Проекція сили на вісь Х :

Модуль сили опору середовища Проекція сили на вісь Х : - student2.ru пропорційний модулю швидкості точки:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Якщо Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , то Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , тобто коефіцієнт пропорційності Проекція сили на вісь Х : - student2.ru за числовим значенням рівний силі опору при швидкості точки, дорівнює одиниці.

Сила опору Проекція сили на вісь Х : - student2.ru спрямована завжди протилежно швидкості точки Проекція сили на вісь Х : - student2.ru :

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Проекція сили Проекція сили на вісь Х : - student2.ru та швидкості Проекція сили на вісь Х : - student2.ru на вісь Х мають протилежні знаки:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Складаємо диференціальне рівняння руху матеріальної точки під дією сил Проекція сили на вісь Х : - student2.ru та Проекція сили на вісь Х : - student2.ru :

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ; Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ,

або

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Вводимо позначення:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Це рівняння є диференціальним рівнянням руху матеріальної точки під дією відновлюючої сили та сили опору, пропорційної швидкості точки.

Рішення цього диференціального рівняння знаходимо у вигляді:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Тоді:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Підставимо значення Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , та Проекція сили на вісь Х : - student2.ru в останнє рівняння:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Отже, характеристичне рівняння має вигляд:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Корені цього рівнняня:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Величина Проекція сили на вісь Х : - student2.ru є частотою вільних коливань даної точки.

Коефіцієнт Проекція сили на вісь Х : - student2.ru характеризує опір середовища. З виразу для коренів характеристичного рівняння видно, що ці корені є дійсними при Проекція сили на вісь Х : - student2.ru та комплексними при Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , випадок Проекція сили на вісь Х : - student2.ru називається випадком великого опору, випадок Проекція сили на вісь Х : - student2.ru - випадок малого опору.

6.1.1. Випадок малого опору ( Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ).

Розглянемо випадок коливань матеріальної точки, який виникає при Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , тобто коли опір малий в порівнянні з відновлюючою силою.

В цьому випадку корені характеристичного рівняння можно записати в наступному вигляді:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ; Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ; Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ,

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Тоді:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ; Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Введемо позначення:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Отримаємо:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ; Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ,

тобто корені характеристичного рівняння є комплексними. Тоді загальне рішення рівняння буде відрізнятися від рішення попереднього рівняння тільки множником Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , оскільки

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ,

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Отже,

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ,

або

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Величини Проекція сили на вісь Х : - student2.ru та Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , що входять до даного рівняння, є сталими інтегрування і визначаються за початковим умовами.

Рух, що визначається цім рівнянням має коливальний характер, оскільки координата х періодично змінює свій знак при зміні знака, що входить в рівняння синуса. Множник Проекція сили на вісь Х : - student2.ru вказує на те, що амплітуда коливань на протязі часу зменшується. Коливання цього виду називаються затухаючими. Графік затухаючих коливань показано на рисунку 6.1.1.а.

 
  Проекція сили на вісь Х : - student2.ru

Оскільки Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , тоді абсолютна величина координати х задовільнює умові: Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .
Рисунок 6. 1.1.а. Затухаючі коливання точки у випадку малого опору..

Отже, графік затухаючих коливань міститься між двома симетричними відносно осі абсцис кривими, що мають рівняння:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru і Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Проміжок часу T, рівний періоду Проекція сили на вісь Х : - student2.ru

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ,

називається періодом затухаючих коливань. За період точка виконує одне повне коливання.

Цю формулу можна записати в наступному вигляді:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ,

де Проекція сили на вісь Х : - student2.ru - період вільних коливань цієї ж точки.

З формули видно, що Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , тобто в присутності опору період коливань трохи зростає. Але, коли опір малий ( Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ), то величиною Проекція сили на вісь Х : - student2.ru в порівняні з одиницею можна знехтувати та вважати Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Отже малий опір на період коливань практично не впливає.

Амплітудою затухаючих коливань називається найбільші відхилення точки в ту чи іншу сторону від положення спокою на протязі кожного коливання.

З наступно-послідовних значень перемінної амплітуди можна скласти ряд Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , як наведено на рисунку 6.1.1.б.

 
  Проекція сили на вісь Х : - student2.ru

Визначимо відношення послідовних членів ряду Проекція сили на вісь Х : - student2.ru та Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , що відповідають моментам часу Проекція сили на вісь Х : - student2.ru Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .
Рисунок 6. 1.1.б. Затухаючі коливання точки у випадку малого опору.

Оскільки відношення Проекція сили на вісь Х : - student2.ru стале за величиною і менше одиниці, то послідовні значення амплітуди складають убуваючу геометричну прогресію з знаменником Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Він називається декрементом коливань.

Натуральний логарифм декремента:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ,

який називається логарифмічним декрементом.

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Коефіцієнт b називають коефіцієнтом затухання.

Затухання коливань відбувається дуже швидко навіть при малому опорі. Так, наприклад, при b = 0,05k

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ; Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ,

тобто період затухаючих коливань відрізняється від періоду вільних коливань Т лише на 0,125%, а амплітуда коливань за час одного повного коливання зменшується на 27%, і після 10 повних коливань складає 4,3% свого початкового значення.

Таким чином, основний впглив опору на вільні коливання матеріальної точки виражається в зменшенні амплітуди коливань на протязі деякого часу, тобто в затуханні коливань.

6.1.2. Граничний випадок (b=k).

При b = k корені характеристичного рівняння будуть дійсними і кратними:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Загальне рішення рівнянь в цьому випадку має вигляд:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Для визначення сталих Проекція сили на вісь Х : - student2.ru та Проекція сили на вісь Х : - student2.ru отримаємо рівняння, що визначає швидкість точки:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Початкові умови приведемо в вигляді:

при Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Тоді, підставляючи початкові умови в отримані рівняння, будемо мати:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ; Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ; Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .   Знаючи значення Проекція сили на вісь Х : - student2.ru та Проекція сили на вісь Х : - student2.ru приведемо рівняння до наступного вигляду:   Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .
Рисунок 6. 1.2. Затухаючі коливання точки у гранічному випадку.

Рух точки, що визначається цім рівнянням називається аперіодичним, як наведено на рисунку 6.1.2.

6.1.3. Випадок великого опору (b>k).

Наприкінці розглянемо випадок, коли b>k, тобто, коли опір в порівнянні з відновлюючою силою значний. Позначимо:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Тоді корені характеризуючого рівняння:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru ,

та дорівнюють Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , тобто, обидва дійсні та від'ємні, тому що Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Отже, рішення рівняння Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , що описує закон руху точки, має при b>k вигляд:

Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

Оскільки функція Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , де Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , з часом монотонно убуває, наближаючись до нуля, то рух точки в цьому випадку не буде коливальним і вона під дією відновлюючої сили буде поступово наближатися до положення рівноваги Проекція сили на вісь Х : - student2.ru . В залежності від початкових умов матеріальна точка може виконувати один з рухів, графіки яких показані на рисунку 6.1.3.

Ці графіки відповідають початковому відхиленню точки від положення спокою на величину Проекція сили на вісь Х : - student2.ru .

На рис. 6.1.3.а показано графік руху точки з початковою швидкістю Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , що має напрям, який співпадає з напрямком осі Х.

 
  Проекція сили на вісь Х : - student2.ru

Дякуючи цій швидкості, точка спочатку віддаляється від положення спокою, а потім під дією відновлюючої сили поступово наближається до цього положення. Графіки (рисунки 6.1.3.б, та 6.1.3.в) відповідають руху точки з початковою швидкістю Проекція сили на вісь Х : - student2.ru , спрямованою протилежно напрямку осі Х,Y випадку достатньо великої швидкості точка може виконати один перехід через положення спокою, а потім у зворотньому русі наближатись до цього положення (рисунок 6.1.3.б).  
Рисунок 6. 1.2. Затухаючі коливання точки у випадку великого опору.

ЛЕКЦІЯ 7

Теорія коливань.

План.

7.1. Вимушені коливання точки без урахування опору.

7.1.1. Фаза вимушених коливань.

7.1.2. Амплітуда вимушених коливань.

7.1.3. Явище резонансу.

Наши рекомендации