Условия равновесия механической системы

Рассмотрим материальную точку, потенциальная энергия которой зависит только от пространственных координат. Например, шарик движется в вертикальной плоскости вдоль жесткой изогнутой гладкой проволоки (рис.17.1).

Тогда график зависимости потенциальной энергии шарика в гравитационном поле (13.8) от координаты x будет повторять профиль изогнутой проволоки. Поскольку сила реакции поверхности проволоки всегда перпендикулярна скорости движения шарика, то работу эта сила не совершает. Если пренебречь силами трения, то закон сохранения энергии для шарика можно записать в виде:

(E_кин + U_пот) = const. (17.1)

Условие экстремума данной функции требуют равенства нулю производных в этих точках, т.е. , Это равнозначно тому, что в этих точках F_x = 0 (см. 15.3). Следовательно, если в этих точках шарик покоится, то он будет находиться в равновесии. Таких точек на графике две – x_0у и x_0н. Эти точки отличаются тем, что в первой точке шарик будет находиться в устойчивом равновесии, а во второй – нет. Силы, возникающие при небольшом смещении шарика из положения устойчивого равновесия, стремятся вернуть шарик в исходное положение. При неустойчивом равновесии аналогичные силы стремятся вывести шарик еще дальше от положения равновесия. Из 15.3 следует, что направление x-составляющей силы можно определить по знаку производной: .

Например, справа от точки x_0у производная U(x) положительная (потенциальная энергия растет) и, следовательно, проекция F_x отрицательная, а это значит, что составляющая силы F_x действует противоположно направлению оси, т.е. стремится вернуть шарик в точку x_0у. Следовательно, положение шарика в точке x_0у будет устойчивым. Аналогично можно показать, что положение шарика в точке x_0н будет неустойчивым.

Анализируя приведенный график зависимости U(x), можно сделать еще несколько заключений.

Если полная энергия шарика равна U₀, то его движение может происходить только в областях либо x₁ < x <x₂ , либо x >x₃.

Для того чтобы шарик мог попасть в область x <x₁ ему необходимо иметь потенциальную энергию, превышающую его полную энергию, и поэтому шарик не может покинуть область x₁ < x <x₂, и такое движение называется финитным.

Говорят, что шарик находится в потенциальной яме, а величина U₁ –U₂ называется глубиной потенциальной ямы. Если, находясь на дне потенциальной ямы (точка x_0у), шарик будет иметь энергию, превышающую ее глубину, то шарик сможет покинуть эту яму, если нет, то он будет совершать финитное движение.

Если внутри потенциальной ямы шарик уже имеет некоторую энергию U₀, то разница между максимальной потенциальной энергией и его полной энергией U₁ – U₀ называется высотой потенциального барьера, через который шарик не может проникнуть, имея данный запас полной энергии.

В области x >x₃ шарик может удалиться от точки x₃ сколь угодно далеко вправо, и такое движение называется инфинитным.