Потенциальная энергия упругой деформации

Силы упругости, возникающие при упругой деформации, являются потенциальными.

Fупр

Δl

Δl

kΔl

Рассмотрим пружину жесткостью k. Один ее конец закрепим, а за другой конец будем ее растягивать. По закону Гука зависимость силы упругости от величины деформации пружины имеет вид: . Эта зависимость линейная. Графиком такой зависимости является прямая, проходящая через начало координат. На графике зависимости силы от перемещения совершенная работа численно равна площади под графиком. Значит при растяжении пружины на Δl Работа силы упругости численно равна площади заштрихованного треугольника: . Но работа силы упругости отрицательна, так как сила упругости всегда направлена в сторону противоположную направлению деформации: . Значит потенциальная энергия упругой деформации равна:

Заметим, что здесь мы приняли, что при недеформированном состоянии энергия пружины равна нулю. Чаще всего именно так и принимается. Хотя это необязательно и в некоторых случаях за ноль энергии упругой деформации бывает лучше принять энергию деформированной пружины.

Пусть пружина растянута на величину Δl₁. При дополнительном ее растяжении до величины Δl₂ сила упругости совершает работу:

а работа внешней силы равна:

Закон сохранения энергии

Рассмотрим систему тел. На каждое тело системы действуют как внутренние так и внешние силы. Запишем изменение кинетической энергии для каждого тела системы:

Сложим все эти уравнения и получим:

Обозначим:

суммарные начальная и конечная кинетические энергии системы тел, а

суммарная работа всех внутренних и внешних сил, действующих на систему тел. Тогда можно написать:

Разложим внутренние силы системы на потенциальные и непотенциальные. Тогда работа всех внутренних сил равна сумме работ внутренних потенциальных и непотенциальных сил: . Но работа потенциальных сил равна изменению потенциальной энергии системы, взятой с обратным знаком:

Значит можно написать:

Сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной механической энергией системы:

Окончательно можно написать:

Это и есть закон сохранения механической энергии. Читается так: изменение полной механической энергии системы тел равно сумме работ внешних сил и внутренних непотенциальных сил.

Если система тел замкнута и в ней не действуют внутренние непотенциальные силы, то полная мехеническая энергия системы должна оставаться постоянной. Тела системы могут взаимодействовать друг с другом, потенциальная и кинетическая энергия системы по отдельности могут изменяться, но их сумма в любой момент времени должна оставаться постоянной. То есть кинетическая энергия может переходить в потенциальную и наоборот при сохранении полной механической энергии.

Смысл закона сохранения энергии состоит в том, что энергия ниоткуда не берется и в никуда не исчезает. Она может только переходить из одних форм энергии в другие. Например, из кинетической в потенциальную, из механической во внутреннюю и так далее.

В механических системах тел самыми распространенными непотенциальными силами являются силы трения. Так как сила трения скольжения всегда направлена противоположно скорости, то ее работа всегда отрицательна. То есть, если в системе тел действуют силы трения, то работа внутренних непотенциальных сил всегда отрицательна. То есть внутренние непотенциальные силы чаще всего уменьшают механическую энергию системы. А куда же девается уменьшающаяся энергия? Все мы из опыта знаем, при трении тел всегда происходит их нагревание, то есть выделяется количество теплоты. Так вот результатом работы сил трения скольжения всегда является выделение теплоты. А сообщение системе теплоты приводит к увеличению ее внутренней энергии. Таким образом, наличие в системе тел сил трения приводит к тому, что часть механической энергии системы переходит во внутреннюю энергию, но при этом полная энергия системы остается постоянной. То есть можно написать: и закон сохранения энергии при наличии в системе тел сил трения можно записать так:

Столкновения тел

Рассмотрим столкновение двух тел. На практике встречается очень много видов столкновений Мы здесь рассмотрим только два вида: абсолютно упругие и абсолютно неупругие столкновения.

Абсолютно неупругое столкновение.

Под абсолютно неупругим столкновением обычно понимают случай, при котором сталкивающиеся тела слипаются и после столкновения начинают двигаться как единое целое. Абсолютно неупругое столкновение может встречаться реально. Например, столкновение пластилиновых тел часто является абсолютно неупругим. Рассмотрим случай когда сталкивающиеся тела движутся вдоль одной прямой. Причем, если они до столкновения двигались вдоль одной прямой, то после столкновения они будут двигаться вместе вдоль той же прямой. Это вытекает из закона сохранения импульса, согласно которому суммарный импульс системы тел должен сохраняться как по модулю, так и по направлению.

Пусть имеется два тела массами m₁ и m₂, движущиеся со скоростями v₁ и v₂, направленными вдоль одной прямой. Направим ось Х вдоль этой же прямой. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось Х:

Отсюда сразу находим проекцию скорости тел после столкновения на ось Х:

Кинетическая энергия системы до столкновения равна:

а конечная:

Легко заметить, что начальная и конечная энергии не равны. То есть закон сохранения механической энергии при неупругих столкновениях не выполняется. Причем начальная энергия системы больше конечной энергии на величину:

Куда девалась часть механической энергии. Дело в том, что при неупругих столкновениях происходит необратимая деформация тел и тела при этом нагреваются. То есть, при неупругих столкновениях часть механической энергии переходит во внутреннюю и выделяется количество теплоты Q = ΔW.

Абсолютно упругое столкновение.

Под абсолютно упругим понимают такое столкновение, при котором механическая энергия системы сохраняется. При этом после столкновения тела разлетаются. Мы рассмотрим абсолютно упругое центральное столкновение двух шаров. Центральным называется столкновение, при котором скорости шаров направлены вдоль прямой, соединяющей их центры. При этом после столкновения шары разлетятся, но их скорости будут направлены вдоль той же прямой. Направим ось Х вдоль этой прямой. Обозначим массы шаров m₁ и m₂, их скорости до столкновения v₁ и v₂, а после столкновения u₁ и u₂. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось Х:

В этом уравнении две неизвестные, то есть одного этого уравнения не хватает. Так как при абсолютно упругих столкновениях механическая энергия сохраняется, то можно написать еще и закон сохранения энергии:

Теперь имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными. Перепишем уравнения в следующем виде:

Разделив второе уравнение на первое, получаем:

Умножив обе части последнего уравнения на m₂ и сложив с первым из предыдущих двух, получаем скорость первого шара после столкновения:

Подставив ее в предыдущее уравнение, можно выразить скорость второго шара:

Рассмотрим два частных случая абсолютно упругого столкновения.

1. Пусть массы шаров одинаковы и второй шар до столкновения был неподвижен (v_2x = 0).

Из (*) сразу получаем, что u_1x = 0, а из (**):

То есть, если движущийся шар налетает на такой же неподвижный шар, то после абсолютно упругого центрального столкновения налетающий шар останавливается, а второй начинает двигаться с той же скоростью.

2. Пусть два одинаковых шара движутся навстречу друг другу со скоростями v₁ и v₂.

Из (*) и (**) получаем:

В этом случае шары после столкновения обмениваются скоростями.