Д1. Рух матеріальної точки при дії постійних сил

На наступних сторінках наводяться тексти задач Д1.1 – Д1.30 з умовами, рисунками і таблицями, які містять дані для числових роз-рахунків. В таблицях Д1.1 – Д1.30 вказані значення заданих величин з їх розмірностями. Величини, які потрібно визначити і навести в оста-точних відповідях, помічені знаком питання “ ? “ . Величини відмі-чені знаком тире ” – “ є залежними від заданих, від них можуть зале-жати ті, що відмічені знаком “ ? “ , тому їх підрахунок в ряді випад-ків є необхідним, але їх значення наводити в остаточних відповідях необов’язково.

Задача Д1.1

З підводного човна, рис. Д1.1, що знаходиться на глибині h, випускають капсулу, яка піднімається вертикально догори під дією сили тяжіння P = mg і виштовхувальної сили Архімеда F_A = k mg. Силою опору води при русі нехтуємо. Капсула досягає поверхні води за час t і в момент зіткнення з повітрям має вертикальну швидкість V_B. В цей момент з капсули запускається важка матеріальна точка М з по-чатковою швидкістю U під кутом a до вертикалі. Точка М рухається в повітрі під дією сили тяжіння Р, опором повітря нехтуємо. За час Т точка М від точки В до точки С описує певну траєкторію y(x), піднімається на максимальну висоту Н, проходить віддаль ВС = d і приводнюється з швидкістю V_Cпід кутом j до вертикалі.

Задані параметри і величини, які потрібно знайти, знаходяться в таблиці Д1.1 по варіантах.

Рисунок Д1.1

Таблиця Д1.1

Задача Д1.2

М’ячу в точці А надають швидкість V_А під кутом a до гори-зонту, рис. Д1.2, після чого він пролітає за час t віддаль lпо гори-зонталі і h₁ по вертикалі до точки В, де йому миттєво додають вер-тикальну швидкість U. Від точки В до точки С, яка знаходиться на відстані d по горизонталі і h₂ по вертикалі від точки В, м’яч пролітає за час Ті описує траєкторію y(x). В точці С м’яч має швидкість V_C , вектор якої складає з вертикаллю кут j .

М’яч вважати важкою матеріальною точкою. Опором повітря і втра-тами швидкостей при ударі в точці В знехтувати.

Величини, що задаються, і ті, що потрібно знайти, наведені в таблиці Д1.2 по варіантах.

Рисунок Д1.2

Таблиця Д1.2

Задача Д1.3

В вертольоті, рис. Д1.3, який піднімається вертикально догори з постійною швидкістю U , влаштовано напрямні у вигляді похилої площини з кутом a до горизонталі. По них з точки А без початкової швидкості спускають важкий предмет М. Він рухається за рахунок сили ваги, долаючи тертя до площини з коефіцієнтом f , проходить шлях АВ=l за час t і має в точці В швидкість V_B. В момент, коли вертоліт знаходиться на висоті h над землею предмет М відділяється від нього і падає під дією сили ваги та опору повітря, яким нехтуємо, по траєкторії y(x) досягаючи точки С зі швидкістю V_C за час Т. Віддаль від точки В до точки С по горизонталі складє d. В момент приземлення предмета М вектор швидкості V_C складає з вертикаллю кут j .

Задані і невідомі величини знаходяться в таблиці Д1.3 по варіантах.

Рисунок Д1.3

Таблиця Д1.3

Задача Д1.4

Важку металічну кульку М в точці А кидають зі швидкістю V_A під кутом a до горизонту, рис. Д1.4. Рухаючись в повітрі під дією ваги P = mg кулька в точці Впотрапляє в рідину і продовжує рух в ній під дією сили ваги і виштовхувальної сили Архімеда F_A = kmg. В рідині від точки В до точки Скулька рухається по траєкторії y(x), а в точці С має швидкість V_C,, вектор якої складає з вертикаллю кут j. Положення точки Ві точки С в системі координат xAyвказується параметрами l, h₁ і d, h₂, як показано на рис. Д1.4.

Опором повітря при русі кульки М на ділянці АВ і опором рідини на ділянці ВС знехтувати.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.4.

Рисунок Д1.4

Таблиця Д1.4

Задача Д1.5

Автобус під дією постійних сил рухається горизонтально, рис. Д1.5. В точці А має швидкість V_A, проходить шлях до точки В, АВ= l, за час t і досягає швидкості V_B. В момент, коли автобус знаходиться в точці В з його вікна в площині руху автобуса підкидають вертикально вверх важкий предмет М зі швидкістю U. Предмет описує траєкторію y(x), піднімається на максимальну висоту Н і падає на землю в точці С зі швидкістю V_C , що направлена під кутом j до вертикалі. Від точки В до точки С відстань по горизонталі рівна S. Предмет Мпролітає її за час Т. Висота предмета М над дорогою в точці В рівна h.

Предмет М вважати важкою матеріальною точкою, опором повітря знехтувати.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.5 по варіантах.

Рисунок Д1.5

Таблиця Д1.5

Задача Д1.6

Шайбі М надали в точці А швидкість V_A в напрямку горизонтальної льодової поверхні з коефіцієнтом тертя f , рис. Д1.6. Ковзаючи на віддаль АВ = l за час t , шайба в точці В досягає перешкоди де в результаті зіткнення змінює напрямок руху і втрачає швидкість в k разів від тієї, що мала до зіткнення. Після точки В напрямок швидкості шайби складає кут a з горизонтом. З точки В до точки С шайба летить в повітрі час Тпо траєкторії y(x) під дією сили ваги без опору повітря. Точка С від точки В розташована на горизонтальній віддалі dі вертикальній h, як показано на рис.Д1.6. В точці Свектор швидкості шайби V_C складає кут j з вертикаллю.

Дані для розрахунків наведені в таблиці Д1.6.

Рисунок Д1.6

Таблиця Д1.6

Задача Д1.7

З нерухомого вертольота, рис. Д1.7, в точці А вистрибує без по- чаткової швидкості парашутист. Він пролітає в вільному падінні по вертикалі шлях AB = h за час t і в точці В перпендикулярно до напрямку падіння зі швидкістю U відкидає важкий предмет М, який вважаємо матеріальною точкою. Предмет М рухається по трає-кторії y(x) час Т і приземляється в точці С зі швидкістю V_C , вектор якої складає з вертикаллю кут j . Точки В і С мають різницю в висоті Н і d по горизонталі, як показано на рис. Д1.7. Опором повітря при падінні парашутиста і предмета М нехтуємо.
Дані для розрахунків - в таблиці Д1.7 по варіантах.

Рисунок Д1.7

Таблиця Д1.7

Задача Д1.8

Спортсмен масою m виконує стрибок в довжину, рис. Д1.8. Без початкової швидкості в точці Авін розганяється, відштовхуючись від землі в горизонтальному напрямку з постійною середньою силою Q, за час t пробігає шлях АВ= l і в точці В набуває горизонтальної швид-кості V_B. В цей момент спортсмен не втрачаючи V_B надає собі верти-кальної швидкості U, в результаті чого виконує стрибок в повітрі по трає-кторії y(x) до точки С. Віддаль ВС=d, максимальна висота підйому h, кут приземлення j з вертикаллю, швидкість приземлення V_C, час руху в повітрі Т.

Силою тертя та опором повітря при русі спортсмена, якого вважаємо матеріальною точкою, нехтуємо.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.8 по варіантах.

Рисунок Д1.8

Таблиця Д1.8

Задача Д1.9

Частинка води М в трубці переносного поливальника під дією пос-тійних сил рухається з точки А, де не має початкової швидкості, до точки В, шлях АВ = l, де набуває швидкості V_B. Трубка АВ, рис. Д1.9, складає з горизонталлю кут a . Частинка М проходить трубку АВ без тертя за час t . Від точки В до точки С частинка Мрухається по траєкторії y(x) за час Т , в точці С має швидкість V_C , вектор якої складає кут j з вертикаллю. Найвище положення струменя води на ділянці ВС над горизонтальною землею рівне Н .

Положення точок А, В і Свідносно горизонтальної землі і поливальника вказано параметрами h і d на рис. Д1.9. Опір повітря

не враховувати.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.9 по варіантах .

Рисунок Д1.9

Таблиця Д1.9

Задача Д1.10

Мотоцикліст М без початкової швидкості розганяється по похилій площині, рис. Д1.10, і перелітає канаву. Похила площина АВ має кут a з горизонтом, довжину АВ = l . Мотоцикліста з мотоциклом приймаємо за матеріальну точку масою m . Його рух на ділянці АВ відбувається під дією постійних сил тяги F і тертя з коефіцієнтом f . Час руху на ділянці АВ рівний t .

В точці В мотоцикліст зі швидкістю V_B залишає площину і виконує стрибок по траєкторії y(x) до точки С , де приземляється зі швидкістю V_C , вектор якої складає кут j з вертикаллю. Час польоту Т. Різниця в положенні точок В і С вказується параметрами d і hяк показано на рис. Д1.10. Опір повітря не враховувати.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.10 по варіантах.

Рисунок Д1.10

Таблиця Д1.10

Задача Д1.11

Лижник М рухається по похилій площині з кутом a до гори-зонту, шлях АВ = l проходить за час t . В точці А він має швид-кість V_A, в точці В- V_B . Коефіцієнт тертя лиж по снігу рівний f . З точки В до точки С лижник рухається в повітрі по траєкторії y(x) , рис. Д1.11. Час, за який лижник пролітає до точки С рівний Т , швидкість лижника в момент приземлення в точці С рівна V_C , а її напрямок відносно вертикалі визначається кутом j . Положення точок В і С вказано на рис. Д1.11 розмірами dі h . Лижник вважається матеріальною точкою, на яку повітря опір не чинить.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.11 по варіантах.

Рисунок Д1.11

Таблиця Д1.11

Задача Д1.12

З даху будинку в точці А штовхають важкий предмет М зі швидкістю V_A , рис. Д1.12. Предмет рухається по похилій площині даху під кутом aдо горизонту і в точці В набуває швидкості V_B . На шляху АВ = l , який предмет М проходить за час t , діє сила тертя з коефіцієнтом тертя f . В точці В предмет М відривається від даху і летить до точки С , де приземляється зі швидкістю V_C , вектор якої складає кут j з вертикальним напрямком. Час руху предмета від точки В до точки С рівний Т , траєкторія польоту має вигляд залежності y(x) , опір повітря не враховується. Положення точок В і С в вертикальній площині визначено параметрами h і d, як показано на рис. Д1.12.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.12 по варіантах.

Рисунок Д1.12

Таблиця Д1.12

Задача Д1.13

Спортсмен масою m з точки А без початкової швидкості розганя-ється на горизонтальному шляху АВ = l за час t під дією середньої постійної сили F і в точці В досягає швидкості V_B , рис. Д1.13. В цей момент не втрачаючи швидкості V_B він відштовхується у вертикальному напрямку з швидкістю U і виконує стрибок у воду по траєкторії y(x) до точки С , де занурюється зі швидкістю V_C , напрямок якої складає кут j з вертикаллю. Точка С знаходиться на горизонтальній віддалі d від точки В, а в вертикальному напрямку h,як показано на рис. Д1.13. Час руху спортсмена на ділянці ВС рівний Т. Спортсмена приймаємо за матеріальну точку, опором повітря і тертям на діля нці АВ нехтуємо.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.13 по варіантах.

Рисунок Д1.13

Таблиця Д1.13

Задача Д1.14

В сортувальній машині зернина масою mрухається по похилій площині, рис. Д1.14, під кутом a до горизонталі під дією сили ваги P = =mg і тертя з коефіцієнтом тертя f . Починаючи рух без початкової швидкості в точці А, за час t на шляху АВ = l зернина в точці В набуває швидкості V_B і за лишає похилу площину, після чого починає падати в горизонтальному пото ці повітря, який створює постійну горизонтальну силу F = kmg , тому зерни на рухається по траєкторії y(x) і падає на горизонтальну поверхню в точці С зі швидкістю V_C , вектор якої складає кут j з вертикаллю. Від точки В до точки Сзернина ру-хається час Т. Положення точок В і С вказується на рис. Д1.14 віддалями h і d . Опором повітря в залежності від швидкості руху зернини нехтуємо.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.14 по варіантах.

Рисунок Д1.14

Таблиця Д1.14

Задача Д1.15

Автомобіль масою m на горизонтальній ділянці шляху в точці А має швидкість V_A , а в точці В - швидкість V_B , рис. Д1.15. Шлях АВ = = l він проходить за час t під дією постійних сил тертя з коефіцієнтом f і сили тяги Q . В точці В автомобіль втрачає контакт з горизонтальною дорогою і рухається по траєкторії y(x) до точки С, де приземляється з швидкістю V_C , вектор якої складає з вертикаллю кут j . Від точки В до точки С ав томобіль рухається під дією сили ваги за час Т. Автомобіль вважаємо ма теріальною точкою, опором повітря на ділянках АВ і ВСнехтуємо. Положення точок В і С вказано на рис. Д1.15 розмірами d і h .

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.15 по варіантах.

Рисунок Д1.15

Таблиця Д1.15

Задача Д1.16

Акробат масою m розганяється з точки А без початкової швидкості, рис. Д1.16, за час t пробігає віддаль АВ = l , відштовхуючись від землі з середньою силою F , і в точці В набуває швидкості V_B. В точці В акробата підштовхують зі швидкістю U під кутом a до горизонталі в результаті чого він продовжує рухатись в повітрі по траєкторії y(x) до точки С , яка знаходиться від точки В на горизонтальній віддалі d і вертикальній h. В точці Сакробат має швидкість V_C , вектор якої складає кут j з вертикаллю. Акробата вважаємо матеріальною точкою. Опором повітря при русі на ділянках АВ і ВС нехтуємо.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.16 по варіантах.

Рисунок Д1.16

Таблиця Д1.16

Задача Д1.17

Спортсмен масою m , розігнавшись на горизонтальній прямій з точки А без початкової швидкості, в точці В набуває горизонтальної швидкості V_B і в той же момент відштовхнувшись з вертикальною швидкістю U , рис. Д1.17, виконує стрибок в висоту. На ділянці АВ = l на спортсмена діє середня постійна горизонтальна сила F відштовхування від землі і сила тертя з коефіцієнтом f . Час руху спортсмена на ділянці АВ рівний t . Ділянку руху ВС спортсмен пролітає по траєкторії y(x) за час Т, піднімаючись на максимальну висоту Н в точці D , і приземляється в точці С зі швидкістю V_C , вектор якої складає з вертикаллю кут j. Положення точок А , В, D і С вказані розмірами l , d , h, s і H на рис. Д1.17.

Спортсмена прийняти за матеріальну точку, опором повітря знехтувати.
Дані для розрахунків - в таблиці Д1.17 по варіантах.

Рисунок Д1.17

Таблиця Д1.17

Задача Д1.18

З автомобіля, який рухається під дією постійних сил по горизон-тальній ділянці, в точці В запускають важкий предмет з швидкістю U, напрямок якої складає кут a з горизонтом. На шляху АВ = l автомобіль має швидкість V_Aв точці А і V_B в точці В. Час руху автомобіля на шляху АВ рівний t . З точки Впредмет з результуючою швидкістю описує траєкторію y(x) до точки С . Від точки В до точки С віддаль по горизонталі d , а по вертикалі h , як показано на рис. Д1.18. Ділянку траєкторії ВС предмет пролітає за час Т. Вектор швидкості V_C складає кут j з вертикаллю.

Предмет вважати матеріальною точкою, опір повітря не враховувати. Початковою висотою предмета над поверхнею землі, розміром b,що показазаний на рис. Д1.18, знехтувати.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.18 по варіантах.

Рисунок Д1.18

Таблиця Д1.18

Задача Д1.19

Металева кулька масою m одержує в точці Ашвидкість V_A, яка направлена під кутом a до горизонту, рухається в повітрі під дією сили ваги P = mg , а в точці В потрапляє в рідину, де продовжує рух по траєкторії y(x) до точки С. Вектор швидкості V_C складає кут j з вертикаллю. В рідині на кульку крім сили ваги Р діє сила від течії рідини F = kmg в напрямку горизонтального потоку. На ділян-ці АВ кулька рухається час t , а на ділянці ВС - Т. Положення точок А , В і С визначається параметрами h , H , d і s , як показано на рис. Д1.19.

Опором повітря і рідини в залежності від швидкості руху кульки, яку вважаємо матеріальною точкою, нехтуємо.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.19.

Рисунок Д1.19

Таблиця Д1.19

Задача Д1.20

Куля в стволі вогнепальної зброї рухається без початкової швид-кості під дією середньої сили тиску газів Q і на виході в точці В має швидкість V_B , пробігаючи шлях АВ = l за час t. З точки В з початковою швидкістю V_B , яка направлена під кутом a до горизонту, куля рухається в повітрі під дією власної ваги по траєкторії y(x) до точки С за час Т, де вектор швидкості V_C складає кут j з вертикальним напрямком. Положення ствола та точок В і С визначено параметрами l , h , d , як показано на рис. Д1.20.
Куля, яку вважаємо матеріальною точкою, має масу m , її вага P = =mg . На ділянці АВ вагою кулі в порівнянні з силою тиску газів Q нехтуємо ( P << Q ). Не враховуємо силу опору повітря при русі кулі в повітрі на ділянці ВС.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.20 по варіантах.

Рисунок Д1.20

Таблиця Д1.20

Задача Д1.21

З літака, який летить горизонтально і рівномірно зі швидкістю U , рис. Д1.21, по похилій площині АВ = l , що під кутом a до горизон-ту, спускають важкий предмет. Відокремившись від літака в точці В , предмет рухається в повітрі по траєкторії y(x) і приземляється в точці С. На похилій площині на предмет діють сила ваги і тертя з коефіцієнтом f . Початкова швидкість в точці А рівна нулю, в точці В - V_B , час руху на АВ рівний t . На ділянці ВС на предмет діє тільки сила ваги, опором повітря нехтуємо. Положення точок В і С відносно землі вказано параметрами h і d на рис. Д1.21. Вектор швидкості V_C в момент приземлення складає кут j з вертикаллю, а час руху на ділянці ВС рівний Т .

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.21 по варіантах.

Рисунок Д1.21

Таблиця Д1.21

Задача Д1.22

З платформи поїзда, який рухається під дією постійних сил горизонтально і прямолінійно, в точці А має швидкість V_A , а в точці В швидкість V_B , з точки В вистрибує людина зі швидкістю U , вектор якої направлений під кутом aдо горизонту, як показано на рис. Д1.22. Шлях АВ = l поїзд проходить за час t . Людина в точці В залишає поїзд, пролітає до точки С, що знаходиться на землі, по траєкторії y(x) за час Ті приземляється зі швидкістю V_C , вектор якої складає кут j з вертикаллю. Відносне положення точок В і С вказано розмірами d і h на рис. Д1.22.

Людину вважати матеріальною точкою, опором повітря знехтувати, точки А, В, С і вектор U лежать в площині руху поїзда.
Дані для розрахунків - в таблиці Д1.22 по варіантах.

Рисунок Д1.22

Таблиця Д1.22

Задача Д1.23

З катера, який рухається по поверхні води під дією постійних сил, в точці В запускають важкий предмет з швидкістю U під кутом a до горизонту. Від точки В предмет рухається по траєкторії y(x) до точки С за час Т , де має швидкість V_C , вектор якої складає кут j з вертикальним напрямком, рис. Д1.23. Шлях АВ = l катер проходить за час t , в точці А має швидкість V_A, а в точці В швидкість V_B . Точки А, В, С, вектори швидкостей V_А , V_B , V_C і U лежать в площині руху катера. Положення точок А, В і С вказується розмірами l , d і h, як показано на рис. Д1.23.

Опір води при русі катера на прямій АВ, а також повітря при русі предмета на ділянці ВС вважаємо незначними. Нехтуємо також початковою висотою bпредмета над поверхнею води.
Дані для розрахунків наведені в таблиці Д1.23 по варіантах.

Рисунок Д1.23

Таблиця Д1.23

Задача Д1.24

Повітряна куля з газовим пальником піднімається по вертикалі під дією постійних сил так, що в точці А має швидкість V_A , в точці В швидкість V_B , висоту АВ = h проходить за час t , рис. Д1.24. В той момент, коли гондола знаходиться в точці В на висоті Н над землею з неї кидають зі швидкістю U під кутом a до горизонту важкий предмет, який падає до землі по траєкторії y(x) до точки С , де вектор швидкості V_C направлений під кутом j до вертикалі. Час польоту предмета до точки С рівний Т, а віддаль від точки В до точки С по горизонталі рівна l , що зображено на рис. Д1.24.

Предмет вважаємо матеріальною точкою. Опір повітря в залежності від швидкості руху не враховуємо.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.24 по варіантах.

Рисунок Д1.24

Таблиця Д1.24

Задача Д1.25

Літак під дією постійних сил набирає висоту по прямій, яка складає кут a з горизонтом, рис. Д1.25. В точці А він має швидкість V_A , в точці В швидкість V_B , шлях АВ = l пролітає за час t . В точці В з літака катапультують важкий предмет з швидкістю U під прямим кутом до напрямку польоту. Предмет рухається в повітрі під дією власної ваги по траєкторії y(x) до точки С, де приземляється зі швидкістю V_C, яка направлена під кутом jдо вертикалі. В момент відділення предмета від літака точка В знаходиться на висоті hнад землею, віддаль від точки В до точки Спо горизонталі рівна d, що зображено на рис. Д1.25. Час польоту предмета від точки В до точки С рівний Т.

Предмет вважаємо матеріальною точкою, опір повітря в залеж-ності від швидкості руху не враховуємо.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.15 по варіантах.

Рисунок Д1.25

Таблиця Д1.25

Задача Д1.26

Важка матеріальна точка М масою m рухається без початкової швидкості по похилій площині АВ = l з кутом aдо горизонталі під дією постійної сили Q, як показано на рис. Д1.26. Коефіцієнт тертя на площині АВ рівний f₁, час руху до точки В t . Точка М залишає площину АВ зі швидкістю V_B і до найвищої точки траєкторії С рухається час Т в повітрі під дією власної ваги не зустрічаючи опору повітря. В точці С точка М починає рухатись по горизонтальній площині з коефіцієнтом тертя f₂. За час t вона проходить віддаль СD = d і в точці D зупиняється. Положення точок А, В, С і D визначено розмірами l, s, h і dяк показано на рис. Д1.26.

Дані для остаточних розрахунків наводяться в таблиці Д1.26 по варіантах.

Рисунок Д1.26

Таблиця Д1.26

Задача Д1.27

Снаряд масою mрухається з точки А з початковою швидкі-стю V_А під кутом a до горизонту по траєкторії y(x) до точки В, яка розташована від точки А на горизонтальній віддалі s і вер- тикальній h, де має швидкість V_B , що направлена під кутом j до вертикалі, рис. Д1.27. На ділянці АВ снаряд перебуває під дією сили ваги P = mg , час руху на ній рівний t . В точці В снаряд стикається з поверхнею, площина якої перпендикулярна до вектора V_B і, зустрічаючи опір R = kmg , проникає в середовище поверхні на глибину d і в точці С зупиняється. Коефіцієнт k є сталим і залежить від форми снаряда та властивостей середовища. Шлях ВС = d снаряд проходить за час Т.

Снаряд приймаємо за матеріальну точку, опір повітря не врахо-вуємо. На ділянці ВС вагою снаряда в порівнянні з опором сере-
довища нехтуємо;

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.27 по варіантах.

Рисунок Д1.27
Таблиця Д1.27

Задача Д1.28

При очищенні буряків на цукровому заводі коренеплід М масою m рухається спочатку по похилій площині АВ = l під кутом a до горизонту, а потім в повітрі по траєкторії y(x) до точки С , рис. Д1.28. На площині коренеплід М рухається під дією сили ваги і тертя з коефіцієнтом f , має початкову швидкість V_A в точці А , в точці В швидкість V_B , час руху на шляху АВ рівний t . Від точки В до точки С коренеплід рухається час Т, в точці С має швидкість V_C , яка складає з вертикаллю кут j . Положення точки С відносно точки В визначено розмірами d і h , як показано на рис. Д1.28.
Коренеплід М вважаємо матеріальною точкою з сталою масою,
опором повітря нехтуємо.

Дані для остаточних розрахунків - в таблиці Д1.28 по варіантах.

Рисунок Д1.28

Таблиця Д1.28

Задача Д1.29

В установці для очистки зерна зернина М масою m рухається без початкової швидкості з точки Апо похилій площині з кутом aдо горизонту і коефіцієнтом тертя f , рис. Д1.29. Шлях АВ = l під дією ваги і тертя проходить за час t і в точці В має швидкість V_B. В момент, коли зернина потрапляє в точку В , на неї діє вузький потік повітря, який додає її швидкості U під кутом bдо горизонту. З результуючою швидкістю зернина починає рухатись по траєкторії y(x) до точки С. Положення точки С відносно точки В вказано розмірами d і h по горизонталі і вертикалі, відповідно. Час руху зернини на ділянці ВС рівний Т, вектор швидкості V_C утворює з вертикаллю кут j . Зернину вважати матеріальною точкою, опором повітря в залежності від швидкості знехтувати.
Дані для розрахунків - в таблиці Д1.29 по варіантах.

Рисунок Д1.29

Таблиця Д1.29

Задача Д1.30

В трубці АВ фонтана з кутом a до горизонту частинка води М масою m перебуває під дією постійних сил ваги P = mg і сили Q = kmg, яка створюється від тиску води в мережі труб. На вході трубки в точці А швидкість води дуже мала, а на виході в точці В частинка М має швидкість V_B . Час руху на АВ = l рівний t . В точці В частинка М залишає трубку і рухається по траєкторії y(x) з максимальною висотою фонтана Н до точки С за час Т , де має швидкість V_C, що направлена під кутом j до вертикалі. Різниця в положенні точок В і С вказана розмірами d і h, рис. Д1.30. Частинку води прийняти за матеріальну точку, опором течії в трубці та опором повітря знехтувати.

Дані для розрахунків - в таблиці Д1.30 по варіантах.

Рисунок Д1.30

Таблиця Д1.30

2.1 Приклад розв’язування задачі Д1

Умова задачі. Візок разом з матеріальною точкою М рухається під дією сили ваги і тертя з коефіцієнтом f = 0,2по похилій площині AD з кутом a = 15^о , рис. Д1.31. В той момент, коли точка М займе положення В на віддалі АВ = l = 2мі висоті h = 1 мнад горизонтальною площиною AD, точку Мвиштовхують з візка з швидкістю U=8м/св напрямку перпендикулярному до похилої площини. В цей момент візок з точкою Ммає швидкість V_B , що направлена по похилій плошині. Від точки В до точки Сточка М рухається по траєкторії y(x) час Т, в точці С має швидкість V_C, вектор якої складає з вертикаллю кут j. Точка С знаходиться на горизонтальній площині DC на віддалі DC = d = 5 м.

Визначити максимальну висоту H точки М над горизонтальною площиною DC , кут j для швидкості V_C, рівняння траєкторії y(x), по якій рухається точка М на ділянці ВС і початкову швидкість V_A , з якою візок починає рух по похилій площині AD.
Висотою точки Мнад поверхнею похилої площини AD знехту-

вати, опір повітря не враховувати.

Розв’язання. Проведемо аналіз сил, які діють на точку Мв поцесі руху від точки А до точки С. На похилій площині на точку М ра-зом з візком діють результуюча сила ваги Q = ( M + m)g ( M – маса візка, m – маса точки), сила реакції похилої площини N і сила тертя F_T. При русі в повітрі по траєкторії y(x) на точку діє лише сила ваги P = mg. Тому розглядаємо дві ділянки руху: АВ і ВС.
Будуємо розрахункову схему сил, які прикладені до точки М з віз-ком під час руху на ділянці АВ і показуємо її на рис. Д1.32. Складаємо диференціальне рівння руху важкої матеріальної точки масою M + m

вздовж осі Ax

, (1.1)

де ,

.

Після підстановки суми сил в рівняння загального вигляду (1.1) і спрощення отримаємо

= g ( sina - f cosa) = 9,8 ( 0,259 – 0,2 0,966 ) = 0,64 . (1.2) Інтегруємо диференціальне рівняння (1.2) два рази

V_x = = 0,64 t + C₁, V_x =

x = + = 0,32 t² + C₁t + C₂

Рисунок Д1.31

Початковими умовами для цих інтегралів є:

x = 0 і V_x = V_A при t = 0 ,

тому сталі інтегрування рівні: C₁ = V_A , C₂ = 0 .
Остаточними розв’язками диференціального рівняння (1.2) будуть функції:
V_x = 0,64 t + V_A , x = 0,32 t² + V_A t . (1.3)

Якщо в розв’язках (1.3) покласти, що x = l = 2, то V_x = V_B , а t відповідає часу руху візка з точкою М від точки А до точки В. Підставимо ці значення в функції (1.3)

V_B = 0,64 t + V_A , 2 = 0,32 t² + V_A t (1.4)

Рисунок Д1.32

Система рівнянь (1.4) не може бути розв’язана, тому що в ній три невідомих: V_A , V_B , і t .

Будуємо розрахункову схему для ділянки ВС і показуємо її на рис. Д1.33.

Рисунок Д1.33

Складаємо диференціальні рівняння руху точки М на площині xOy.

Загальний їх вигляд такий:

m = S X_k , m = S Y_k . (1.5)

На точку М діє єдина сила Р, тому суми проекцій сил на осі рівні:

S X_k = 0 , S Y_k = - mg.

Маса точки відмінна від нуля, тому диференціальні рівняння (1.5) мають вигляд:

= 0 , = - g . (1.6)

Знаходимо перші та другі інтеграли диференціальних рівнянь (1.6)

V_x = C₃ , x = C₃ t + C₄ ,

(1.7)

V_y = - g t + C₅ , y = - 0,5 g t² + C₅ t + C₆ .

Початковими умовами для диференціальних рівнянь (1.6) будуть:

V_x = V_B cosa + U sina ,

V_y = U cosa - V_B sina ,

при t = 0 , x = 0 і y = h .

Тому сталі інтегрування С₃ – С₆ мають значення:

C₃ = V_B cosa + U sina , C₄ = U cosa - V_B sina , C₅ = 0 , C₆ = h.

Підставимо знайдені сталі інтегрування в інтеграли (1.7)

V_x = V_B cosa + U sina ,

V_y = U cosa - V_B sina - g t ,
(1.8)
x = (V_B cosa + U sina) t ,

y = ( U cosa - V_B sina ) t - 0,5 g t² + h.

Функції (1.8) є кінематичними рівняннями руху точки М на ділянці ВС. Якщо точка М знаходиться в точці С, то t = T, x = OD +d , y = 0, див. рис. Д1.33. OD = h ctga . Використаємо ці умови для координат із (1.8), то отримаємо

d + h ctga = (V_B cosa + U sina) T ,

( U cosa - V_B sina ) t - 0,5 g t² + h= 0 .

Підставимо задані умовою величини

(V_B cos15^o + 8 sin15^o) T = 5 + 0,5 ctg15^o,

(1.9)

( 8 cos15^o - V_B sin15^o) T - 0,5 gT² + 1 = 0.

В системі рівнянь (1.9) виключимо Т і одержимо квадратне рівняння відносно V_B

V_B² – 51,6 V_B + 183,73 = 0. (1.10)

Звідки розв’язки: V_B1 = 47,75, V_B2 =3,85 .
Підставимо знайдені V_B1 і V_B2 в перше рівняння із системи (1.9) і знайдемо час Т , за який точка М переміститься від точки В до точ- ки С. Після обчислень знаходимо: Т₁ = 0,18, T₂ = 1,51.
Відоме V_B дозволяє розв’язати систему рівнянь (1.4), звідки знайдемо V_A. Підстановка значень V_B1 і V_B2 в систему рівнянь (1.4) дає од-нозначні результати V_A1 = 47,72 і V_A2 = 3,5.
Знайдемо траєкторію точки М на ділянці ВС. Для цього в функ-ціях координат формул (1.8) підставляємо значення V_B в двох варі-

антах V_B1 і V_B2 . При V_B = V_B1 = 47,75 отримуємо:

.
Виключимо в знайдених функціях параметр t . Тоді траєкторія буде мати вигляд

. (1.11)

При V_B = V_B2 = 3,85

.

Після виключення t одержуємо траєкторію:

. (1.12)

Рисунок Д1.34

Побудуємо траєкторії (1.11) і (1.12) в системі координат xOy і по-кажемо їх на рис. Д1.34 , де крива 1 відповідає траєкторії (1.11), а 2 - трає кторії (1.12). Обидві траєкторії є параболами. У кривої 1 екстремум знаходиться за межами ділянки траєкторії ВС, а у кривої 2 такий екстремум існує при x = 3,97. Тому серед розв’язків вадратного рівняння (1.10) вибираємо ті, що відповідають траєкторії (1.12). Таким чином : V_B =3,85м/с, T = 1,51с , V_A = 3,5 м/с.
Визначимо кут j , під яким направлена швидкість V_C в точці С. Для цього визначимо складові V_Cx і V_Cy . Якщо в формули (1.8), що від-повідають швидкостям, підставити знайдені V_B , T, то одержимо:

,

.

Кут j знайдемо із співвідношення tgj = |V_Cx / V_Cy | , де відношення швикостей беремо за модулем, тому що напрямок швидкості точки С

відносно системи координат xOy нам відомий з рис. 1.34.
tgj = 5,79 / 8,07 = 0,7174, то j = 35^o40`.
Знайдемо максимальну висоту Н точки М при її русі по трає-кторії ВС. В найвищій точці траєкторії V_y = 0 . Це буде в момент

часу t = t_m . Із формули (1.8) для V_y знаходимо:

.

Тоді з формули для y(t) із (1.8) при умові що y = H при t = t_m = =0,687 c, знаходимо :

.

Відповідь: H = 3,32 м, j = 35^o40`,
V_A = 3,5 м/с.