Деформации тел. Типы деформаций. Коэффициэнт Пуассона. Законы Гука для одноосного растяжения и сдвига. Связь между модулями сдвига и Юнга

Деформации тел.Опыт показывает, что под действием приложенных сил тела в той или иной степени меняют свою форму и объем, что на микроскопическом уровне означает относительное смещение атомов, составляющих тело. Такие изменения называются деформациями. В случае твердых тел различают два предельных случая: деформации упругие и деформации пластические. Упругими называют деформации, исчезающие после прекращения действия приложенных сил. Пластическими или остаточными деформациями называют такие деформации, которые сохраняются в теле, по крайней мере частично, и после прекращения действия внешних приложенных сил. Если напряжение (сила, отнесенная к единице площади) не превосходит предела упругости, то возникающая деформация будет упругой. Для удобства описания деформаций мысленно разобьем тело на физически малые объемы (иногда их будем называть частицы), содержащие, однако, большое число атомов. В отсутствие деформаций атомы находятся в состоянии теплового равновесия, а все малые объемы — в механическом равновесии. Тогда сумма сил и моментов сил, действующих на выделенный объем со стороны примыкающих к нему других объемов, будет равна нулю. Изменения положений атомов при деформациях приводят к тому, что в теле возникают внутренние силы, или внутренние напряжения, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Только соседние атомы или молекулы эффективно взаимодействуют друг с другом.

Типы деформаций. Коэффициент Пуассона.При всем многообразии случаев произвольную деформацию тела можно свести к двум элементарным деформациям — растяжению (сжатию) и сдвигу. При растяжении резинового шнура его поперечный размер d уменьшается до величины d₁. Такое поперечное сжатие характеризуется параметром e_^=(d₁–d)/d=Dd/d. Продольный размер изменяется на Dl и характеризуется величиной e=(l₁–l)/l=Dl/l. Опытным путем установлено, что отношениек e_^ к e приблизительно одинаково для разных деформаций одного и того же материала. Поэтому в теории упругости материал характеризуется коэффициентом Пуассона:

m=–(e_^/e)

Подсчитаем численное значение коэффициента Пуассона? Чтобы ответить на этот вопрос, подсчитаем изменение объема резинового шнура:

V=ld², V₁=l₁d₁²=l(1+e)d²(1+e_^)²= [раскроем скобки и пренебрегём e_^², 2ee_^, ee_^²] »V(1+e+2e_^)

DV/V=(V₁–V)/V»e+2e_^=e(1–2m).

Законы Гука.В ряде практически важных случаев напряжения определяются только деформациями. Такие тела называются абсолютно упругими телами, или упругими телами. Замечательным свойством таких тел является способность полностью восстанавливать свою форму после снятия внешних усилий, прикладываемых к телу. Рассмотрим, например, растяжение (или сжатие) стержня под действием силы F, приложенной перпендикулярно к торцевой грани с площадью сечения S. При последовательном возрастании нагрузки вначаледеформации развиваются равномерно по длине стержня и растут пропорционально нагрузке: e=(l₁–l)/l=F/SE=s/E. Величина s =F/S называется нормальным напряжением в торцевом сечении стержня. Пропорциональность деформаций e соответствующим напряжениям выражает закон Гука. Е – модуль Юнга. Закон Гука окончательно записывают в виде e=s/Е.

Опыт показывает, что этот закон выполняется лишь в определенном интервале напряжений. При некотором напряжении появляется заметное остаточное удлинение. Это напряжение s называется пределом упругости. Закон Гука выполняется только в части области упругости — области пропорциональности. При возрастании нагрузки наблюдается явление текучести, т.е. рост удлинения образца при постоянной нагрузке , называемой пределом текучести. Отметим, что течение материала происходит равномерно по всей длине стержня. За пределами области текучести дальнейшее удлинение стержня сопровождается увеличением s. Однако деформации будут распределены уже неодинаково по длине стержня — в некотором месте можно заметить образование шейки. При напряжении sM , называемом пределом прочности, в этом ослабленном сечении происходит разрыв. Аналогичными оладают и деформации сдвига. Вобласти пропорциональности связь между деформацией и касательным напряжением задаётся соотношением: g=F/(GS)=s_t/G, где s_t=F/S – касательное напряжение, а G – модуль сдвига.

Установим зависимость G от Е. Обратим внимание на то, что квадратная грань ABCD параллелепипеда (рис. 1.9), находящегося внутри рассматриваемого кубика, превращается при деформации в ромбическую грань A’B’C’D’. Совершенно ясно, что параллелепипед испытывает сдвиговую деформацию, а его объем при этом практически не изменяется. Величину угла сдвига a можно легко связать с деформацией удлинения e=Dl/l и коэффициентом Пуассона m=–e_^/e. Из треугольника A'OD’ следует, что:

Поскольку b <<1, то

В последней формуле учтено, что em << 1. Сила F, растягивающая кубик (рис. 1.10), создает нормальное напряжение s=F/l². Это напряжение передается на грани AB и BC параллелепипеда, однако силы, действующие на каждую из граней, имеют не только нормальную к грани, но и направленную вдоль грани составляющую F_t. Касательное напряжение оказывается при этом равным: (1.24)

Поскольку деформации e в формуле (1.23) пропорциональны напряжениям, а s=2s_t, то: a=2(1+m)s_t/E. Сравнивая последнее равенство с соотношением g=F/(GS)=s_t/G и учитывая, что g=tga»a, получаем то, что искали: G = E /2(1+m).

Билет 3.

Вопрос 1.

Понятие массы, импульса, силы в механике Ньютона. Законы Ньютона и их инвариантность относительно преобразований Галилея.

Масса:

1) Всякое тело оказывает сопротивление при попытках изменить модуль или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. Масса - мера инертности.

2) Изолированная система – система тел, настолько удаленных от всех остальных тел, что они практически не оказывают действия на рассматриваемую систему.

Рассмотрим изолированную систему из двух материальных точек (их скорости много меньше скорости света). Dv₁,Dv₂ - приращения скоростей м.т. за одинаковый Dt. Из опыта: m₁Dv₁=–m₂Dv₂,где m₁, m₂ - положительные величины, не зависящие от характера взаимодействия между м.т., от Dv₁ и Dv₂,а зависящие только от самих м.т. Тогда m₁, m₂ – инертные массы м.т. 1 и 2.

Импульс: p=m×u- импульс м.т. Импульс системы м.т. - p=p₁+p₂+...+p_n

Сила: Сила - любая причина, изменяющая импульс движущегося тела (мера взаимодействия). Одно из количественных определений: mr¢¢=F.

Законы Ньютона:

I. Существуют такие системы отсчета, в которых изолированная точка движется прямолинейно и равномерно (инерциальные системы отсчета).

II. (уравнения движения м.т.): (mu)¢=F.(в исо)

III. Силы взаимодействия двух м.т. равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей их.

В замкнутой системе из двух м.т. p₁+p₂=const(из m₁×Dv₁=-m₂×Dv₂) Þp₁¢=-p₂¢ Þ F₁=-F₂

Следствие из III (закон сохранения импульса замкнутой системы м.т.): (1) , где (2) - полная внутренняя сила, действующая на j-тую частийу системы м.т.,

(3) - полная внешняя сила, действующая на j-тую частийу системы м.т.

Тогда (4)Þ(5)

Инвариантность:

S - исо, S¢ движется относительно S с V(V<<c).

V

r¢

r

O¢

O

S¢

S

z¢

z

y¢

y yyyy

М

Замкнутая система – это система, удалённая от остальных тел, на которую не оказывается действие.

Рассмотрим изолированную систему из двух мат. Точек, после взаимодействия их скорости изменятся на DV1 DV2

Векторы будут связаны так: m1V1 = -m2V2, коэфициенты m1,m2 называются массами

Опр. Величина mv = p называется импульсом материальной точки, импульс системы – это сумма импульсов всех её точек. Импульс замкнутой системы из двух точек неизменен.

Сила.

Под силой в механике Ньютона принимается любая причина изменяющая импульс движущегося тела.

Рассмотрим Инерциальную систему отсчёта:

dp/dt = t/dt*(mv) = F

Величина называется силой, действующей на тело, очевидно, сила – векторная величина.

Второй закон Ньютона: Таким образом в И.С.О. поизводная импульса по времени равна силе действующей на тело.

Рассмотрим две точки в И.С.О.:

P1+p2=const,следовательно dp1/dt + dp2/dt = 0

Следовательно F1 = -F2, где F1 и F2 – силы взаимодействия

Третий закон Ньютона: То есть силы взаимодействия двух мат. Точек равны по величине и противополжны по направлению. Действуют они по прямой, соединяющей эти две точки.

Т.к. r = r’ + Vt’, t=t’

dr/dt = dr’/dt + V = dr’/dt’ + V’.

v = v’ + V –закон сложения скоростей

dv/dt = dv’/dt = dV/dt , a = a’

Сис. Отсчёта, двигающаяся равномерно и прямолинейно относительно И.С.О. – является И.С.О.

Так как F=F’ следовательно сила инвариантна относительно преобразований Галилея.Ускорение тоже инвар.

Следовательно, уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобр. Галилея.

Вопрос 2.