Электромагнитная индукция. ЭДС индукции и самоиндукции

Пусть некоторый замкнутый контур Г находится в неоднородном магнитном поле. Контур Г ограничивает поверхность S, как показано на рисунке ниже. Поток индукции F магнитного поля через поверхность S – это величина, которая определяется выражением

F = òBdScosa, (3.3.16)

где B – магнитная индукция, a – угол между вектором магнитной индукции и нормалью к площадке поверхности dS, которую магнитное поле пронизывает.

a

dS

Если поверхность S, ограниченная контуром Г, плоская и имеет, к примеру, форму круга или квадрата, то интеграл (3.3.16) по этой поверхности превращается в выражение

F = òBdScosa = BScosa, (3.3.17)

где S = pR², если поверхность – круг радиуса R,

S = а², если поверхность – квадрат со стороной а.

Закон электромагнитной индукции Фарадея: при изменении магнитного потока F через поверхность S, опирающуюся на замкнутый проводящий контур Г, в нем возникает ЭДС электромагнитной индукции:

. (3.3.18)

Поток F может изменяться вследствие следующих причин:

1. Изменяется площадь S поверхности, ограниченной контуром Г.

2. Изменяется угол a между вектором магнитной индукции и нормалью к площадке поверхности dS, которую магнитное поле пронизывает (это может происходить, когда контур вращается в магнитном поле).

3. Изменяется индукция магнитного поля .

Протекая по замкнутому проводнику, ток I создает магнитное поле и магнитный поток, пронизывающий площадь, охватываемую проводником. Величина такого магнитного потока пропорциональна величине тока в нем:

F = L×I. (3.3.19)

Здесь L – индуктивность контура.

В случае если протекающий по контуру Г ток начинает изменяться с течением времени, в этом контуре возникает ЭДС самоиндукции

, (3.3.20)

а явление носит название самоиндукции.

Знак «–» в формулах (3.3.18) и (3.3.20) означает, что при изменении магнитного потока сквозь замкнутый контур в нем возникает такая ЭДС, которая стремится уменьшить изменение потока. Это правило Ленца.

Пример 28. Квадратный проводящий контур со стороной

а = 1 см пронизывает однородное магнитное поле под углом

a = 30° к вектору нормали контура. Найти модуль ЭДС индукции в контуре в момент времени t = 2с, если А = D = 1 Тл, t = 1с,

B(t) = A(t/t) + D(t/t)⁴.

Дано: а = 1 см = 0,01 м.

a = 30°,

А = D = 1 Тл,

t = 1с,

t = 2с,

B(t) = A(t/t) + D(t/t)⁴.

Найти: ½Е_инд½.

Решение. Запишем исходные формулы для модуля ЭДС индукции (это формулы (3.3.17) и (3.3.18)):

F = òBdScosa = BScosa,

.

По условию задачи контур квадратный, его площадь будем вычислять по формуле:

S = а².

Подставим в (3.3.18) закон изменения магнитной индукции В от времени, данный в условии задачи, и продифференцируем по времени:

= [A(t/t) + D(t/t)⁴] Scosa = (А/t + 4Dt³/t⁴) Scosa =

= (А/t + 4Dt³/t⁴) a²cosa = 2,86×10^–3 В.

Ответ: 2,86×10^–3 В.

Замечание. Если в условии задачи сказано, что проводящий контур пронизывает однородное магнитное поле под углом a к плоскости контура, мы то имеем следующую картину:

b

a

Поскольку в формулах (3.3.16)–(3.3.17) угол a – это угол между нормалью к контуру и вектором магнитной индукции, то, как следует из нашего рисунка, в (3.3.16)–(3.3.17) мы должны подставлять угол b = 90° – a.

Пример 29. По проводящему контуру индуктивностью

L = 1 Гн течет ток, изменяющийся со временем по закону

I(t) = B(t/t)². Найти момент времени, в который величина ЭДС самоиндукции в контуре составляет 2 В, если В = 1А, t = 1с.

Дано: I(t) = B(t/t)²,

Е_{самоинд} = 2 В,

В = 1А,

t = 1с,

L =1 Гн,

Найти: t.

Решение. Время t выразим из (3.3.20):

.

Поскольку в условии задачи речь идет о модуле ЭДС самоиндукции, то знак «–» в (3.3.20) сменится на обратный. Подставим в (3.3.20) закон изменения силы тока, данный в условии задачи и продифференцируем по времени:

[L(B(t/t)²)] = 2LBt/t²,

откуда выразим время t:

t = (½Е_{самоинд}½t²)/(2LB) =1 с.

Ответ: 1 с.

Электрические колебания

Если колебательный контур состоит из последовательно соединенных конденсатора и катушки индуктивности с нулевым омическим сопротивлением, то колебания в таком контуре будут незатухающими (собственными). Уравнение собственных гармонических незатухающих колебаний:

q = q₀cos(w₀t + a₀), (3.3.21)

где q₀ – амплитудное значение заряда на конденсаторе, w₀ – циклическая частота собственных незатухающих колебаний, a₀ – начальная фаза колебаний.

Собственная частота незатухающих колебаний w₀ определяется выражением

w₀ = , (3.3.22)

где L – индуктивность катушки индуктивности, С – емкость конденсатора.

Если колебательный контур состоит из последовательно соединенных резистора (омического сопротивления) с сопротивлением R, конденсатора емкостью С и катушки индуктивности с индуктивностью L, то колебания в таком контуре будут затухающими, а уравнение затухающих колебаний будет выглядеть так:

q = q₀exp(–bt)cos(wt + a₀). (3.3.23)

Здесь w – циклическая частота собственных затухающих колебаний, определяемая выражением

w = , (3.3.24)

b – коэффициент затухания, причем

b = . (3.3.25)

Импедансом Z называется полное сопротивление цепи, которая содержит омическое сопротивление (оно еще называется активным), катушку индуктивности и конденсатор:

Z = . (3.3.26)

Период колебаний в контуре, если в нем совершаются собственные незатухающие колебания, определяется выражением

Т = 1/n = 2p/w₀. (3.3.27)

Для случая собственных затухающих колебаний период колебания следует вычислять по формуле

Т = 2p/w, (3.3.28)

где частота w определяется выражением (3.3.24).

Пример 30. Определить коэффициент затухания и емкость колебательного контура аппарата УВЧ, если активное сопротивление R = 4,3×10³ Ом, индуктивность катушки L = 65мкГн, а частота электрических колебаний в контуре составляет n = 20 МГц.

Дано: R = 4,3×10³ Ом,

L = 65мкГн = 65×10^–6 Гн,

n = 20 МГц = 20×10⁶ Гц.

Найти: b, С.

Решение. Поскольку в колебательном контуре имеется омическое сопротивление, то колебания будут затухать. Запишем исходные формулы для решения задачи. Для нахождения коэффициента затухания воспользуемся формулой (3.3.25):

b = ,

подставим в нее числовые данные: b = = 33×10⁶ с^–1.

Емкость конденсатора найдем с помощью выражений (3.3.22) и (3.3.24):

w₀ = , w = .

Собственная частота затухающих колебаний w нам неизвестна, но мы знаем, как связаны между собой частота n и циклическая частота:

w =2pn, (3.3.29)

поэтому

2pn = w = .

Выразим из (3.3.24) частоту w₀, а затем и емкость конденсатора:

w₀ = = , откуда С = = 3×10^–12 Ф.

Ответ: 33×10⁶ с^–1; 3×10^–12 Ф.

Пример 31.Колебательный контур состоит из двух конденсаторов, соединенных последовательно, емкостью 10000 пФ каждый и соленоида. Определить индуктивность катушки, если контур резонирует на частоту волны 300 кГц.

Дано: w_р = 300 кГц = 300000Гц,

С₁ = С₂ = С = 10000 пФ = 10^–8 Ф.

Найти: L.

Решение. Резонансная частота определяется формулой (3.3.22):

w_р = ,

откуда легко выразить искомую в задаче индуктивность катушки:

L = 1/(C_общw_р²).

Здесь C_общ – общая емкость батареи из двух последовательно соединенный конденсаторов, которую находим из формулы (2.3.34):

1/C_общ = 1/С₁ + 1/С₂ , откуда C_общ = С₁С₂/(С₁ + С₂) = С/2 = 5×10^–9 Ф.

Тогда для индуктивности имеем:

L = 1/(C_общw_р) = 2/(Cw_р²) = 2,2×10^–3 Гн.

Ответ: 5×10^–9 Ф; 2,2×10^–3 Гн.

Медицинская электроника

Для медицинской аппаратуры проблема надежности особенно актуальна, так как выход приборов и аппаратов из строя может привести не только к экономическим потерям, но и гибели пациентов.

Надежность – это способность изделия не отказывать в работе в заданных условиях эксплуатации и сохранять свою работоспособность в течение данного интервала времени.

Надежность имеет вероятностный характер.

Вероятность безотказной работы оценивается экспериментально отношением числа N исправных на данный момент t изделий к общему числу N₀ изделий, взятых для испытаний:

Р(t) = N(t)/N₀. (3.3.20)