работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет

на изменение его кинетической энергии:
δA = dК.	(4.10.1)

Подставим в последнее выражение уравнение (4.9.3) и продиф-ференцируем

d К= d (1 I z ω2)=	1 I z 2ωd ω= I ω d ω= I z ωdωdt .	(4.10.2)
		dt
учитывая, что	dω	=ε и ωdt = dϕ, получим
	dt
		dК= Izεωdt = Mz dϕ.	(4.10.3)
Тогда элементарная работа, совершаемая силами, приложенны-
ми к телу
			δA = Mz dϕ,	(4.10.4)
и полная работа при повороте тела на угол ϕ за время t
			ϕ2
			A =∫	M z dϕ.	(4.10.4)
			ϕ1

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Лекция № 7

5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.

5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендику-лярных гармонических колебаний.

5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

5.4. Энергия гармонических колебаний.

5.5. Пружинный, математический и физический маятники.

Свободные гармонические колебания и их характеристики

Колебания −это движения или процессы,обладающие той или

иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются пе-риодическими,если значения физических величин,изменяющихся впроцессе колебания , повторяются через равные промежутки времени. Наиболее важными характеристиками колебания являются: смещение,

амплитуда, период, частота, циклическая частота, фаза.

Простейший вид периодических колебаний − это гармонические колебания. Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

x = Acos(ωt +ϕ0)или x = Asin(ωt +ϕ1),

(5.1.1)

где ϕ₁ =ϕ₀ − ^π₂ .

1) Смещение x −это величина,характеризующая колебания иравная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

2) Амплитуда колебаний А −это величина,равная максималь-ному отклонению тела от положения равновесия.

3) Период колебаний T −это наименьший промежуток времени,через который система, совершающая колебания, снова возвращается

в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [T] = 1 с.

За период система совершает одно полное колебание.

4) Частота колебаний ν−это величина,равная числу колеба-ний, совершаемых в единицу времени (за 1 секунду). Единица изме-

рения [ν]= 1 Гц. Частота определяется по формуле

ν =			.	(5.1.2)
	T

5) Циклическая частота ω − это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π секунд. За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершает-ся 2π циклов колебаний, [ω]= с⁻¹. Циклическая частота связана с пе-риодом и частотой колебаний соотношением

ω= 2 πν =	2π	.	(5.1.3)
	T

6) Фаза колебаний ωt +ϕ₀−фаза указывает местоположение ко-леблющейся точки в данный момент времени.

7) Начальная фаза ϕ₀−указывает местоположение колеблю-щейся точки в момент времени t = 0.