Соударение двух тел

Рассмотрим количественные соотношения, которые получаются при описании различных соударениях двух тел.

Обычно рассматривают два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно упругий удар – это удар, при котором сохраняется полная механическая энергия.

Нахождение скоростей даже двух материальных точек после абсолютно упругого удара в лабораторной системе отсчета в общем виде – довольно громоздкая задача. Однако в системе центра масс эта задача имеет простое решение.

Допустим, в лабораторной системе импульс первого шарика (материальной точки) равен , а второго шарика – . Тогда скорость V_c центра масс системы двух шариков равна (18.6):

.

Переходя в систему центра масс и используя преобразования Галилея (8.3), имеем:

– скорость первого шарика в системе центра масс равна: .

– скорость второго шарика в системе центра масс равна: .

Тогда импульс первого шарика в системе центра масс равен:

;

Импульс второго шарика в системе центра масс равен:

.

Как и следовало ожидать, сумма импульсов двух шариков в системе центра масс равна нулю.

После удара сумма импульсов в системе центра масс после удара также должна быть равной нулю, так как мы предполагаем систему шариков замкнутой. Это значит, что импульсы шариков после удара будут равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Скорости шариков после удара изменят свое направление в системе центра масс на некоторый угол, который определяется начальными условиями (центральный или косой удары). Модули же импульсов останутся неизменными: . Покажем это, используя закон сохранения энергии. Кинетические энергии шариков до удара равны:

.

Вследствие выполнения закона сохранения механической энергии при абсолютно упругом ударе, суммарная кинетическая энергия шариков после удара должна остаться прежней:

и .

Таким образом, в системе центра масс абсолютно упругий удар двух шариков приводит к тому, что импульсы шариков по модулю не изменяются, меняется только направление их движения, определяемое начальными условиями.

Теперь, чтобы определить конечные импульсы шариков в лабораторной системе, необходимо применить опять преобразования Галилея (8.3).

. (*)

. (**)

Здесь вектор е_1к– единичный вектор, проведенный по направлению конечного импульса первого шарика в системе центра масс.

Эти выражения позволяют довольно легко ответить на вопрос, какая энергия в среднем передается при хаотических соударениях шариков различных масс. Полученный результат нам пригодится при рассмотрении хаотического движения атомов и молекул газа, и позволит уяснить физический смысл температуры газа.

В силу хаотичности движения шариков, их скорости должны иметь беспорядочные направления. Отсюда следует, что средние значения скалярных произведений áv₁×v₂ñ, áv₁×е_1кñ и áv₂×е_1кñ должны быть равны нулю. Тогда, используя выражение (*), получим, что среднее приращение энергии первого шарика áDЕ₁ñ в результате многочисленных столкновений будет равно,

,

где р_1к и р₂ – конечный и начальный импульсы шариков;

– средние начальная и конечная их кинетические энергии.

Отсюда следует, что если средняя энергия второго шарика больше чем средняя энергия первого шарика, то в результате хаотических столкновений первый шарик в среднем будет получать энергию от второго шарика. Процесс передачи энергии будет продолжаться до тех пор, пока средние энергии шариков не уравняются. Этот важный результат показывает, что средние энергии атомов и молекул в равновесном состоянии будут равны, даже если массы атомов различны.

Рассмотрим с помощью полученных результатов частный случай – центральный удар шаров. Это означает, что векторы начальных скоростей обоих шаров лежат на прямой, соединяющей их центры. Она называется линией центров.

Рассмотрим этот удар в системе центра масс.

Очевидно, что и скорость центра масс и конечные скорости шаров после удара лежат на этой же прямой. Это означает, что в системе центра масс и начальные ( )и конечные( ) векторы импульсов должны также лежать на линии центров. Следовательно, конечный импульс первого шара может быть равен либо его начальному импульсу (это означало бы , что шары еще не претерпели столкновения), либо должен быть направлен в противоположную сторону:

. (***)

А поскольку , то в системе центра масс абсолютно упругий центральный удар шаров приводит к обмену шаров импульсами.

Непосредственно из (*) и (**) с учетом (***) следует:

;

.

Следовательно,

; .

В качестве примера рассмотрим случай, когда один из шаров покоится, например, т₂. Так как v₂ = 0, то и

; .

Направим одну из осей координат вдоль линии центров по направлению скорости v₀ налетающего шара m₁. Тогда,

.

Для анализа полученного результата, введем параметр , характеризующий отношение масс, сталкивающихся шаров. Тогда скорости шаров после удара будут равны: . Построим графики полученных зависимостей. По оси абсцисс будем откладывать параметр k, а по оси ординат отношение скорости шара после удара к начальной скорости налетающего шара. Кривая 1 относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся. Из анализа этих кривых можно сделать следующие выводы:

– если масса налетающего шара меньше , то его скорость станет отрицательной, т.е. он отлетит после удара в обратную сторону;

– если массы шаров равны т₁ = т₂ (k =1), то шары обменяются скоростями;

– с ростом массы т₁ налетающего шара его скорость после удара будет стремиться к v₀, а скорость отскочившего шара к 2 v₀. Это максимальная скорость, которую может приобрести отлетающий шар.

Зная конечные скорости шаров v₁ и v₂, легко вычислить их импульсы р₁ и р₂.

; ,

где – начальный импульс налетающего шара.

Построим графики зависимостей импульсов разлетевшихся шаров от параметра k. По оси ординат будем откладывать отношение импульсов шаров р₁ и р₂ к начальному импульсу налетающего шара р₀. Кривая 1 по-прежнему относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся. Из анализа этих кривых можно сделать следующие выводы:

– при налетающий шар приобретает импульс противоположный начальному импульсу р₀, а второму шару сообщается удвоенный начальный импульс р₀;

– при равных массах (k = 1) шары обмениваются импульсами;

– при соотношении масс шары после удара имеют одинаковые модули импульсов, равные 0,5р₀;

– при дальнейшем росте массы т₁налетающий практически не меняет своего импульса р₀,а импульс второго шара стремится к .

Вычислим кинетические энергии разлетающихся шаров.

; ,

где – начальная кинетическая энергия налетающего шара.

Построим графики зависимостей кинетических энергий Е₁ и Е₂ разлетевшихся шаров от параметра k, при этом по оси ординат будем откладывать отношение энергий шаров Е₁ и Е₂ к начальной энергии налетающего шара Е₀. Кривая 1 по-прежнему относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся. Проанализируем полученные кривые.

а) Каждому значению энергии Е/Е₀ соответствуют два значения k₁ и k₂, причем k₁ = 1/k₂. Действительно, легко убедиться, что и . Поясним, что это означает, на следующем примере. Допустим, что один шар тяжелее другого в три раза. Независимо от того, какой из шаров покоится, налетающий шар потеряет три четверти своей первоначальной энергии, т.е. у него останется 0,25Е₀.

б) При значениях k₁=0,1716 и энергии разлетающихся шаров равны.

Рассмотрим теперь абсолютно неупругий удар.

Закон сохранения импульса для нашего случая запишется в виде:

.

Отсюда скорость U шаров, которые после неупругого удара движутся вместе, будет равна:

.

Спроектируем это векторное равенство на ось, совпадающую по направлению с вектором v₀.

Тогда импульс р₁ первого шара и импульс р₂ второго шара после удара будут равны:

Проследить, как изменяются импульсы шаров р₁ и р₂ после неупругого удара, можно построив графики соответствующих зависимостей от параметра . При этом по оси ординат будем откладывать отношение импульсов шаров р₁ и р₂ к начальному импульсу налетающего шара р₀. Кривая 1 по-прежнему относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся.

Вычислим кинетические энергии шаров после неупругого удара.

.

Потери механической энергии DЕ после неупругого удара будут равны, очевидно, разности

.

Построим графики зависимостей кинетических энергий Е₁ и Е₂ шаров от параметра k. По оси ординат будем откладывать отношение энергий шаров Е₁, Е₂ и DЕ к начальной энергии налетающего шара Е₀. Кривая 1 по-прежнему относится к налетающему шару, кривая 2 к покоящемуся, а кривая 3 к потерям механической энергии после неупругого удара.

Анализируя полученные зависимости, можно сделать следующие выводы:

– при равной массе шаров (k =1) кинетическая энергия второго шара равна 0.25 энергии налетающего шара, и это максимальная доля начальной энергии, которую может получить второй шар. Для сравнения, при упругом ударе налетающий шар может полностью передать свою кинетическую энергию покоящемуся шару;

– с ростом k (c увеличением массы m₁) потери механической энергии DЕ приближаются к кинетической энергии Е₂ второго шара;

– кривая 3 может служить для определения коэффициента полезного действия h удара. Например, если производится процесс ковки металлов, то полезными являются потери механической энергии, и отношение DЕ/Е₀ равно к.п.д. h. Если происходит процесс забивания гвоздей или свай, полезной является оставшаяся механическая энергия, и к.п.д. процесса будет определяться разностью h = 1– DЕ/Е₀.