Опытная проверка теоремы о взаимности работ

ТЕОРЕМА БЕТТИ

Цель работы:

Экспериментальная проверка теоремы о взаимности работ.

Общие сведения

Теорема о взаимности работ относится к числу общих теорем сопротивления материалов. Эта теорема вытекает из принципа независимости действия сил и применима ко всем системам, для которых соблюдается этот принцип.

Рассмотрим упругую балку на двух опорах в двух состояниях (рис.1). В первом состоянии балка нагружена силой P_i в сечении i (рис. 1, а), а во втором – силой P_k в сечении k (рис. 1, б).

Точка «k» под действием силы P_i (I состояние) получит перемещение D_ki, а точка «i» под действием силы P_k (II состояние) получит перемещение D_ik. Применительно к указанным видам нагружения теорема о взаимности работ запишется следующим образом:

Теорема формулируется следующим образом: возможная работа силы первого состояния P_i на перемещении D_ik по ее направлению, вызванному силой второго состояния, равна возможной работе силы второго состояния P_k на перемещении D_ki по ее направлению, вызванному силой первого состояния.

Эта теорема приобретает большую общность, если учесть, что под силами P_i и P_k можно понимать обобщенные силы, а под D_ik, D_ki – обобщенными перемещениями.

Приложим во II состоянии балки сосредоточенный момент M_k (рис. 2, б), тогда вместо линейного перемещения D_ki необходимо рассматривать угол поворота j_ki (рис. 2, а).

Теорема о взаимности работ запишется в этом случае так:

Опытная проверка теоремы о взаимности работ по формуле (2) проводится на балке, имеющей консоль длиной a на правом конце и вертикальный стержень длиной b на левой опоре (рис. 3). Вертикальный стержень b жестко связан с балкой и перпендикулярен к ней.

Порядок выполнения работы

1. Замерить длину консоли a и расстояние b между осью балки и острием индикатора (рис. 3, а).

2. В ненагруженном состоянии балки записать показание n_k0 по шкале индикатора, установленного на стержне b.

3. Подвесить груз P_i в сечении i и записать новое показание n_k1 индикатора.

4. Вычислить разность показаний индикатора для нагруженного и ненагруженного состояний балки Dn_k = n_k1 - n_k0.

5. Определить угол поворота сечения k:

,

так как tgj_ki»j_ki ввиду малости угла.

6. В ненагруженном состоянии балки записать показания n_i0 по шкале индикатора, установленного в сечении i.

7. Приложить в сечении А груз P, который образует момент М_к=Ра и записать новое показание индикатора n_i1.

8. Вычислить разность показаний индикатора

D_ik = Dn_i = n_i1 - n_i0.

9. Определить величины произведений P_iD_ik и М_кj_ki.

10. Определить процент расхождения между указанными величинами.

11. Оформить отчет по прилагаемой форме.

ОТЧЕТ 12

Цель работы:…………………………………………..…………………………..

…………………………………………………………….…………………………

…………………………………………………………….…………………………

Схема нагружения балки и расположения приборов

I состояние

II состояние

Измерительные приборы…………………………………………………..

Длина консоли a =……………см. Длина стержня b =……………см.

Результаты опыта

I состояние Нагрузка Pi = ……..Н. Показания индикатора k nk0 =…………… nk1 =…………… Dnk =…………... Угол поворота сечения k …………………

II состояние Нагрузка P = ……..Н. Момент Мк = Ра =……..кН×м. Показания индикатора i ni0 =…………… ni1 =…………… Dni =…………... Перемещение сечения i Dik =………см =……….м.

Величина возможных работ

A_ik = P_iD_ik =………………………….

A_ki = М_кj_ki =…………………………

Расхождение между возможными работами:

………………..%.

Выводы по работе…………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………….

Отчет принял

……………………………..

……………………………..