Приклади розв’язування задач. Приклад 7.1. Плоска фігура масою являє собою квадрат з стороною з симетричним круглим вирізом радіуса

Рис. 7.1

Приклад 7.1. Плоска фігура масою являє собою квадрат з стороною з симетричним круглим вирізом радіуса . Знайти момент інерції фігури відносно перпендикулярної осі , що проходить через вершину квадрата, рис.7.1.

Розв’язок: Поверхнева густина фігури (маса одиниці її площі) . Момент інерції фігури буде рівний моменту інерції суцільного квадрата масою

,

якщо від нього відняти момент інерції круга з масою

,

відміченого на рисунку 2 штриховою лінією.

Рис. 7.2

Момент інерції круга відносно осі зручно визначити за теоремою Штейнера, знаючи момент інерції відносно центральної осі :

.

Рис. 7.2 для квадрата виділимо нескінченно малий елемент поверхні з масою на відстані від осі . Запишемо для нього момент інерції і, про інтегрувавши по всій площі, визначимо момент інерції всього квадрата:

На кінець:

.

Приклад 7.2. Знайти співвідношення між трьома головними моментами інерції плоскої фігури і використати його для обчислення моменту інерції диска відносно головної осі, що лежить в площині диска, рис. 7.3.

Рис. 7.3

Розв’язок: Нехай і - головні осі інерції; тоді, як випливає з рисунка і означення головних моментів інерції,

.

Звідси випливає, що для суцільного тонкого однорідного диска масою і радіусом

.

Рис. 7.4

Приклад 7.3. Вивести формулу для моменту інерції циліндричної муфти відносно осі, що співпадає з її віссю симетрії, рис.7.4. Маса муфти рівна , внутрішній радіус , зовнішній радіус .

Приклад 7.4. На горизонтальну вісь насаджено шків радіуса . На шків намотано шнур, до вільного кінця якого підвісили вантаж масою , рис. 7.5. Вважаючи, що маса шківа рівномірно розподілена по ободу, визначити прискорення , з яким буде опускатися вантаж, силу натягу нитки і силу тиску шківа на вісь.

Рис. 7.5

Розв’язок: оскільки прискорення центра інерції шківа =0 і шків тільки обертається, рівняння руху для нього запишуться у вигляді:

На шків діють сили: тяжіння , натягу нитки і реакція осі. Остання, згідно третього закону Ньютона чисельно рівна шуканій силі тиску шківа на вісь. Очевидно, сила напрямлена вертикально вгору, оскільки тільки в цьому випадку може виконуватися співвідношення . Всі вектори колінеарні, отже можна записати дане рівняння в скалярній формі: . Шків обертається під дією тільки моменту сили . Отже з рівняння маємо: . Момент інерції шківа, оскільки його маса розподілена по ободу рівномірно рівний . Рівняння, що описують рух шківа містять три невідомих: . Ще одне рівняння запишемо, застосувавши другий закон Ньютона для поступального руху вантажу: . Оскільки шнур змотується з шківа без проковзування, прискорення вантажу рівне прискоренню точок на ободі шківа. Отже . Підставивши в рівняння значення , знайдемо:

Приклад 7.5. Система, що складається з циліндричного катка радіуса і гирі, зв’язаних ниткою, перекинутою через блок, під дією сили тяжіння гирі починає рухатись із стану спокою, рис. 7.6. Визначити прискорення центра інерції катка і силу натягу нитки. Яку швидкість набуде гиря, якщо вона опуститься з висоти ? Маса циліндра , маса гирі , масою блока знехтувати. Вважати, що циліндр котиться по горизонтальній поверхні без ковзання. Тертям кочення знехтувати.

Рис. 7.6

Розв’язок: Циліндр, що котиться, бере участь у двох рухах: обертається навколо осі і рухається поступально з швидкість осі. Тому скористаємося рівняннями руху твердого тіла і . На каток діють чотири сили: сила натягу нитки, сила тяжіння , сила тиску опори і сила тертя спокою . Остання сила зумовлена тим, що каток не ковзає, а котиться по площині, в той час як перші три сили, що проходять через вісь не можуть викликати обертання тіла. Оскільки сили і врівноважуються (прискорення по вертикалі немає), їх не враховують. Можливі два шляхи розв’язку задачі, пов’язані з двома способами вибору осі обертання тіла:

1. Нехай вісь обертання співпадає з геометричною віссю циліндра, що проходить через центр інерції катка. Отже, ми будемо розглядати кочення тіла як суму двох рухів: поступального з швидкістю центра інерції і обертального навколо осі, що проходить через центр інерції. Для поступального руху на основі закону , одержимо:

. (1)

Оскільки обертовий момент відносно осі циліндра створює тільки сила тертя, то, згідно , маємо: , або

. (2)

Рівняння (1) і (2) містять три невідомих: . Ще одне рівняння запишемо, застосувавши другий закон Ньютона для гирі, прискорення якої, очевидно, дорівнює прискоренню центра інерції катка:

(3)

Розв’язавши систему (1), (2), (3), знайдемо невідомі величини :

; .

Знаючи прискорення гирі, знайдемо шукану швидкість за відомою формулою швидкості рівно змінного руху;

2. За вісь обертання виберемо вісь, яка проходить через точку дотику циліндра з площиною (точка О на рисунку), тобто будемо розглядати кочення тіла як обертання навколо миттєвої осі. Обертаючим моментом відносно цієї осі є момент сили , тому, на підставі рівняння , одержимо:

(4)

Момент інерції циліндра відносно цієї осі знайдемо, використовуючи теорему Штейнера:

(5)

Як і в першому випадку, записавши другий закон Ньютона для гирі (3), з рівнянь (4) і (3) з врахуванням співвідношень (5) і знайдемо значення прискорення і сили . Швидкість гирі знаходимо так само, як і в першому випадку.

Приклад 7.6.Тонкий однорідний стержень довжиною , рис. 7.7, може обертатися навколо горизонтальної осі, що проходить через кінець стержня перпендикулярно до нього. Стержень відхилили на 90⁰ від положення рівноваги і відпустили. Визначити швидкість нижнього кінця стержня в момент проходження положення рівноваги.

Рис. 7.7

Розв’язок: Стержень обертається навколо осі під дією моменту сили тяжіння. Оскільки при опусканні стержня цей момент зменшується, обертання стержня не буде рівно змінним, тому застосовувати основне рівняння динаміки обертового руху тут недоцільно.

Скористаємося законом збереження енергії. Оскільки в даному випадку відсутні сили тертя, енергія стержня (точніше, системи стержень-Земля) не змінюється під час його руху, тому , де - це потенціальна енергія піднятого стержня, - кінетична енергія його обертового руху, якщо прийняти за нульовий відлік висоти ( ) такий, що проходить через центр ваги стержня в його нижньому положенні. Отже:

, .

Прирівнюючи праві частини останніх двох рівностей і враховуючи, що момент інерції стержня відносно осі, що проходить через його кінець, рівний:

,

а також, що , одержимо для шуканої швидкості:

.

Приклад 7.7. Розв’язати задачу 3 на основі закону збереження енергії.

Розв’язок: Аналізуючи умову задачі 3, ми вияснили, що на каток діє сили тертя. Незважаючи на це, до системи каток-гиря можна застосувати закон збереження механічної енергії, оскільки ця сила є сила тертя спокою. На відміну від сили тертя ковзання і тертя кочення ця сила не виконує роботи, пов’язаної із зменшенням механічної енергії системи.

Початкова енергія системи є потенціальною енергією піднятих над Землею тіл. При цьому, оскільки потенціальна енергія катка за весь час його руху не змінюється, взагалі не будемо її враховувати при складанні рівняння, що виражає закон збереження енергії. Виберемо нульовий рівень відліку висоти таким, що проходить через центр ваги опущеної гирі ( ). Тоді одержимо:

(1)

Будемо розглядати кочення циліндра як результат двох рухів: поступального з швидкість центра інерції і обертового навколо осі, що проходить через центр інерції. Тоді кінцева енергія системи, коли гиря опуститься з висоти , буде рівна:

(2)

Перші два члени в правій частині (2) виражають кінетичну енергію поступального і обертового рухів катка. Прирівнюючи на підставі закону збереження енергії праві частини (1) і (2), одержимо:

(3)

Враховуючи співвідношення і , з рівняння (3) знайдемо швидкість гирі:

(4)

Визначимо прискорення катка, що дорівнює прискоренню гирі, прийнявши до уваги, що розглядувана система рухається під дією постійних сил і, отже, її прискорення стале. Порівнюючи вираз (4) з формулою швидкості рівно змінного руху , одержимо для прискорення попередню відповідь:

.

Для розрахунку сили натягу нитки ще раз скористаємося законом збереження енергії. На підставі цього закону робота, що виконується силою , прикладеною до центра інерції катка, при переміщенні останнього на відстань дорівнює кінетичній енергії, отриманій катком при цьому переміщенні, тобто:

.

Звідси знаходимо силу :

.

Зауваження. Порівнюючи різні методи розв’язування задачі 3, зробимо висновки, що відносяться до будь-якої системи зв’язаних між собою тіл (чи одного тіла), що рухаються тільки під дією сил тяжіння і реакцій в’язей: 1) для визначення кінцевої швидкості тіл доцільно застосовувати метод, що ґрунтується на законі збереження енергії. При цьому можна не розглядати сили, що діють на систему, достатньо переконатись у відсутності серед них сил тертя, що розсіюють механічну енергію системи; 2) для визначення сил і прискорень слід користуватися рівняннями руху твердого тіла.

Приклад 7.8 Кругла платформа радіуса =1,00 м, момент інерції якої = 130 кг м², обертається за інерцією навколо вертикальної осі з частотою =1,00 об/с. На краю платформи стоїть людина, маса якої =70 кг. Скільки обертів за секунду буде здійснювати платформа, якщо людина перейде в її центр? Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

Розв’язок: Переміщаючись по платформі, людина взаємодіє з нею. Про характер цієї взаємодії нам нічого не відомо, тому основне рівняння динаміки обертового руху до платформи застосовувати неможливо. Також у нас немає підстав і для використання закону збереження енергії, оскільки не виключено, що, переміщуючись по платформі, що обертається, людина буде виконувати роботу, змінюючи енергію системи платформа-людина.

Врахуємо, що згідно умови задачі, платформа з людиною обертається за інерцією. Це означає, що результуючий момент всіх зовнішніх сил, прикладених до системи, що обертається, дорівнює нулю. Отже, для системи платформа-людина виконується закон збереження моменту імпульсу, який запишемо так:

(1)

Знайдемо початковий момент імпульсу системи (людина стоїть на краю платформи) і кінцеве його значення (людина стоїть в центрі платформи):

, (2)

де - момент інерції людини, - початковий момент інерції системи, - її початкова кутова швидкість;

(3)

де і - кінцеві момент інерції і кутова швидкість системи. Тут враховано, що момент інерції людини, що стоїть в центрі платформи рівний нулю. Розв’язуючи систему (1) – (3), одержуємо:

Підставивши в цю формулу числові значення заданих величин і виконуючи розрахунки, знаходимо: =1,5 об/с.

Зауваження: Ми бачимо, що при зменшенні моменту інерції системи, пов’язаному з переміщенням людини в центр платформи, збільшилася кутова швидкість обертання системи: . Отже повинна мати місце нерівність , а це означає збільшення кінетичної енергії системи, що обертається. Таким чином, зроблене нами на початку припущення про те, що людина, переміщуючись від краю платформи до її центру, виконує роботу, змінюючи механічну енергію системи, відповідає дійсності. Розв’язок задачі, що ґрунтується на сталості механічної енергії системи, був би невірним. Закон збереження енергії дозволяє тільки розрахувати роботу, здійснену людиною, як величину, рівну зміні механічної енергії системи:

.

Приклад 7.9. Маховик, рис. 7.8, що має вигляд диска радіуса і масою , може обертатися навколо горизонтальної осі. До його циліндричної поверхні прикріплено шнур, до другого кінця якого підвішений вантаж масою . Вантаж був при піднятий а потім відпущений. Вільно впавши з висоти , вантаж натягнув шнур і завдяки цьому привів маховик до обертання. Яку кутову швидкість отримав при цьому маховик?

Рис. 7.8

Розв’язок: Коли вантаж, що падає, натягує шнур, виникає взаємодія між вантажем і маховиком. Ми нічого не знаємо про характер цієї взаємодії, що залежить від пружних властивостей тіл (в основному шнура). Відомо тільки, що в результаті цієї взаємодії збільшується швидкість точок циліндричної поверхні маховика і зменшується швидкість падіння вантажу. Шнур розтягається до тих пір, поки ці швидкості не стануть однаковими. Таку досить короткотривалу взаємодію між вантажем і маховиком можна розглядати як непружний удар. Як і при всякому непружному ударі, закон збереження механічної енергії тут не виконується.

Однак до системи вантаж-маховик можна застосувати закон збереження моменту імпульсу. На цю систему діють три зовнішніх сили: сила тяжіння диска, реакція опори і сила тяжіння вантажу. Оскільки перші дві сили проходять через вісь диска, їх момент відносно цієї осі рівний нулю. Дією моменту сили тяжіння вантажу, що рівний , підчас удару можна знехтувати порівняно з моментом дуже великих сил взаємодії вантажу і маховика при ударі. Таким чином, можна вважати результуючий момент всіх зовнішніх сил відносно осі диска під час удару рівним нулю. Тоді за законом збереження моменту імпульсу:

(1)

де і - моменти імпульсу системи вантаж-маховик відповідно на початку і в кінці удару.

Оскільки на початку удару диск був ще нерухомий, величина являє собою момент імпульсу падаючого вантажу відносно осі обертання диска. Приймаючи вантаж за матеріальну точку, одержимо:

(2)

де швидкість гирі знайдемо з формули вільного падіння

(3)

Величина рівна сумарному моменту імпульсу гирі і диска, що обертається, коли швидкість вантажу і точок циліндричної поверхні диска стали однаковими:

(4)

де величини і пов’язані співвідношенням

(5)

Підставимо в рівняння (1) значення і з (2) і (4). Розв’язавши його відносно з врахуванням формул (3), (5) і виразу для моменту інерції суцільного циліндра, одержимо:

.

Приклад 7.10. Маятник, рис. 7.9, у вигляді однорідного кулястого тіла, жорстко скріпленого з тонким стержнем, довжина якого дорівнює радіусу тіла, може гойдатися навколо горизонтальної осі, що проходить через кінець стержня. В тіло, нормально до його поверхні вдарилася куля масою =10,0 г, що летіла горизонтально з швидкістю = 800 м/с, і застрягла в тілі. Маса тіла =10,0 кг, радіус його =15 см. На який кут відхилиться маятник в результаті удару кулі? Масою стержня знехтувати.

Рис. 7.9

Розв’язок: Як видно з рисунка, шуканий кут пов'язаний з висотою підйому центра тіла:

(1)

Оскільки величина визначає потенціальну енергію, отриману тілом внаслідок удару кулі, з’ясуємо можливість застосування закону збереження енергії. Оскільки в результаті удару кулі в тіло швидкості обох тіл стануть однаковими, цей удар слід вважати непружним. Отже, механічна енергія в процесі удару не зберігається (частково переходить у внутрішню енергію). Однак після удару механічна енергія рухомої системи маятник-куля буде зберігатися, оскільки тепер в ній діють тільки потенціальні сили. Отже при підйомі тіла разом з кулею кінетична енергія обертового руху системи буде перетворюватися в потенціальну енергію піднятих тіл. За законом збереження енергії

, (2)

де - момент інерції маятника разом з застряглою в ньому кулею, - висота підйому кулі. Строго кажучи, не знаючи, в якому місці тіла застрягла куля, ми не можемо розрахувати величини і . Однак, за умовою задачі, , тому, нехтуючи масою кулі в порівнянні з масою тіла, відкинемо величину у рівнянні (2) і знайдемо момент інерції маятника:

(3)

Тепер визначимо кутову швидкість , яку отримає система в результаті удару кулі. Скористаємося законом збереження моменту імпульсу. Можливість застосування цього закону ґрунтується на наступному. Під час удару на систему маятник-куля зовні діють сили тяжіння і реакції опори. Друга сила проходить через вісь обертання, тому її момент рівний нулю. Враховуючи, що за час удару маятник не встигає помітно відхилитися по вертикалі, і беручи до уваги умову , можна вважати, що і перша сила під час удару проходить через вісь і, отже, її момент також рівний нулю. Отже, згідно закону момент імпульсу системи під час удару кулі буде зберігатися. Позначивши через і моменти імпульсу системи відповідно на початку і в кінці процесу удару, можна записати

= (4)

Величина це момент імпульсу рухомої кулі відносно осі обертання маятника (сам маятник поки що нерухомий). На основі означення маємо:

.

Момент імпульсу маятника із застряглою в ньому кулею рівний:

(6)

Розв’язуючи систему (4) – (6), одержуємо для кутової швидкості:

(7)

Виключивши з системи (1) – (3), (7) невідомі , знайдемо:

Підставивши в цю формулу числові значення величин, виражені в одиницях СІ, одержимо:

; 26⁰

Приклад 7.11. Монета, рис. 7.10, котиться по горизонтальній поверхні стола без ковзання з лінійною швидкістю , описуючи коло радіуса ( - радіус) монети. Знайти кут нахилу монети до горизонту.

Рис. 7.10

Розв’язок: Монета обертається по колу з кутовою швидкістю і одночасно обертається навколо своєї осі симетрії з кутовою швидкістю . Оскільки за умовою , то монету можна вважати гіроскопом з моментом інерції і власним моментом імпульсу

(1)

де - швидкість центра мас монети.

Перейдемо в неінерціальну систему відліку, в якій центр мас нерухомий. Всі прикладені до гіроскопа сили – тяжіння , нормальної реакції , тертя і відцентрова - зрівноважені. Як видно з рисунка, умовами рівноваги будуть:

і (2)

Сумарний момент цих сил відносно точки , у відповідності з рівнянням руху гіроскопа

(3)

Призводить до прецесії гіроскопа, тобто до обертання його власного моменту імпульсу навколо осі, що проходить через «закріплену» точку , з кутовою швидкістю прецесії . Ненульові моменти сил відносно точки створюють тільки сили тертя і реакції, прикладені в точці дотику монети і стола (відрізок на рисунку лежить у вертикальній площині).

Але монета завжди нахилена до центра траєкторії. Тому кутові швидкості прецесії і обертання по колу повинні співпадати: . Кут між векторами і дорівнює . В проекції на горизонтальну площину рівняння (3) запишеться у вигляді:

.

Після підстановки формул (1) і (2) і в’язей , одержимо:

,

звідки

(4)

Відмітимо, що якщо б монета ковзала по колу радіуса на гладкій поверхні не обертаючись, то у вибраній неінерціальній системі відліку слід було б записати умову рівноваги моментів сил відносно точки :

,

звідки

.

Такий кут нахилу, на відміну від виразу (4) мав би, наприклад, ковзаняр, що ковзає по віражу.

Приклад 7.12. Акселерометр, рис.7.11, що використовується в авіації, являє собою гіроскоп, точка підвісу якого знаходиться вище центра мас. Характеристики його наступні: маса г, момент інерції кг м², відстань від точки підвісу до центра мас см, частота обертання об/хв.. При рівномірному русі літака вісь обертання гіроскопа розташована вертикально, при прискореному – відхилена від вертикалі. Знайти величину і напрям відхилення осі гіроскопа у випадку, коли літак на протязі с рухається з горизонтальним прискоренням м/с².

Рис. 7.11

Розв’язок: Перейдемо в неінерціальну систему відліку, в якій точка підвісу гіроскопа нерухома. В цій системі, крім сили тяжіння , ненульовий момент відносно точки може створювати тільки сила інерції .

З рівняння гіроскопа

(1)

випливає, що гіроскоп, взагалі кажучи, повинен здійснювати прецесію під дією двох моментів сил. При цьому вісь обертання гіроскопа, попередньо орієнтована вздовж вертикальної осі почне відхилятися від вертикалі на кут . Однак цей кут настільки малий, що моментом сили тяжіння

Задачі для самостійного розв’язування можна знехтувати, порівняно з моментом сили інерції .

Тому можна вважати, що прецесія відбувається тільки під дією моменту , і вісь гіроскопа під час прискорення літака почне повертатися навколо горизонтальної осі з кутовою швидкістю прецесії .Згідно рівняння (1)

,

звідки

.

За час прискорення кут повороту складе:

рад.= .

Тепер переконуємось в справедливості наближення: моментом сили тяжіння, під дією якого вісь гіроскопа буде практично непомітно прецесію вати навколо вертикальної осі , можна знехтувати.