Геометрическая оптика. Разрешающая сила оптических систем

При падении света на границу раздела двух прозрачных веществ падающий луч разделяется на два – отраженный и преломленный. Направления этих лучей определяются законами отражения и преломления света.

Закон отражения света.

Отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения. Угол падения равен углу отражения:

a = g (4.3.15)

Закон преломления света.

Преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ:

sina/sinb = n₂/n₁. (4.3.16)

Здесь n₁ и n₂ – абсолютные показатели преломления первой и второй сред относительно.

Вещество с большим показателем преломления называют оптически более плотным.

При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч света будет удаляться от нормали к поверхности. Увеличение угла падения a сопровождается более быстрым ростом угла преломления b и по достижении углом a некоторого предельного значения

a_пред = arcsin(n₂/n₁), (4.3.17)

угол b становится прямым (b = p/2).

При углах падения, заключенных в пределах от a_пред до p/2, свет полностью отражается от границы сред. Это явление носит название полного внутреннего отражения, а выражение (4.3.17) называется предельным углом полного внутреннего отражения.

Прозрачное тело, ограниченное, к примеру, двумя сферическими или сферической и плоской поверхностями, называется линзой. Точка линзы, через которую любой луч проходит не изменяя своего направления, называется главным оптическим центром О линзы. Прямая FF, проходящая через центры О₁ и О₂ сферических поверхностей, называется главной оптической осью. Остальные оси, проходящие через оптический центр линзы, называют побочными, а плоскости, перпендикулярные к главной оптической оси, и проходящие через фокусы – фокальными плоскостями линзы. Любая прямая АВ, проходящая через оптический центр линзы, называется побочной осью линзы.

M

А

F F

O₁ O O₂

N

В

Линзы, превращающие падающий на них параллельный пучок лучей в пучок сходящихся лучей, называется собирающими.

Линзы, превращающие падающий на них параллельный пучок лучей в пучок расходящихся лучей, называется рассеивающими. Схематические изображения собирающей и рассеивающей линз изображены на рисунке ниже:

Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, после преломления в линзе сходится в главном фокусе F. Для собирающей линзы главный фокус является действительным, для рассеивающей – мнимым. Каждая линза имеет два фокуса: передний и задний. Плоскость MN, проведенная через главный фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной. Каждый из лучей, параллельных оптической оси, после преломления в линзе проходит через одну и ту же точку, лежащую на фокальной плоскости линзы (в параксиальном приближении).

Для построения изображений в линзах из всего пучка лучей, падающих на линзу, удобно использовать следующие лучи:

1) луч, параллельный главной оптической оси, после преломления проходит через правый главный фокус;

2) луч, проходящий через левый главный фокус, после преломления проходит параллельно главной оптической оси;

3) луч, проходящий через оптический центр линзы, после преломления проходит по тому же направлению (справедливо только для тонкой линзы).

Формула тонкой линзы:

, (4.3.18)

где d – расстояние от предмета до линзы, f – расстояние от линзы до изображения, F– фокусное расстояние линзы. В формуле (4.3.18) берется знак «плюс», если изображение является действительным, «минус», если мнимым. У собирающей линзы фокусное расстояние F > 0, у рассеивающей линзы F < 0.

Оптическая сила линзы D – это величина, обратная фокусному расстоянию линзы (n – показатель преломления среды):

D = n/F. (4.3.19)

Оптическая сила системы тонких прижатых друг к другу линз является суммой оптических сил этих линз:

D = D₁ + D₂ + D₃ +… (4.3.20)

Линейное увеличение линзы – это отношение линейного размера изображения А₁В₁ к линейному размеру предмета АВ.

Г = |А₁В₁|/|АВ| = f/d. (4.3.21) Линейное увеличение оптической системы тонких линз – это произведение линейных увеличений каждой линзы в отдельности:

Г = Г₁Г₂Г₃… (4.3.22)

Расстояние наилучшего зрения для человеческого глаза: L » 0,25 м.

Простейший микроскоп состоит из двух собирающих линз – объектива и окуляра.

Для определения разрешающей способности микроскопа Аббе предложил освещать объект когерентным излучением, в качестве объекта была выбрана дифракционная решетка с постоянной d.

Разрешающая способность микроскопа:

Z , (4.3.23)

где l – длина волны света, n – показатель преломления среды, в которой находится объект (u/2) – апертура (половина угла между крайними лучами, идущими от объекта к краям объектива).

Угловая дисперсия дифракционной решетки:

D = k/(dcosj), (4.3.24)

где k – порядок дифракции, d – постоянная дифракционной решетки, j – угол дифракции.

По критерию Рэлея два интерференционных пика интенсивности, еще можно увидеть раздельно, если минимум первого пика с длиной волны (l + Dl)совпадает с максимумом второго пика в спектре k-того порядкас длиной волны l. Отсюда следует, что

l/Dl = kN, (4.3.25)

где отношение l/Dl называется разрешающей способностью дифракционной решетки, N – число штрихов дифракционной решетки.

Пример 9. Собирающая линза дает действительное, увеличенное в 2 раза изображение предмета. Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние между линзой и изображением составляет 24 см. Построить изображение предмета в линзе.

Дано: Г = 2; f = 24 см = 0,24 м.

Найти: F.

Решение.

A

A₁

2F B F F 2F B₁

d f

Для построения изображения верхней точки А предмета АВ рассмотрим два луча. Первый луч, идущий параллельно главной оптической оси, преломившись, пройдет через главный фокус линзы; второй, идущий через главный оптический центр линзы, не изменит своего направления. Точка пересечения А₁ этих лучей является действительным изображением точки А. Опустив из точки А₁ перпендикуляр на главную оптическую ось, получим действительное, увеличенное и перевернутое изображение А₁В₁ предмета АВ. Для нахождения фокусного расстояния воспользуемся формулой тонкой линзы (4.3.18), откуда выразим фокусное расстояние F:

F = df/(d+f). (4.3.26)

Линейное увеличение линзы найдем из формулы (4.3.21):

Г = f/d, откуда d = f/Г. (4.3.27)

Подставив соотношение (4.3.27) в (4.3.26), найдем

F = f/(Г+1) = 0,24/(2+1) = 8×10^{-2 м}.

Ответ:F = 8×10^{-2 м.}

Пример 10. Какое увеличение дает лупа, если ее оптическая сила равна 16 дптр? Построить изображение предмета в лупе.

Дано: D = 16 дптр.

Найти: Г.

Решение. Если не учитывать расстояние между глазом и линзой, то увеличение, даваемое лупой с фокусным расстоянием F, как следует из (4.3.21), будет равно

Г = f/d.

В частном случае, когда предмет расположен так, что его изображение получается на расстоянии наилучшего зрения нормального глаза(L = 0,25 м), должно быть f = L, поэтому увеличение, даваемое лупой,

Г = L/F = LD,

где F – фокусное расстояние лупы, причем D = 1/F, как следует из (4.3.19).

Следовательно, Г = 0,25×16 = 4.

A₁

A

В₁ F B O F

Чтобы рассмотреть предмет через лупу, его располагают между лупой и ее фокусом. Для построения изображения точки А этого предмета используем два луча, исходящие из нее: один, параллельный главной оптической оси, после преломления проходит через фокус; другой, проходящий через главный оптический центр линзы, не изменит своего направления. Изображение А₁ точки А получится в точке пересечения продолжения лучей. Аналогично получаем изображение В₁ точки В. Следовательно, изображение А₁В₁ предмета АВ мнимое, увеличенное и прямое.

Пример 11. Микроскоп состоит из объектива и окуляра, расстояние между главными фокусами которых 18 см. Найти увеличение, даваемое микроскопом, если фокусные расстояния объектива и окуляра соответственно равны 2 и 40 мм. Построить изображение предмета.

Дано: l = 18 см = 0,18 м, F₁ = 2 мм = 2×10^{-3 м,} F₂= 40 мм = 4×10^{-3 м.}

Найти: Г.

Решение. Построим в микроскопе изображение предмета АВ, который обычно помещают вблизи фокальной плоскости объектива. Для этого возьмем два луча, исходящих из точки А предмета АВ (см. рис. ниже). Первый луч, проходящий через фокус F₁ объектива, после преломления в линзе пойдет параллельно главной оптической оси до падения на окуляр в точке D. После преломления в окуляре луч пройдет через его фокус F₂. Второй луч, падающий на оптический центр О₁ объектива, не изменит своего направления и упадет на окуляр в точке Е. Чтобы найти ход луча после преломления в окуляре, проведем через точку F₂ фокальную плоскость MN и побочную оптическую ось, параллельную этому лучу и пересекающую фокальную плоскость в точке К. Тогда второй луч после преломления в окуляре также пройдет через эту точку.

M

A B₂ B₁ O₂ F₂

B F₁ O₁

A₁ D K

A₂ E N

Точка А₂ пересечения продолжений первого и второго лучей, вышедших из окуляра, является мнимым изображением точки А. Опуская из точки А₂ перпендикуляр на главную оптическую ось, получим мнимое, увеличенное и перевернутое изображение А₂В₂ предмета АВ.

Поскольку микроскоп состоит из двух линз (объектив и окуляр), то увеличение микроскопа определяется формулой (4.3.22):

Г = Г₁Г₂, (4.3.28)

где Г₁ – увеличение объектива, Г₂ – увеличение окуляра. По определению, увеличение объектива (см. (4.3.21))

Г₁ = f₁/d₁. (4.3.29)

Так как f₁» l, d₁ » F₁, то Г₁ » l/F₁.

Окуляр действует как лупа, поэтому

Г₂= L/F₂, (4.3.30)

где L – расстояние наилучшего зрения, L = 0,25 м (для нормального глаза).

Подставив выражения (4.3.29) и (4.3.30) в (4.3.28), получим

Г = lL/F₁F₂ = 562.

Ответ: Г = 562.

Пример 12. Разрешающая способность светового микроскопа с иммерсионным объективом равна 6000 мм^-1. Чему равен апертурный угол, если в качестве иммерсионной жидкости использован глицерин (n = 1,47), а длина волны света, освещающая препарат, составляет 446 нм?

Дано: Z = 6000 мм^-1,

n = 1,47,

l = 446 нм = 446×10^-9м.

Найти: u/2.

Решение. Для того чтобы найти апертурный угол, используем формулу (4.3.23):

Z ,

откуда выразим сначала синус апертурного угла, а потом и сам угол:

sin(u/2) = 0,5l/(nZ) Þ u/2 = arcsin[(0,5l/(nZ)] = 65,5°.

Ответ: u/2 = 65,5°.

Пример 13. На дифракционную решетку шириной 5 мм нанесено 2000 штрихов. а) Определить наибольшую разрешающую способность решетки для света с длиной волны 546 нм. б) Чему равна угловая дисперсия этой решетки в спектре второго порядка для света с длиной волны 700 нм?

Дано: l = 5 мм = 5×10^{-3 м,}

N = 2000,

l = 546 нм = 546×10^{-9 м.}

Найти: а) (l/Dl)_макс; б) D.

Решение. а) Определим наибольшую разрешающую способность решетки для света с длиной волны 546 нм. Для этого используем исходные формулы (4.3.25) и (4.3.8) и учтем, что sinj_макс = 1:

l/Dl = kN, (l/Dl)_макс = k_максN

dsinj = kl, dsinj_макс = k_максl, откуда d= k_максl,

Из (4.3.9) найдем

d = l/N, поэтому k_макс = d/l = l/Nl = 4,58 = 4,

а наибольшая разрешающая способность равна соответственно

(l/Dl)_макс = 4N = 4×2000 = 8000.

б) Теперь найдем, чему равна угловая дисперсия этой дифракционной решетки в спектре второго порядка для длины волны 700 нм.

Запишем исходную формулу для угловой дисперсии (4.3.24) и формулу (4.3.8) для главных максимумов дифракции:

D = k/(dcosj), dsinj = kl.

Из (4.3.8) находим, чему равен угол дифракции j:

sinj = kl/d = 0,56 Þ j = arcsin(0,56) = 34°.

Подставим полученный угол в (4.3.24) и рассчитаем угловую дисперсию:

D = k/(dcosj) = 9,65×10⁵ м^-1.

Ответ: (l/Dl)_макс = 8000, D = 9,65×10⁵ м^-1.