Приклади розв’язання задач. Приклад 1 По відрізку прямого дроту довжиною l = =80 см проходить струм силою I = 50 А
Приклад 1 По відрізку прямого дроту довжиною l = =80 см проходить струм силою I = 50 А. Визначити магнітну індукцію В поля, що створюється цим струмом, в точці А, яка рівновіддалена від кінців відрізка дроту і знаходиться на відстані r0 = 30 см від його середини (рис.40).
Розв’язання. Для розв’язання задачі скористаємося законом Біо-Савара-Лапласа і принципом суперпозиції магнітних полів. Закон Біо-Савара-Лапласа дозволяє визначити магнітну індукцію dB, що створюється елементом струму Idl. Зазначимо, що вектор 
в точці А напрямлений за площину
| |
Рисунок 40 - Магнітна індукція, що створюється відрізком прямого дроту зі струмом
креслення. Принцип суперпозиції дозволяє для визначення В скористатися геометричним складанням (інтегруванням):
, (1)
де символ l означає, що інтегрування проводиться по всій довжині дроту.
Запишемо закон Біо-Савара-Лапласа у векторній формі
,
де 
- магнітна індукція, що створюється елементом дроту довжиною dl із струмом I у точці, визначеній радіусом-вектором 
; 
- магнітна стала; 
– магнітна проникність середовища, в якому знаходиться дріт (в нашому випадку = 1, оскільки середовище - повітря). Помітимо, що вектори dB від різних елементів струму співнапрямлені (рис. 40), тому вираз (1) можна переписати в скалярній формі:
, (2)
де
.
В скалярній формі закону Біо-Савара-Лапласа кут 
- це кут між елементом струму 
і радіусом - вектором . Таким чином:
. (3)
Перетворимо підінтегральний вираз так, щоб в ньому була тільки одна змінна - кут . Для цього виразимо довжину елемента дроту dl через кут 
: 
(рис.40). Врахуємо також, що
.
Тоді вираз (3) можна переписати у вигляді
де 
і 
- межі інтегрування. Виконаємо інтегрування:
. (4)
Помітимо, що при симетричному розташуванні точки А відносно відрізка дроту 
. З урахуванням цього формула (4) набуде вигляду
. (5)
З рис.40 видно, що
.
Підставивши цей вираз у співвідношення (4), знайдемо
.
Після підстановки у вираз числових значень фізичних величин отримаємо
=26,7 10-6 Тл.
Напрямок вектора магнітної індукції поля, що створене прямим струмом, можна визначити за правилом свердлика (правилом правого гвинта).
Перевіримо розмірність отриманої величини (Тл):
= 
= 
= 
= 
.
Тут ми скористалися визначенням магнітної індукції
Тоді 1Тл= 
.
Відповідь 
=26,7×10-6 Тл.
Приклад 2 По тонкому провідному кільцю радіусом R= 10 см проходить струм I = 80 А. Знайти магнітну індукцію В в точці А, рівновіддаленій від усіх точок кільця на відстань r =20 см.
Розв’язання. Для розв’язання задачі скористаємося законом Біо-Савара-Лапласа:
, (6)
де - магнітна індукція поля, створеного елементом струму в точці, що визначена радіусом-вектором .
Виділимо на кільці елемент dl і від нього в точку А проведемо радіус-вектор (рис.41). Вектор направимо відповідно до правила свердлика перпендикулярно до вектора .
Рисунок 41 – Магнітна індукція, що створюється кільцем в точці А
Згідно з принципом суперпозиції магнітних полів магнітна індукція 
в точці А визначається інтегруванням
де інтегрування проводиться по всіх елементах dl кільця.
Розкладемо вектор на дві складові: 
, перпендикулярну до площини кільця, і 
, паралельну площині кільця, тобто
,
тоді
З міркувань симетрії легко помітити, що 
. Одночасно вектори від різних елементів 
співнапрямлені, в результаті векторне додавання (інтегрування) можна замінити скалярним
,
де 
, а 
(оскільки елемент 
перпендикулярний , 
). Таким чином:
. (7)
У цьому співвідношенні врахуємо, що 
та проведемо скорочення
. (8)
Виразимо всі фізичні величини у (8) в одиницях СІ і проведемо обчислення
=6,28×10-5 Тл.
Вектор напрямлений по осі кільця (пунктирна стрілка на рис.41) відповідно до правила свердлика.
Перевіримо розмірність отриманої величини (Тл):
= 
= = = .
Відповідь: =6,28×10-5 Тл.
Приклад 3 Два нескінченно довгих дроти схрещені під прямим кутом (рис.42). По дротах проходять струми 
= 80 А і 
= 60 А. Відстань між дротами дорівнює d =10 см. Визначити магнітну індукцію в точці А, однаково віддаленій від обох дротів.
| |
Рисунок 42 – Магнітна індукція, що створена двома схрещеними дротами
Розв’язання. Відповідно до принципу суперпозиції магнітних полів магнітна індукція поля, створеного струмами і в точці А, визначається векторною сумою полів, створених кожним струмом окремо 
.
Помітимо, що вектори 
і 
взаємно перпендикулярні (їх напрями знаходяться за правилом свердлика і зображені в двох проекціях на рис.42). Тоді модуль вектора можна визначити за теоремою Піфагора:
, (9)
де і визначаються за формулами розрахунку магнітної індукції для нескінченно довгого прямолінійного дроту із струмом:
і 
(10)
У нашому випадку 
. Тоді, підставивши співвідношення (10) у (9), одержимо
. (11)
Проведемо обчислення:
= 
Тл.
Перевіримо розмірність отриманої величини (Тл):
= 
= = = .
Відповідь: = Тл.
Приклад 4 Стрижень довжиною 
заряджений рівномірно розподіленим зарядом з лінійною густиною 
. Стрижень обертається з частотою 
с-1 відносно осі, що перпендикулярна до нього і проходить через його кінець (рис. 43). Визначити магнітний момент 
,обумовлений обертанням стрижня.
 |
Рисунок 43 – Стрижень з розподіленим зарядом, що обертається навколо осі ОО`
Розв’язання.Виділимо на стрижні елемент довжиною (рис.43), на даному елементі знаходиться заряд 
. При обертанні стрижня відносно осі ОО` цей заряд обумовлює струм
, (12)
де 
- період обертання стрижня; 
- частота обертання.
Магнітний момент, що створюється струмом 
,за визначенням дорівнює
, (13)
де площу контуру S можна знайти із співвідношення
. (14)
Підставимо співвідношення (12) і (14) в (13), тоді знайдемо
.
Проінтегруємо даний вираз за довжиною стрижня 
. (15)
Підставивши числові значення фізичних величин у співвідношення (15), отримаємо відповідь
Перевіримо розмірність отриманої величини ( 
):
= 
Відповідь: 
.
Приклад 5 Диск радіусом 
несе рівномірно розподілений по поверхні заряд 
(рис.44). Визначити магнітний момент , обумовлений обертанням диска відносно осі, що проходить через його центр і перпендикулярна до площини диска. Кутова швидкість обертання диска 
.
Рисунок 44 – Диск з розподіленим зарядом, що обертається навколо осі ОО`
Розв’язання.Для знаходження магнітного моменту диска зобразимо його у вигляді сукупності тонких кілець шириною 
(рис. 44).
Виділимо на диску елемент площі 
із зарядом 
. (16)
При обертанні диска відбувається переміщення електричних зарядів. Сила струму, що відповідає даному руху, визначається співвідношенням
. (17)
З урахуванням рівняння (16) отримаємо
. (18)
Магнітний момент даного струму визначається співвідношенням
, (19)
де площа контуру дорівнює 
.
Після підстановки виразів (17) і (18) в (19) та урахування того, що за визначенням 
, отримаємо
. (20)
Повний магнітний момент диска буде дорівнювати сумі (інтегралу) векторів 
. Оскільки ці вектори мають однаковий напрям, векторну суму можна замінити скалярною. Після інтегрування (20) одержимо
(21)
Підставивши числові значень фізичних величин, знайдемо відповідь
.
Перевіримо розмірність отриманої величини ( ):
= 
.
Відповідь: 
.
Приклад 6Квадратна дротяна рамка із стороною а = =5 см і опором R= 10 мОм знаходиться в однорідному магнітному полі (В = 40 мТл). Нормаль до площини рамки складає кут 
з лініями магнітної індукції. Визначити заряд Q, який пройде по рамці, якщо магнітне поле вимкнути.
Розв’язання. При відключенні магнітного поля відбудеться зміна магнітного потоку, що пронизує рамку. Внаслідок цього в рамці виникне ЕРС індукції, яку можна визначити, скориставшись основним законом електромагнітної індукції
. (22)
ЕРС індукції, що виникла, викличе в рамці індукційний струм, миттєве значення якого можна визначити, скориставшись законом Ома для повного кола
, (23)
де R - опір рамки.
Тоді, прирівнявши співвідношення (22) та (23), одержимо
.
Оскільки миттєве значення сили індукційного струму 
, той цей вираз можна переписати у вигляді
,
звідси
. (24)
Проінтегрувавши співвідношення (24), знайдемо
,
або
.
З урахуванням того, що при вимкненому полі (кінцевий стан) 
, остання рівність перепишеться у вигляді
. (25)
Знайдемо магнітний потік 
. За визначенням магнітного потоку маємо
,
де 
- площа рамки.
В нашому випадку (рамка є квадратом) 
.
Тоді
. (26)
Підставивши співвідношення (26) в (25), отримаємо
.
Проведемо обчислення
= 8,67×10-3 Кл.
Переконаємося в тому, що права частина цієї рівності дає одиницю заряду (Кл)
.
Відповідь: 
8,67×мКл.
Приклад 7 Тонкий мідний дріт масою 
зігнутий у вигляді квадрата, кінці якого замкнені. Квадрат розміщений у однорідному магнітному полі 
так, що його площина перпендикулярна до ліній поля. Визначити заряд DQ, який пройде по провіднику, якщо квадрат, потягнувши його за протилежні вершини, витягнути у лінію.
Розв’язання.Заряд, що проходить через контур внаслідок зміни його форми, визначається виразом
, (27)
де 
– зміна магнітного потоку, що пронизує контур; 
– опір дроту, з якого виготовлений контур.
Зміна магнітного потоку дорівнює
,
де 
- магнітні потоки, що пронизують контур до і після його деформації.
Магнітний потік, що пронизує контур в початковий момент, знайдемо із співвідношення
, (28)
де 
- кут між нормаллю до рамки і напрямком вектора магнітної індукції; - площа контуру.
Підставивши вираз (28) в (27), отримаємо
. (29)
Площа контуру дорівнює 
.
Опір контуру знайдемо із співвідношення
, (30)
де 
- питомий опір міді; 
– площа перерізу дроту, 
– довжина дроту.
За умовою задачі
. (31)
Підставивши співвідношення (30) і (31) в (29), отримаємо
. (32)
Площу поперечного перерізу дроту знайдемо із виразу 
, де 
– густина міді ( 
). Врахуємо, що 
, звідси
. (33)
Підставивши вираз (33) в (32), отримаємо
. (34)
Після підставлення числових значень величин у співвідношення (34) отримаємо остаточну відповідь
.
Перевіримо розмірність отриманої величини ( 
):
.
Відповідь: 
.
Приклад 8 Плоский квадратний контур (рис.45) із стороною а = 10 см, по якому тече струм I=100 А, вільно встановився в однорідному магнітному полі (В = 1 Тл). Визначити роботу А, що здійснюється зовнішніми силами при повороті контуру відносно осі, що проходить через середину його протилежних сторін, на кут 
. При повороті контуру сила струму, що підтримується в ньому, є незмінною.
| |
Рисунок 45 – Плоский контур у магнітному полі
Розв’язання. Як відомо, на контур із струмом у магнітному полі діє момент сили (рис.45)
, (35)
де 
- магнітний момент контуру; В - магнітна індукція; 
- кут між векторами 
(який направлений по нормалі до контуру) і .
За умовою задачі в початковому положенні контур вільно встановився в магнітному полі. При цьому момент сили дорівнює нулю (M= 0), а, отже, = 0, тобто вектори і співнапрямлені. Якщо зовнішні сили виведуть контур з положення рівноваги, то момент сил, що виникне (див. рис.45), прагнутиме повернути контур у початкове положення. Проти цього моменту і здійснюється робота зовнішніми силами. Оскільки момент сил є змінним (залежить від кута повороту ), то для розрахунку роботи застосуємо формулу роботи в диференціальній формі 
. Враховуючи співвідношення (35), одержимо
. (36)
Взявши інтеграл від виразу (36), знайдемо роботу при повороті рамки на кінцевий кут:
. (37)
Робота при повороті на кут дорівнює
. (38)
Виразимо числові значення величин в одиницях СІ і підставимо в (38):
= 1 Дж.
Перевіримо розмірність отриманої величини ( 
):
.
Відповідь: 
1 Дж.
Приклад 9 Соленоїд має 
витків. Переріз його сердечника із немагнітного матеріалу становить 
10 см2. По обмотці проходить струм, який створює поле з індукцією 
8 мТл. Визначити середнє значення ЕРС 
самоіндукції, яка виникає на затискачах соленоїда, якщо сила струму зменшується практично до нуля за час 
0,8 мс.
Розв’язання.ЕРС індукції визначається законом електромагнітної індукції
, (39)
де 
- потокозчеплення.
Магнітний потік, що створюється соленоїдом, дорівнює
, (40)
де - кут між нормаллю до площини витків та вектором магнітної індукції. За умовою задачі 
, 
.
Потокозчеплення соленоїда визначається виразом
. (41)
Підставивши співвідношення (40) в (41), отримаємо
. (42)
Оскільки 
0, то 
.
З урахуванням даного виразу (39) набуде вигляду
. (43)
Підставивши числові значення фізичних величин у вираз (43), отримаємо
.
Переконаємося в тому, що права частина цієї рівності дає одиницю напруги (В)
.
Відповідь: 
.
Приклад 10 Протон, що пройшов прискорювальну різницю потенціалів U = 600 В, влетів в однорідне магнітне поле з індукцією В = 0,3 Тл і почав рухатися по колу (рис. 46). Обчислити радіус R кола.
Рисунок 46 - Рух зарядженої частинки у магнітному полі
Розв’язання. Рух зарядженої частинки в однорідному магнітному полі буде відбуватися по колу (рис. 46) тільки у тому випадку, коли частинка влетить в магнітне поле перпендикулярно до ліній магнітної індукції, 
.
Оскільки сила Лоренца перпендикулярна до вектора 
, то вона надасть частинці (протону) нормального прискорення 
. Згідно з другим законом Ньютона
, (44)
де m - маса протона.
На рис.46 траєкторія протона суміщена з площиною креслення і вказаний (довільно) напрям вектора . Силу Лоренца спрямуємо перпендикулярно до вектора до центра кола (вектори 
і 
співнапрямлені). Використовуючи правило лівої руки, визначимо напрям магнітних силових ліній (напрям вектора ).
Перепишемо вираз (44) у скалярній формі (в проекції на напрямок радіуса):
(45)
Модуль сили Лоренца дорівнює 
. У нашому випадку і , тоді 
. Оскільки нормальне прискорення 
, то співвідношення (45) набуде вигляду
.
Звідси знайдемо радіус кола:
. (46)
Помітивши, що 
, де 
- імпульс протона, цей вираз можна записати у вигляді
. (47)
Імпульс протона знайдемо, скориставшись зв’язком між роботою сил електричного поля і зміною кінетичної енергії протона, тобто 
, або
,
де 
- прискорювальна різниця потенціалів (або прискорювальна напруга U); 
- початкова і кінцева кінетичні енергії протона.
Нехтуючи початковою кінетичною енергією протона 
і виразивши кінетичну енергію 
через імпульс р, отримаємо
.
Знайдемо з цього співвідношення імпульс 
і підставимо його у формулу (46):
або
. (48)
Підставивши у цей вираз числові значення фізичних величин, проведемо обчислення :
= 11,8 мм.
Переконаємося в тому, що права частина рівності дає одиницю довжини (м) :
= 
.
Відповідь: = 11,8 10-3 м.
Приклад 11 Електрон рухається в однорідному магнітному полі (B= 10мТл) по гвинтовій лінії, радіус якої дорівнює R =1 см і крок h = 6 см (рис.47). Визначити період Т обертання електрона і його швидкість 
.
Рисунок 47 – Рух зарядженої частинки у магнітному полі
Розв’язання. Електрон рухатиметься по гвинтовій лінії, якщо він влітає в однорідне магнітне поле під деяким кутом ( 
) до ліній магнітної індукції. Розкладемо, як це показано на рис.47, швидкість електрона на дві складові: паралельну вектору 
( 
) і перпендикулярну йому ( 
). Швидкість в магнітному полі не змінюється і забезпечує переміщення електрона вздовж силової лінії. Швидкість в результаті дії сили Лоренца буде змінюватися тільки за напрямом ( 
) (за відсутності паралельної складової ( = 0) рух електрона відбувався б по колу в площині, перпендикулярній до магнітних силових ліній). Таким чином, електрон братиме участь одночасно в двох рухах: рівномірному переміщенні із швидкістю і рівномірному русі по колу із швидкістю .
Період обертання електрона пов’язаний з перпендикулярною складовою швидкості співвідношенням
. (49)
Знайдемо . Для цього скористаємося тим, що сила Лоренца надає електрону нормального прискорення 
. Згідно з другим законом Ньютона можна написати
або
, (50)
де 
.
З цього співвідношення знайдемо та підставимо у (49), після простих перетворень отримаємо
. (51)
Модуль швидкості , як це показано на рис.47, можна виразити через 
:
.
Із співвідношення (50) виразимо перпендикулярну складову швидкості:
..
Паралельну складову швидкості 
знайдемо з наступних міркувань. За час, що дорівнює періоду обертання Т, електрон пройде вздовж силової лінії відстань, що дорівнює кроку гвинтової лінії, тобто 
, звідки
.
Підставивши замість Т праву частину співвідношення (49), отримаємо
.
Таким чином, модуль швидкості електрона дорівнює
. (52)
Проведемо обчислення періоду обертання та швидкості електрона:
= 3,57 нс.
.
Переконаємося в тому, що права частина рівності (51) дає одиницю часу (с), а співвідношення (52) - одиницю швидкості (м/с).
.
Оскільки R і h мають однакову одиницю вимірювання - метр (м), у квадратних дужках ми поставимо тільки одну з величин (наприклад, R):
Відповідь: 
3,57 10-9 с, 
.
Приклад 12 Альфа-частинка пройшла прискорювальну різницю потенціалів U = 104 В і влетіла в схрещені під прямим кутом електричне (E=10 кВ/м) і магнітне (В = 0,1 Тл) поля. Знайти відношення заряду альфа-частинки до її маси, якщо, рухаючись перпендикулярно до обох полів, частинка не відхиляється від прямолінійної траєкторії (рис.48).
| |
Рисунок 48 – Рух зарядженої частинки у схрещених магнітному та електричному полях
Розв’язання. Для того щоб знайти відношення заряду Q альфа-частинки до її маси m, скористаємося зв’язком між роботою сил електричного поля і зміною кінетичної енергії частинки:
.
Звідки
. (53)
Швидкість альфа-частинки знайдемо з наступних міркувань. У схрещених електричному і магнітному полях на заряджену частинку, що рухається, діють дві сили:
а) сила Лоренца 
, спрямована перпендикулярно до швидкості і вектора магнітної індукції ;
б) кулонівська сила 
, співнапрямлена з вектором напруженості 
електростатичного поля (Q>0).
На рис.48 спрямуємо вектор магнітної індукції вздовж осі Oz, швидкість - в позитивному напрямі осі Ох, тоді 
і 
будуть спрямовані так, як показано на рисунку.
Альфа-частинка буде рухатися прямолінійно, якщо геометрична сума сил = буде дорівнювати нулю. В проекції на вісь Оу отримаємо таку рівність (при цьому враховано, що і ):
.
Звідки
. (54)
Підставивши цей вираз у формулу (53), отримаємо
. (55)
Проведемо обчислення:
мКл/кг.
Переконаємося в тому, що права частина рівності дає одиницю питомого заряду (Кл/кг) :
Відповідь: 
мКл/кг.
Приклад 13 Частинка масою m = 0,01 кг здійснює гармонічні коливання з періодом T = 2 с. Повна енергія частинки, що коливається, становить E = 0,1 мДж. Визначити амплітуду А коливань і найбільше значення сили 
що діє на частинку.
Розв’язання. Для визначення амплітуди коливань скористаємося виразом повної енергії частинки:
де 
Звідси амплітуда
. (56)
Оскільки частинка здійснює гармонічні коливання, то сила, що діє на неї, є квазіпружною і, отже, може бути виражена співвідношенням F=-kx, де k - коефіцієнт квазіпружної сили; x - зміщення точки, що коливається. Максимальною сила буде при максимальному зміщенні 
, що дорівнює амплітуді:
. (57)
Коефіцієнт k виразимо через період коливань:
(58)
Підставивши вирази (56) і (58) в (57) і провівши спрощення, отримаємо
Проведемо обчислення:
мм,
Відповідь: 
Приклад 14 Складаються два коливання однакового напрямку, що описуються рівняннями 
де 
= 3 cм 
= 2 см 
= 1/6 с 
= 1/3 с, Т=2 с. Побудувати векторну діаграму складання цих коливань і написати рівняння результуючого коливання.
Розв’язання. Для побудови векторної діаграми складання двох коливань одного напрямку треба зафіксувати який-небудь момент часу. Як правило, векторну діаграму будують для моменту часу t = 0. Перетворивши обидва рівняння до канонічної форми 
, отримаємо
(59)
Звідси бачимо, що обидва гармонічні коливання, які складаються, мають однакову циклічну частоту 
.