Движение по криволинейной траектории

КИНЕМАТИКА

Механическое движение

Раздел физики, называемый механикой, полностью посвящен изучению механического движения. Первый раздел механики – кинематика – занимается систематизацией и формальным математическим описанием различных видов механического движения.

О

Y

Х

Z

А

х

y

z

r

Механическим движением называется изменение положения тела в пространстве с течением времени. Для описания механического движения в первую очередь требуется устройство, фиксирующее темп течения времени и измеряющее промежутки времени. То есть требуются часы. В ту же первую очередь требуется определять изменение положения тела, то есть нужно уметь фиксировать положение тела в каждый момент времени. Положение тел обычно определяется относительно каких-либо других тел. Поэтому для задания положения тела в пространстве требуется иметь несколько опорных тел или хотя бы одно тело, которые называются телами отсчета. Наличие часов и тела отсчета формально достаточно для описания механического движения. Совокупность часов и тела отсчета называется системой отсчета. Поэтому говорят, что для описания механического движения необходимо иметь систему отсчета.

Имеется два основных метода задания положения тела в пространстве. Первый из них - координатный метод. Положение тела в этом методе задается тремя его координатами. Для этого необходимо иметь систему координат. Системы координат существуют разные. Мы в школьном курсе физики, в основном, будем использовать прямоугольную декартову систему координат из трех взаимно перпендикулярных прямых осей X, Y и Z. Для введения такой системы координат требуется иметь хотя бы четыре тела отсчета. В одно из тел отсчета (точка О) можно поместить начало координат, а три другие тела отсчета требуются для задания направления координатных осей. Координаты x, y и z задают положение тела в пространстве. Второй метод задания положения тела называется векторным. Здесь положение тела определяется так называемым радиус-вектором r. Начало радиус-вектора совпадает с телом отсчета О, а конец – с телом А, положение которого определяется. В этом методе достаточно наличие одного тела отсчета.

Движение всех реальных тел можно разложить на две составляющие: поступательное движение и вращательное движение. Произвольное движение тела в любой момент времени можно представить как сумму этих двух типов движения. Поступательным называется движение, при котором движущееся тела не меняет своей ориентации в пространстве. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, а траектории всех точек тела представляют собой одинаковые кривые. При вращательном движении траектории движения всех точек тела представляют собой окружности. Причем центры всех этих окружностей находятся на одной прямой, которая называется осью вращения.

При движении тела часто его размерами и формой можно пренебречь. В этом случае реальное тело обозначают просто точкой и называют материальной точкой. Материальной точкой можно считать тело в случае, если его размеры значительно меньше расстояний до других тел и расстояния, проходимого самим телом. Материальной точкой можно считать тело, даже если его размеры и не малы, но если они не имеют никакого физического значения в данной задаче и тело движется поступательно. Движение реального тела может быть как поступательным, так и вращательным. Материальная точка может двигаться только поступательно.

Векторные величины

В физике имеются многие величины, для знания которых недостаточно знать, чему равна эта величина. Рассмотрим простую задачу. Пусть идет пешеход с постоянной скоростью 5 км/ч. Известно, что в 12 часов дня он находился в пункте А. Требуется определить, где будет находиться пешеход в 14 часов. Зная только величину скорости пешехода, мы можем только сказать, что в 14 часов он будет находиться на расстоянии 10 км от пункта А. Но все возможные точки нахождения пешехода будут находиться на окружности радиусом 10 км с центром в точке А. Для определения точного положения пешехода нам нужно еще знать в какую сторону он идет. Значит, для практических целей нам недостаточно знать величину скорости тела. Требуется еще знать, куда эта скорость направлена. Имеется еще очень много физических величин, для характеристики которых требуется знание, как размера этой величины так и ее направления.

Физические величины, характеризуемые размером величины и ее направлением, называются векторными. Размер векторной величины чаще называется ее модулем. В отличие от векторных, величины, характеризующиеся только своим значением, называются скалярными. Значение скалярной величины иногда может иметь знак. При этом говорят, что скалярная величина характеризуется своим значением (которое тоже часто называется модулем) и знаком. При этом имеются скалярные величины, которые по своему физическому смыслу не могут принимать отрицательные значения (например, масса или пройденный путь). А некоторые скалярные величины могут быть как положительными, так и отрицательными. Заметим, что векторные величины знаком не характеризуются, то есть не бывает отрицательных векторов.

а

b

Векторные величины на рисунках принято изображать в виде стрелок. Причем направление стрелки указывает направление векторной величины, а длина стрелки определяется ее модулем. Обозначаются векторные величины буквами. Причем на рисунках над буквой, обозначающей векторную величину рисуется стрелочка, а в печатном тексте эти буквы печатаются жирным шрифтом.

А

В

С

ΔrAВ

ΔrВС

ΔrАС

А

В

Δr

S

Пусть при своем движении тело переместилось из точки А в точку В. Величину изменения положения тела можно определить как расстояние от точки А до точки В. Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Определяемое таким образом пройденное расстояние называется перемещением. Причем, перемещение – векторная величина. Перемещением - Δr - называется вектор, начало которого совпадает с начальным положением тела (точка А), а конец - с конечным положением (точка В). Однако, тело из начальной точки в конечную перемещалось не обязательно по прямолинейной траектории. Поэтому существует еще одна величина, характеризующая величину изменения положения тела – путь. Пройденным путем - S - называется длина траектории перемещения тела. Путь – скалярная и всегда положительная величина. Причем путь всегда больше или равен модуля вектора перемещения. Так если в результате движения тело вернулось в исходное положение, то есть точки А и В совпадают, то перемещение тела равно нулю, а путь больше нуля.

а

b

а

b

с

с

а

b

Векторные величины можно складывать. Так пусть, например, тело сначала переместилось из точки А в точку В, а затем еще переместилось в точку С. Суммарное перемещение Δr_AC равно сумме перемещений Δr_AВ и Δr_ВC. На рисунке суммарный вектор Δr_AC является третьей стороной в треугольнике, образованном векторами Δr_AВ и Δr_ВC. Аналогичным образом складываются все векторные величины. Для того, чтобы сложить два вектора а и b, необходимо нарисовать их друг за другом так, чтобы начало вектора b совпадало с концом вектора а. Вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора b и является суммой векторов а и b. (c = a + b). Этот способ сложения векторов называется правилом треугольника. Можно складывать вектора по правилу параллелограмма. Для этого складываемые вектора надо нарисовать из одной точки, дорисовать получившуюся фигуру до параллелограмма и провести в нем из той же точки диагональ. Она и будет суммой векторов. Для того, чтобы сложить более чем два вектора, можно сложить сначала два из них, затем к их сумме прибавить третий и так далее. Естественно, для суммы векторов справедливо правило: a + b = b + a.

а

b

а

-b

с

Вектора можно вычитать. Для того, чтобы из вектора а вычесть вектор b надо к вектору а прибавить вектор противоположный вектору b: c = a – b = a + (-b). Заметим, что –b – это не отрицательный вектор, а вектор противоположный вектору b, то есть вектор по модулю равный вектору b, а по направлению противоположный ему. Кстати, введенный выше вектор перемещения равен разности конечного и начального радиус – векторов, определяющих положения тела: Δr = r₂ – r₁.

Вектор можно умножать на скаляр. Если вектор а умножить на скаляр α, то получится вектор с = α·а, направление которого совпадает с направлением вектора а, а модуль в α раз больше.

Вектора можно скалярно умножать друг на друга. Скалярным произведением векторов а и b называется скаляр , где и - модули векторов а и b, а α – угол между ними. Замети, что результатом скалярного произведения двух векторов является скаляр. Причем знак этого произведения может быть как положительный, так и отрицательный. Это определяется знаком косинуса. Если угол между векторами острый, то их скалярное произведение положительно, а если тупой – то отрицательно.

X

Y

a

ax

ay

X

Y

a

ay

ax

α

а

b

bх

аx

Х

Пусть есть вектор а и координатная ось Х. Из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на координатную ось. Длина отрезка на координатной оси между основаниями этих перпендикуляров – а_х - является проекцией вектора а на ось Х. Проекция вектора на ось – величина скалярная. При этом она может быть положительной и отрицательной. Если вектор и ось направлены преимущественно в одну сторону, то проекция вектора на ось положительна, а если вектор и ось направлены в противоположные стороны, то отрицательна. Так проекция вектора а на ось Х положительная, а проекция вектора b на ту же ось отрицательная. Если вектор и ось взаимно перпендикулярны, то проекция вектора на ось равна нулю. Если угол между вектором а и осью Х равен α, то проекция вектора на ось равна: . На рисунке изображен вектор а и система координат XY. Если угол между вектором и осью Х равен α, то угол между вектором и осью Y равен 90° - α. При этом проекция вектора а на ось Х равна , а на ось Y - . Если известны проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат, то модуль вектора можно выразить как .

Если , то . Аналогично в проекции на ось Y.

Скалярное произведение векторов а и b можно выразить через их проекции: .

Любой вектор можно представить в виде суммы двух или более векторов. Часто вектора представляют в виде суммы двух взаимно перпендикулярных векторов, направленных вдоль координатных осей X и Y. На рисунке представлено разложение вектора а на два взаимно перпендикулярных вектора а_х и а_y. Вектора а_х и а_y называются составляющими вектора а по направлениям Х и Y.

Скорость

Скорость – это величина характеризующая быстроту изменения положения тела. Пусть за некоторый промежуток времени Δt тело переместилось из некоторого начального положения 1 в некоторое конечное положение 2. Если перемещение тела из положение 1 в положение 2 равно Δr, то величина

называется средней скоростью перемещения. В системе СИ единицей измерения перемещения является метр [м], а единицей измерения времени является секунда [с]. Поэтому единицей измерения скорости в системе СИ является [м/с]. Средняя скорость перемещения - векторная величина.

Если путь, пройденный телом при перемещении из начальной точки 1 в конечную точку 2 равен S, то величина

называется средней скоростью движения или средней путевой скоростью. Средняя скорость движения – величина скалярная.

Средняя скорость дает представление о том, как быстро изменилось положение тела за весь промежуток времени Δt, однако ничего не говорит о скорости движения тела в каждый момент времени внутри этого промежутка. Для более детального определения скорости имеется понятие о так называемой мгновенной скорости. Мгновенной скоростью называется средняя скорость перемещения, определяемая на очень маленьком, в пределе на бесконечно маленьком, промежутке времени. Математически это записывается следующим образом:

Мгновенная скорость – векторная величина.

Как и любой вектор, вектор скорости можно спроектировать на оси системы координат. Так проекции вектора средней скорости перемещения и мгновенной скорости на ось Х определяются так:

;

Аналогично определяются проекции скорости на оси Y и Z.

Равномерное движение

Перейдем теперь к рассмотрению конкретных простейших типов движения. Для начала рассмотрим простейшие типы поступательного движения. Самым простым типом поступательного движения является равномерное движение. Равномерным называется движение с постоянной скоростью. Часто дают другое определение: равномерным называется движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения. Если учесть, что скорость – величина векторная и постоянство скорости подразумевает ее постоянство как по величине, так и по направлению, то понятно, что эти два определения полностью эквивалентны. Следует заметить, что равномерное движение всегда является прямолинейным.

Так как при равномерном движении скорость постоянна, то понятия мгновенной скорости и средней скорости перемещения полностью совпадают. То есть скорость, определяемая выражением , является также и мгновенной скоростью. Пусть в начальный момент времени t₀ положение тела определялось радиус-вектором r₀, а в некоторый последующий момент t радиус-вектор тела равен r. Тогда можно написать: , а . Значит

или

Эта формула определяет зависимость радиус вектора от времени для равномерного движения и является основной формулой. Часто начальный момент времени считают равным нулю (t₀ = 0) и записывают эту зависимость в виде: .

Эту зависимость можно записать в проекциях на оси координат:

,

,

Здесь x₀, y₀, z₀ – начальные координаты тела в момент времени t₀ = 0; x, y, z – координаты тела в момент времени t; v_x, v_y, v_z – проекции вектора скорости на оси координат X, Y, Z.

Ускорение

Равномерное движение – самое простое, но практически не встречающееся в природе движение. Обычно при реальном движении скорости тел изменяются. Причем изменяются и по величине и по направлению. Аналогично понятию скорости, характеризующего быстроту изменения положения тела, можно ввести величину, характеризующую быстроту изменения скорости тела. Пусть за некоторый промежуток времени Δt скорость тела изменилась на Δv. Величина

называется средним ускорением. Ускорение – величина векторная.

Аналогично определению мгновенной скорости вводится понятие мгновенного ускорения:

Единицей измерения ускорения в системе СИ является [м/с²].

Проекции вектора среднего и мгновенного ускорения на оси координат:

;

Аналогично определяются проекции вектора ускорения на оси Y и Z.

Равноускоренное движение

Рассмотрим еще один простой вид поступательного движения – равноускоренного.

Равноускоренным называется движение с постоянным ускорением. Часто дается другое определение: равноускоренным называется движение, при котором за любые одинаковые промежутки времени скорость тела изменяется на одинаковую величину. Если под постоянством ускорения подразумевать его постоянство как по модулю так и по направлению, то эти два определения эквивалентны. В отличие от равномерного движения, равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным.

Для равноускоренного движения понятия среднего и мгновенного ускорений совпадают. Значит ускорение, определяемое выражением , одновременно является и средним и мгновенным ускорением.

Пусть в начальный момент времени t₀ скорость тела была равна v₀, а в некоторый последующий момент t скорость тела стала равна v. Тогда можно написать: , а . Значит

или

Это выражение определяет зависимость скорости от времени для равноускоренного движения и является одним из основных уравнений. Если принять t₀ = 0, то . В проекции на ось Х эта зависимость записывается в виде:

(*)

vx

t

t

t0

vx

v0x

Здесь v_0x – проекция вектора начальной скорости на ось Х; v_x(t) – проекция вектора скорости в момент времени t; а_х – проекция вектора ускорения на ось Х. Аналогично записываются зависимости скорости от времени в проекциях на оси Y и Z. Здесь принято t₀ = 0. Для того, чтобы записать еще одно основное соотношение для равноускоренного движения, воспользуемся так называемым графическим методом. Так как зависимость скорости от времени для равноускоренного движения является линейной, то график зависимости проекции скорости от времени представляет собой прямую линию. Нарисуем примерный график зависимости v_x от t. Как известно, на графике зависимости скорости от времени пройденное расстояние численно равно площади под графиком. Значит площадь заштрихованной трапеции на нашем графике равна изменению координаты:

Но . Значит, получается:

Обычно считают, что t₀ = 0 и записывают эту формулу в следующем виде:

Эта формула представляет собой зависимость координаты х от времени для равноускоренного движения и является еще одной основной формулой. х₀ – начальная координата. Аналогично записываются зависимости координат y и z от времени. В векторном виде эта зависимость имеет такой вид:

Запишем еще одну формулу. Она не является основным соотношением для равноускоренного движения, но оказывается очень полезной при решении задач. Выразим время из (*): и подставим его в зависимость x(t). После преобразований получается формула:

Аналогичные зависимости можно записать в проекциях на другие оси координат. В общем виде эта зависимость записывается так:

Свободное падение

Особый интерес с практической точки зрения представляет свободное движение тела в поле тяжести Земли – свободное падение. Свободным падением называется движение тела в состоянии, когда на него кроме силы тяжести больше ничего не действует. В XVII веке Галилей экспериментально показал, что свободное падение тел является равноускоренным движением. Более того, ускорение, с которым движутся свободно падающие тела, имеет одно и то же значение, одинаковое для всех тел и приблизительно равное 9,8 м/с². Направлено это ускорение тоже для всех тел одинаково – вертикально вниз. Это ускорение называется ускорением свободного падения и обозначается – g (g = 9,8 м/с²).

Естественно о свободном падении можно говорить только в случае, если можно пренебречь сопротивлением воздуха. Абсолютно строго в условиях Земли это никогда не выполняется. Однако, если движущееся тело имеет достаточно большую плотность и его скорость не очень велика, то влиянием сопротивления воздуха в первом приближении можно пренебречь. Поэтому во всех задачах, связанных со свободным падением, сопротивлением воздуха пренебрегается.

Рассмотрим теперь некоторые конкретные движения, относящиеся к свободному падению.

1. Свободное падение без начальной скорости.

Н

g

Y

Пусть тело свободно падает без начальной скорости из точки, находящейся на высоте Н над поверхностью земли. Направим координатную ось Y вертикально вниз. Пусть начало координат совпадает с точкой начала падения. Движение тела является равноускоренным. Поэтому можно записать зависимость скорости и координаты тела от времени в виде: ; .

Так как начальная скорость равна нулю, то v_0y = 0. Так как Начало координатной оси находится в точке начала движения, то y₀ = 0. Так как координатная ось направлена вниз и ускорение свободного падения равно g и тоже направлено вертикально вниз, то a_y = g. Значит, для нашего конкретного случая получаются такие уравнения: ; .

В момент падения тела на землю, его координата станет равна Н. Значит, для момента падения можно написать . Откуда сразу получаем время падения тела:

Подставив это время в зависимость скорости тела от времени, получаем скорость тела в момент падения:

v0

g

Y

2. Движение тела, брошенного вертикально вверх.

Пусть тело бросили с поверхности земли с начальной скоростью v₀, направленной вертикально вверх. Направим ось Y вертикально вверх с поверхности земли. Так как движение равноускоренное, то можно написать: ; . Для нашего конкретного случая: y₀ = 0; v_0y = v₀; a_y = −g.

Получаются такие исходные уравнения: ; . Из опыта мы знаем, что в случае такого движения тело сначала будет подниматься вверх, затем в высшей точке своего движения на мгновение остановится и начнет падать вниз. Значит, в момент подъема тела на максимальную высоту его скорость станет равна нулю. То есть для этого момента времени можно записать: . Отсюда сразу получаем время движения тела до точки максимального подъема: . Координата y в нашем случае автоматически является высотой поднятия тела. Если мы подставим этот момент времени в зависимость координаты от времени, то получим координату тела в момент достижения максимальной высоты, то есть, как раз максимальную высоту подъема тела:

В момент падения тела на землю его координата станет равна нулю. То есть для этого момента можно написать: . Решая это уравнение относительно времени t, получаем два корня: t₁ = 0; t₂ = 2v₀/g. Формально это свидетельствует о том, что в процессе движения координата тела два раза была равна нулю. Очевидно, что первый корень соответствует моменту бросания тела, а второй – моменту падения. Значит время, через которое брошенное тело упадет на землю, равно:

Кстати заметим, что это время ровно в 2 раза больше времени подъема тела до максимальной высоты. Это значит: сколько времени брошенное тело поднимается вверх, столько же оно падает обратно вниз. Если мы теперь найденное время падения тела на землю подставим в зависимость скорости от времени, то получим скорость падения тела. Она равна: . То есть мы получили, что тело упадет обратно на землю с той же скоростью, с какой его бросили. Знак минус означает, что проекция скорости падения тела на ось Y отрицательна, то есть она направлена вертикально вниз.

3. Движение тела, брошенного горизонтально.

Пусть тело брошено горизонтально с начальной скоростью v₀ с высоты Н.

X

Y

v0

v

α

H

g

L

В данном случае движение тела будет также равноускоренным, но не прямолинейным. Траектория движения тела будет представлять собой некую кривую линию. А это значит, что для описания движения тела нам будет недостаточно одной координатной оси. Однако, как показывает опыт, траектория такого движения находится в одной плоскости, то есть нам достаточно системы координат из двух осей. Выберем систему координат из двух осей X и Y. Причем начало координат поместим в точку бросания, ось Х направим горизонтально в сторону бросания тела, а ось Y направим вертикально вниз. Так как движение является равноускоренным, то можно написать:

;

;

Для нашего случая: x₀ = y₀ = 0; v_0x = v₀; v_0y = 0; a_x = 0; a_y = g. Таким образом, получается следующая система исходных уравнений:

В момент падения тела на землю его координата y будет равна Н. То есть для этого момента можно написать: . Откуда сразу получаем время падения тела:

Расстояние, которое пролетит тело по горизонтали до места падения равно х-овой координате в момент падения:

Проекции скорости тела в момент падения равны:

;

Поэтому полная скорость в момент падения равна:

Угол α между вектором скорости и горизонтальной осью Х в момент падения определяется из условия:

4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту вверх.

Пусть тело брошено с начальной скоростью v₀ под углом α к горизонту с поверхности земли и падает на поверхность земли.

В данном случае движение тела также является равноускоренным, но не прямолинейным. Поэтому для описания этого движения также требуется система координат из двух осей Х и Y. Совместим начало координат с точкой бросания, ось Х направим горизонтально в сторону бросания, а ось Y направим вертикально вверх. Так как движение является равноускоренным, то можно написать:

;

Х

Y

v0

v0x

v0y

v0x

g

α

;

Для нашего случая: x₀ = y₀ = 0; ; ; a_x = 0; a_y = −g. Таким образом, получается следующая система исходных уравнений:

В момент падения на землю координата y тела равна нулю. Приравнивая зависимость y(t) к нулю получаем квадратное уравнение относительно t, корни которого t₁ = 0, . Первый корень, очевидно, соответствует моменту бросания тела, а второй – моменту падения. Значит время полета тела равно:

Дальность полета тела – расстояние от точки бросания до точки падения равна координате х в момент падения тела на землю. Подставляя в зависимость x(t) момент времени t₂, получаем дальность полета:

Траектория движения тела представляет собой некую кривую линию, имеющую максимум подъема. Вектор скорости тела в любой точке направлен по касательной к траектории. А значит, в точке максимального подъема вектор скорости тела направлен горизонтально и его проекция на ось Y равна нулю. Приравняв зависимость v_y(t) к нулю и выразив из полученного уравнения t, получим момент времени, в который тело проходило точку максимального подъема:

Это время ровно вдвое меньше времени полета. Это значит, что время подъема тела до точки максимального подъема равно времени обратного падения на землю. Координата y в нашем случае соответствует высоте подъема тела. Значит, подставив момент времени t’ в зависимость y(t), мы получим максимальную высоту подъема тела:

Наконец, выясним, что представляет собой траектория полета тела. Для этого выразим время из зависимости x(t): и подставим его в зависимость y(t). Получаем уравнение траектории движения тела:

Мы получили квадратичную зависимость y(x). Причем коэффициент при х² отрицательный. Графиком такой зависимости является парабола с ветвями, направленными вниз. Значит траекторией движения тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола с ветвями, направленными вниз.

Бросая тело с одинаковой начальной скоростью, но под разными углами к горизонту, дальность полета будет получаться разной. А под каким углом надо бросить тело, чтобы оно улетело как можно дальше? Из формулы для дальности полета видно, что дальность будет максимальной, когда примет максимальное значение. Но максимальное значение синуса равно единице и реализуется это значение для угла 90°. Значит дальность полета будет максимальной когда 2α = 90°, то есть α = 45° и равна эта максимальная дальность полета: .

Рассмотрим следующую задачу. Мальчик, бросая мяч с некоторой начальной скоростью, может бросить его на максимальное расстояние 40 м. Под каким углом к горизонту мальчик должен бросить мяч с той же скоростью, чтобы он упал на расстоянии 20 м от точки бросания? Рост мальчика не учитывать.

Решение. Максимальная дальность полета реализуется для угла бросания 45° и равна . Для любого другого угла бросания α можно написать: . Значит, для нашего случая получаем: . Далее надо найти угол, синус которого равен 0,5. Однако следует заметить, что угол бросания α может изменяться от 0 до 90°, а значит угол 2α может изменяться от 0 до 180°. В диапазоне от 0 до 180° имеется два угла, синус которых равен 0,5 – это 30° и 150°. А значит имеется два угла бросания, при которых мяч улетит на 20 м: α₁ = 15° и α₂ = 75°.

Дело в том, что это не единственная дальность, которая обеспечивается при двух различных углах бросания. Для любого значения синуса в диапазоне от 0 до 180° существует два угла: 2α и 180° - 2α. А значит любая дальность полета при заданной скорости бросания обеспечивается при двух углах бросания: α и 90° - α. В артиллерии эти две траектории снаряда имеют названия. Траектория, соответствующая углу α < 45° называется настильной, а траектория, соответствующая углу 90° - α называется навесной.

Графики движения

В этом разделе коротко рассмотрим, что из себя представляют графики зависимости кинематических характеристик движения (координаты, скорости и ускорения) от времени для равномерного и равноускоренного движения.

Равномерное движение.

Зависимость координаты от времени для равномерного движения имеет вид: . Как выше уже отмечалось, это линейная зависимость. Графиком такой зависимости является пряма линия. На рисунке представлены некоторые характерные графики зависимости координаты от времени для равномерного движения. Точка пересечения прямой с осью х соответствует начальной координате х₀. Наклон прямой определяется проекцией скорости на ось Х. Если v_x > 0, то прямая идет вверх, а если v_x < 0, то вниз. Угол наклона прямой определяется величиной проекции скорости. А именно, если угол наклона прямой к оси времени равен α, то .

Скорость при равномерном движении не зависит от времени. Поэтому график зависимости скорости от времени представляет собой прямую линию параллельную оси времени.

Равноускоренное движение.

Ускорение при равноускоренном движении не зависит от времени. Поэтому график зависимости ускорения от времени аналогичен графику зависимости скорости от времени для равномерного движения и представляет собой прямую линию параллельную оси времени.

аx>0

аx<0

t

аx

Зависимость скорости от времени для равноускоренного движения имеет вид: . Это линейная функция. Графиком такой зависимости является прямая линия. Значит график зависимости скорости от времени для равноускоренного движения аналогичен графику зависимости координаты от времени для равномерного движения. На рисунке представлены некоторые характерные графики зависимости скорости от времени для равноускоренного движения. Точка пересечения прямой с осью v_x соответствует начальной скорости v_0x. Наклон прямой определяется проекцией ускорения на ось Х. Если а_x > 0, то прямая идет вверх, а если а_x < 0, то вниз. Угол наклона прямой определяется величиной

v0x>0; ax>0

v0x=0; ax>0

v0x>0; ax<0

v0x<0; ax>0

vx

t

v0x

α

x

t

x0=0; ax>0

x0<0; ax>0

x0>0; ax<0

х0

проекции ускорения. А именно, если угол наклона прямой к оси времени равен α, то .

Зависимость координаты от времени для равноускоренного движения имеет вид: . Это квадратичная зависимость. Графиком такой зависимости является парабола. На рисунке представлены некоторые характерные графики зависимости координаты от времени для равноускоренного движения. Направление ветвей параболы определяется знаком проекции ускорения на ось Х. Если а_х > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а_х < 0, то вниз. Если в некоторой точке к графику провести касательную, то угол наклона касательной к оси времени связан со скоростью тела в этой точке соотношением: . Так как касательная, проведенная к параболе в ее вершине, направлена параллельно оси времени и угол ее наклона равен нулю, то в точке, соответствующей вершине параболы, скорость тела равна нулю.

Иногда требуется нарисовать график зависимости пройденного пути от времени. Характер зависимости пути от времени полностью аналогичен зависимости координаты от времени, однако у этих двух зависимостей имеется два отличия: 1) Зависимость координаты от времени может, как возрастать, так и убывать, а зависимость пути от времени может только возрастать. 2) График зависимости координаты от времени не обязательно выходит из начала координат (х₀ не обязательно равно нулю), а график пути от времени всегда выходит из начала координат.

Движение по криволинейной траектории

Δr

v

Рассмотрим движение тела по произвольной криволинейной траектории. Выше мы уже отмечали, что при движении тела по криволинейной траектории вектор его скорости в любой точке направлен по касательной к траектории. На рисунке показано, почему это так. Средняя скорость равна . Это значит, что направление вектора средней скорости всегда совпадает с направлением перемещения Δr. Но если мы будем приближать конечную точку к начальной, делая промежуток времени Δt все меньше, то, как видно из рисунка, направление вектора Δr будет приближаться к направлению касательной к траектории в начальной точке и в пределе сольется с ней. Но в этом пределе средняя скорость перейдет в мгновенную скорость.

v1

v2

v2

Δv

В отличие от скорости, ускорение при движении тела по криволинейной траектории почти никогда не бывает направлено по касательной к траектории. Так как , то направление вектора ускорения всегда совпадает с направлением вектора изменения скорости. Как видно из рисунка, вектор изменения скорости, а, значит, и ускорение направлены внутрь кривизны траектории. В общем случае угол между векторами скорости и ускорения может изменяться от 0 до 180°.

а

аτ

ац

v

α

Очень часто ускорение тела при движении по криволинейной траектории раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие: на направление касательной к траектории и на направление перпендикулярное касательной. Составляющая вектора полного ускорения на направление касательной к траектории называется тангенциальным или касательным ускорением (а_τ). Составляющая вектора полного ускорения на направление перпендикулярное касательной называется центростремительным или нормальным ускорением (а_ц).

Если α – угол между направлениями ускорения и скорости, то можно написать:

Кроме того:

Разделение ускорения на две составляющие связано с тем, что каждая составляющая полного ускорения характеризует изменение скорости по одному из двух параметров. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Тангенциальное ускорение совпадает по направлению с вектором скорости, если скорость по величине возрастает и направлено противоположно скорости, если она убывает. При движении с постоянной по величине скоростью тангенциальное ускорение равно нулю. Модуль тангенциального ускорения равен:

Центростремительное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. При движении по прямолинейной траектории центростремительное ускорение равно нулю.

Важным частным случаем движения по криволинейной траектории является движение по окружности. Дело в том, что любую плавную кривую линию можно заменить совокупностью сопряженных дуг окружностей разного радиуса. Пусть имеется некоторая кривая линия. В каждой точке кривой можно провести множество окружностей, касающихся ее в этой точке. Но среди всех этих окружностей имеется одна, которая лучше других описывает кривизну кривой в данной точке. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны линии в этой точке. Таким образом, движение тела по произвольной криволинейной траектории можно представить как последовательное движение по окружностям разного радиуса.

Пусть тело движется по криволинейной траектории. Рассмотрим две очень близкие точки траектории А и В. Так как точки очень близки друг к другу, то можно считать, что они лежат на дуге окружности с радиусом равным радиусу кривизны траектории в данной части траектории - R. Предположим, что скорость тела по величине постоянна. В этом случае тангенциальное ускорение равно нулю и полное ускорение тела равно центростремительному. Треугольник, построенный на векторах v_A, v_B и Δv равнобедренный и подобен треугольнику АОВ. Значит можно написать:

А

В

vА

vB

vB

Δv

О

R

Пусть Δt – время, за которое тело перешло из точки А в точку В. Так как точки А и В расположены очень близко друг к другу (на рисунке для наглядности они расположены далеко друг от друга), то хорда АВ практически совпадает с дугой АВ. Поэтому можно написать: . А значит получаем:

Так как тангенциальное ускорение равно нулю, то представляет собой центростремительное ускорение. Таким образом получаем формулу для центростремительного ускорения при движении тела по криволинейной траектории:

Здесь v – мгновенная скорость тела, а R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Движение по окружности

А

О

φ

v

R

Рассмотрим движение тела по окружности. Если траекторией движения тела является конкретная окружность известного радиуса, то использовать для задания положения тела прямоугольную декартову систему координат совершенно необязательно. В этом случае легче поступить по-другому. Проведем через центр окружности прямую линию, задающую фиксированное направление. Пусть тело в данный момент времени находится в точке А на окружности. Если соединить точку А с центром окружности О радиусом, то угол φ между этим радиусом и фиксированным направлением полностью задает положение тела на окружности. В этом случае вместо двух координат x и y положение тела задается только одной величиной – углом φ.

Однако при таком способе задания положения тела должны измениться и некоторые другие кинематические характеристики движения. Так, например, скорость определяет быстроту изменения положения тела. При координатном способе задания положения скорость определяет быстроту изменения координаты тела. В нашем случае скорость должна определять быстроту изменения угла φ. Пусть за некоторый промежуток времени Δt положение тела на окружности изменилось так, что радиус, соединяющий его с центром окружности, повернулся на угол Δφ. Величина

называется угловой скоростью. Аналогично изменяется понятие ускорения. Пусть за промежуток времени Δt угловая скорость тела изменилась на Δω. Величина

R

R

R

1 рад

называется угловым ускорением.

В системе СИ углы измеряются в радианах [рад]. Поэтому единицей измерения угловой скорости в системе СИ является [рад/с = 1/с = с^-1], а углового ускорения - [рад/с² = 1/с² = с^-2]. Один радиан – это угол, вырезающий на окружности длину дуги, равную радиусу окружности. Численно 1 рад = 180°/π ≈ 57,3°. Длина дуги, которую вырезает на окружности угол φ рад равна . Поэтому между угловыми и линейными характеристиками движения имеется простая связь: . Для центростремительного ускорения можно написать: .

Движение по окружности можно характеризовать еще такими величинами:

Период обращения Т – время одного полного оборота

Частота ν – количество оборотов, совершаемых за единицу времени

Для движения по окружности можно использовать уравнения равномерного и равноускоренного движения. Так если движение по окружности происходит с постоянной по величине скоростью, то можно говорить о равномерном движении по окружности и написать:

Если при движении по окружности угловая скорость линейно изменяется, то можно говорить о равноускоренном движении по окружности и написать: