Розділ 2. правила наближених обчислень

1. Наближені обчислення. Виконуючи обчислення, слід пам'ятати про ту точність яку треба, або можна одержати. Вкрай неприпустимо вести обчислення з великою точністю, коли дані задачі не дозволяють або не вимагають цього.

Числові значення величин, які ми одержуємо в результаті лабораторного експерименту, є наближеними. Навіть значення констант, які ми беремо з таблиць, також наближені. Так, для прискорення вільного падіння ми беремо g=9,81 м/с², для відношення довжини кола до діаметра π=3,14, для маси електрона m=9,1· 10^-31 кг. Для більш точних обчислень беруть точніші значення:

g = 9,80665 м/с²;

π = 3,1416;

m = 9,106 · 10^-31 кг.

Але і ці значення величин є наближеними або в результаті недостатньої точності вимірювання, або в силу того, що одержані шляхом округлення більш точних значень.

Дуже часто люди, що не мають певного досвіду щодо обчислень, намагаються одержати результат із такою точністю, яка не виправдовується точністю величин, з якими вони проводять обчислення. Це призводить лише до даремних витрат зусиль та часу.

Користування мікрокалькулятором або ПК, коли результат на табло містить від 8 до 16 цифр створює ілюзію великої точності обчислень, але це не так.

2. Похибки. Різниця між точним числом х та його наближеним значенням х_а має назву похибки даного наближеного числа.

Абсолютна похибка ,

відносна похибка .

3. Значущі цифри. Наближене число звичайно характеризують кількістю значущих цифр. До значущих цифр відносять всі цифри крім нулів з лівого боку. Так, наприклад, числа 253; 702; 0,00375 мають по три значущі цифри.

Кажуть, що числоамає всі знаки вірні, якщо похибка не перевищує половини одиниці розряду останньої цифри наближеного числа. Наближені числа слід записувати так, щоб зберігалися лише вірні знаки.

Якщо число а має n вірних значущих цифр, то його відносна похибка може бути знайдена за формулою:

,

де Z – перша значуща цифра числа а.

4. Округлення. При округленні числа зберігаються лише вірні знаки, зайві знаки відкидаються. Якщо відкидається цифра більша від 5, то попередня цифра збільшується на одиницю. У випадку, коли відкидається цифра 5, округлення виконується так: якщо попередня цифра парна, вона залишається сама собою, якщо непарна – збільшується на одиницю.

Приклади: округлення до трьох значущих цифр:

4,5237 » 4,52;

2,3152 » 2,32;

3,2453 » 3,25.

5. Дії над наближеними числами. Результатом дій над наближеним числом є також наближене число. Похибка результату може виражатись через вихідні дані за допомогою таких теорем:

1. Гранична абсолютна похибка алгебричної суми дорівнює сумі граничних абсолютних похибок доданків.

2. Відносна похибка суми обмежена найменшою та найбільшою відносною похибкою доданків.

3. Відносна похибка добутку та частки дорівнює сумі відносних похибок множників, або, відповідно, діленого та дільника.

4. Відносна похибка n-го степеня наближеного числа в nразів більша за відносну похибку основи (як для цілих так і для дробових n).

Користуючись цими теоремами можна визначити похибку результату будь-якої комбінації арифметичних дій над наближеними числами.

6. Обчислення без точного урахування похибок. При масових обчисленнях, коли не враховують похибку кожного окремого результату, користуються правилами підрахунку цифр. Додержуючись цих правил можна вважати, що в середньому одержані результати обчислень будуть мати всі знаки вірними.

Правила підрахунку цифр:

6.1. При додаванні та відніманні наближених чисел кінцевий результат округлюють таким чином, щоб у ньому не було значущих цифр у тих розрядах, які відсутні хоча б в одному з доданків.

Наприклад, при додаванні чисел:

4,462

+

3,38

1,17273

1,0262

10,04093

Слід округлювати результат до трьох значущих цифр, тобто прийняти його рівним 10,04.

6.2. При добуткові слід округлювати множники так, щоб кожний множник містив стільки значущих цифр, скільки їх є у множнику з найменшою кількістю значущих цифр.

Наприклад, замість виразу

Times; 2,4 × 5,1846

слід обчислювати вираз

3,7 × 2,4 × 5,2.

В кінцевому результаті необхідно залишати таку саму кількість значущих цифр, яка була у множниках після їх округлення. В проміжних результатах слід залишати на одну значущу цифру більше.

3,7 × 2,4 × 5,2 = 8,88 × 5,2 = 46,176 » 46,2.

Такого самого правила слід дотримуватися і при діленні.

6.3. При піднесенні до квадрата чи куба слід у степені брати стільки значущих цифр, скільки їх має основа.

Наприклад:

.

6.4. При добуванні квадратного чи кубічного кореня в результаті слід брати стільки значущих цифр, скільки їх має число, що стоїть під коренем.

Наприклад:

.

6.5. При обчисленні складних виразів слід дотримуватися вказаних вище правил відповідно до виду виконуваних дій.

Наприклад: Виконати обчислення:

.

Множник 5.1 має найменшу кількість значущих цифр – дві. Тому результати всіх проміжних дій треба округлювати до трьох значущих цифр.

.

Після округлення результату до двох значущих цифр, одержуємо 3,8 × 10^-3.