Проекція сили на вісь Х :
Модуль сили опору середовища пропорційний модулю швидкості точки:
.
Якщо , то , тобто коефіцієнт пропорційності за числовим значенням рівний силі опору при швидкості точки, дорівнює одиниці.
Сила опору спрямована завжди протилежно швидкості точки :
.
Проекція сили та швидкості на вісь Х мають протилежні знаки:
.
Складаємо диференціальне рівняння руху матеріальної точки під дією сил та :
; ,
або
.
Вводимо позначення:
, .
.
Це рівняння є диференціальним рівнянням руху матеріальної точки під дією відновлюючої сили та сили опору, пропорційної швидкості точки.
Рішення цього диференціального рівняння знаходимо у вигляді:
.
Тоді:
, .
Підставимо значення , , та в останнє рівняння:
.
Отже, характеристичне рівняння має вигляд:
.
Корені цього рівнняня:
.
Величина є частотою вільних коливань даної точки.
Коефіцієнт характеризує опір середовища. З виразу для коренів характеристичного рівняння видно, що ці корені є дійсними при та комплексними при , випадок називається випадком великого опору, випадок - випадок малого опору.
6.1.1. Випадок малого опору ( ).
Розглянемо випадок коливань матеріальної точки, який виникає при , тобто коли опір малий в порівнянні з відновлюючою силою.
В цьому випадку корені характеристичного рівняння можно записати в наступному вигляді:
; ; ,
.
Тоді:
; .
Введемо позначення:
.
Отримаємо:
; ,
тобто корені характеристичного рівняння є комплексними. Тоді загальне рішення рівняння буде відрізнятися від рішення попереднього рівняння тільки множником , оскільки
,
.
Отже,
,
або
.
Величини та , що входять до даного рівняння, є сталими інтегрування і визначаються за початковим умовами.
Рух, що визначається цім рівнянням має коливальний характер, оскільки координата х періодично змінює свій знак при зміні знака, що входить в рівняння синуса. Множник вказує на те, що амплітуда коливань на протязі часу зменшується. Коливання цього виду називаються затухаючими. Графік затухаючих коливань показано на рисунку 6.1.1.а.
| Оскільки , тоді абсолютна величина координати х задовільнює умові: . | |||
Рисунок 6. 1.1.а. Затухаючі коливання точки у випадку малого опору.. |
Отже, графік затухаючих коливань міститься між двома симетричними відносно осі абсцис кривими, що мають рівняння:
і .
Проміжок часу T, рівний періоду
,
називається періодом затухаючих коливань. За період точка виконує одне повне коливання.
Цю формулу можна записати в наступному вигляді:
,
де - період вільних коливань цієї ж точки.
З формули видно, що , тобто в присутності опору період коливань трохи зростає. Але, коли опір малий ( ), то величиною в порівняні з одиницею можна знехтувати та вважати .
Отже малий опір на період коливань практично не впливає.
Амплітудою затухаючих коливань називається найбільші відхилення точки в ту чи іншу сторону від положення спокою на протязі кожного коливання.
З наступно-послідовних значень перемінної амплітуди можна скласти ряд , як наведено на рисунку 6.1.1.б.
| Визначимо відношення послідовних членів ряду та , що відповідають моментам часу . | |||
Рисунок 6. 1.1.б. Затухаючі коливання точки у випадку малого опору. |
Оскільки відношення стале за величиною і менше одиниці, то послідовні значення амплітуди складають убуваючу геометричну прогресію з знаменником .
Він називається декрементом коливань.
Натуральний логарифм декремента:
,
який називається логарифмічним декрементом.
.
Коефіцієнт b називають коефіцієнтом затухання.
Затухання коливань відбувається дуже швидко навіть при малому опорі. Так, наприклад, при b = 0,05k
; ,
тобто період затухаючих коливань відрізняється від періоду вільних коливань Т лише на 0,125%, а амплітуда коливань за час одного повного коливання зменшується на 27%, і після 10 повних коливань складає 4,3% свого початкового значення.
Таким чином, основний впглив опору на вільні коливання матеріальної точки виражається в зменшенні амплітуди коливань на протязі деякого часу, тобто в затуханні коливань.
6.1.2. Граничний випадок (b=k).
При b = k корені характеристичного рівняння будуть дійсними і кратними:
.
Загальне рішення рівнянь в цьому випадку має вигляд:
.
Для визначення сталих та отримаємо рівняння, що визначає швидкість точки:
.
Початкові умови приведемо в вигляді:
при , , .
Тоді, підставляючи початкові умови в отримані рівняння, будемо мати:
; , ; . Знаючи значення та приведемо рівняння до наступного вигляду: . | |
Рисунок 6. 1.2. Затухаючі коливання точки у гранічному випадку. |
Рух точки, що визначається цім рівнянням називається аперіодичним, як наведено на рисунку 6.1.2.
6.1.3. Випадок великого опору (b>k).
Наприкінці розглянемо випадок, коли b>k, тобто, коли опір в порівнянні з відновлюючою силою значний. Позначимо:
.
Тоді корені характеризуючого рівняння:
,
та дорівнюють , тобто, обидва дійсні та від'ємні, тому що .
Отже, рішення рівняння , що описує закон руху точки, має при b>k вигляд:
.
Оскільки функція , де , з часом монотонно убуває, наближаючись до нуля, то рух точки в цьому випадку не буде коливальним і вона під дією відновлюючої сили буде поступово наближатися до положення рівноваги . В залежності від початкових умов матеріальна точка може виконувати один з рухів, графіки яких показані на рисунку 6.1.3.
Ці графіки відповідають початковому відхиленню точки від положення спокою на величину .
На рис. 6.1.3.а показано графік руху точки з початковою швидкістю , що має напрям, який співпадає з напрямком осі Х.
| Дякуючи цій швидкості, точка спочатку віддаляється від положення спокою, а потім під дією відновлюючої сили поступово наближається до цього положення. Графіки (рисунки 6.1.3.б, та 6.1.3.в) відповідають руху точки з початковою швидкістю , спрямованою протилежно напрямку осі Х,Y випадку достатньо великої швидкості точка може виконати один перехід через положення спокою, а потім у зворотньому русі наближатись до цього положення (рисунок 6.1.3.б). | |||
Рисунок 6. 1.2. Затухаючі коливання точки у випадку великого опору. |
ЛЕКЦІЯ 7
Теорія коливань.
План.
7.1. Вимушені коливання точки без урахування опору.
7.1.1. Фаза вимушених коливань.
7.1.2. Амплітуда вимушених коливань.
7.1.3. Явище резонансу.