Системы массового обслуживания

Нередко возникает необходимость в решении вероятностных задач, связанных с системами массового обслуживания (СМО), примерами которых могут быть:

• 
  Билетные кассы;
• 
  Ремонтные мастерские;
• 
  Торговые, транспортные, энергетические системы;
• 
  Системы связи;
• 
  И т.д.

Общность таких систем выявляется в единстве математических методов и моделей, применяемых при исследовании их деятельности.

Рис. 1. Основные сферы применения ТМО.

На вход в СМО поступает поток требований на обслуживание. Например, клиенты или пациенты, поломки в оборудовании, телефонные вызовы. Требования поступают нерегулярно, в случайные моменты времени. Случайный характер носит и продолжительность обслуживания. Это создает нерегулярность в работе СМО, служит причиной ее перегрузок и недогрузок.

Системы массового обслуживания обладают различной структурой, но обычно в них можно выделить четыре основных элемента:

1. 
   Входящий поток требований.
2. 
   Накопитель (очередь).
3. 
   Приборы (каналы обслуживания).
4. 
   Выходящий поток.

Рис. 2. Общая схема систем массового обслуживания.

Рис. 3. Модель работы системы

(стрелками показаны моменты поступления требований в

систему, прямоугольниками – время обслуживания)

На рис.3а представлена модель работы системы с регулярным потоком требований. Поскольку известен промежуток между поступлениями требований, то время обслуживания выбрано так, чтобы полностью загрузить систему. Для системы со стохастическим потоком требований ситуация совершенно иная – требования приходят в различные моменты времени и время обслуживания тоже является случайной величиной, которое может быть описано неким законом распределения (рис.3б).

В зависимости от правил образования очереди различают следующие СМО:

1. 
   системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания заявка покидает систему необслуженной;
2. 
   системы с неограниченной очередью, в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы обслуживания были заняты;
3. 
   системы с ожиданием и ограниченной очередью, в которых время ожидания ограниченно какими-либо условиями или существуют ограничения на число заявок, стоящих в очереди.

Рассмотрим характеристики входящего потока требований.

Определение 1. Поток требований называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени определенной длины зависит только от длины этого участка.

Определение 2. Поток событий называется потоком без последствий, если число событий, попадающих на некоторый участок времени, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Определение 3. Поток событий называется ординарным, если невозможно одновременное поступление двух или более событий.

Определение 4. Поток требований называется пуассоновским (или простейшим), если он обладает тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последствий. Название связано с тем, что при выполнении указанных условий число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределен по закону Пуассона.

Пуассон Симеон (1781 - 1840) - французский математик, механик и физик, профессор Политехнической школы в Париже (с 1806 г.), член института Франции и Бюро долгот (с 1812 г.), член Совета французского университета (с 1816 г.), наблюдатель за преподаванием математики во всех коллежах Франция (с 1820 г.), почетный член Петербургской академии наук (с 1826 г.); получил выдающиеся результаты в области теории рядов, теории неопределенных интегралов, вариационного исчисления, теории вероятностей, математической физики, теоретической механики; предложил (названный его именем) один из важнейших законов распределения случайных величин в теории вероятностей.

Определение 5. Интенсивностью потока заявок λ называется среднее число заявок, поступающих из потока за единицу времени.

Для стационарного потока интенсивность постоянна. Если τ – среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками, то В случае пуассоновского потока вероятность поступления на обслуживание m заявок за промежуток времени t определяется по закону Пуассона:

Время между соседними заявками распределено по экспоненциальному закону с плотностью вероятности

Время обслуживания является случайной величиной и подчиняется показательному закону распределения с плотностью вероятности где μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени,

Определение 6. Отношение интенсивности входящего потока к интенсивности потока обслуживания называется загрузкой системы

Загрузка – это среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки.