Пример выполнения задания С3

Две однородные прямоугольные пластины, приваренные под прямым углом друг к другу, образуют угольник. Размеры пластин в направлениях, параллельных координатным осям х, у,z равны соответственно 2l, 3l и l. Вес большей из пластин равен G₁ = 5 кН, вес меньшей – G₂ = 2 кН. Каждая из пластин расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость ху горизонтальная).

Из угольника вырезана фигура в виде прямоугольного равнобедренного треугольника, расположение которого обозначено буквами ЕОК(гипотенуза совпадает с прямой ЕО). К угольнику дополнительно прикреплена фигура в виде квадрата со сторонами равными l , при этом плоскость квадрата перпендикулярна данной пластине, а вершина прямого угла обращена в сторону положительного направления оси перпендикулярной плоскости АВDE.

Вычислить координаты центра тяжести пространственной фигуры в виде угольника с вырезом для обозначенной на рисунке системы координат.

При расчетах принять l = 0,5 м. Толщиной пластин пренебречь.

Решение

Для решения задания, прежде всего, сделаем рисунок изучаемой конструкции с вырезом в меньшей плите.

Для решения задачи целесообразно применить метод разбиения тела на части, координаты центров тяжести которых легко подсчитываются (большая пластина и меньшая пластина), с использованием способа отрицательных площадей - вырезанный треугольник будем считать телом с отрицательной площадью. Центр тяжести С₁ большей пластины находится на пересечении ее диагоналей

центр тяжести С₂ меньшей плиты без выреза находится на пересечении ее диагоналей

а центр тяжести С₃ выреза в виде треугольника находится на пересечении медиан

В результате получается следующий рисунок

Координаты центров тяжести частей конструкции С₁, С₂ и С₃ для указанной на рисунке системы координат равны

Площади каждого из тел равны:

- большая пластина S₁ = 6l²;

- меньшая пластина S₂ = 3l²;

- треугольник S₃ = 0,25l².

Используя формулы координат центра тяжести тела по методу отрицательных площадей, найдем требуемые координаты центра тяжести С всей конструкции:

где S₁, S₂, S₃ – площади соответственно большей и меньшей пластин, а также выреза в виде треугольника.

Подставляя в формулы заданное значение l = 0,5 м, получим координаты центра тяжести всей конструкции:

XC = 0,657 м, YC = 0,769 м, ZC = 0,0785 м.

8. Задание по разделу «КИНЕМАТИКА»

Задание К1. Определение кинематических характеристик движения материальной точки

По заданным уравнениям движения точки x = f₁(t), y = f₂ (t) найти:

1. уравнение траектории точки, для момента времени t₁ = 1с;

2. вычислить: ее скорость, нормальное, касательное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории

3. на рисунке в масштабе изобразить траекторию движения точки

4. для заданного момента времени t₁ = 1с построить векторы скорости и ускорения.

Уравнения движения точки x = f₁(t) указаны на соответствующих рисунках, а уравнения движения y = f₂ (t) приведены в таблице К1 (для рис. 0–2 – в столбце 2, для рис. 3-6 - в столбце 3, для рис. 7-9 – в столбце 4; величиныхи у измеряются в см, время в секундах).

Рис. К1.0 Рис. К1.1 Рис. К1.2 Рис. К1.3 Рис. К1.4

Рис. К1.5 Рис. К1.6 Рис. К1.7 Рис. К1.8 Рис. 1.9

Таблица К1

Номер условия	у = f2(t)
рис. 0, 1, 2	рис. 3, 4, 5, 6	рис. 7, 8, 9
	3 – 4cos2	t2 – 2	2 — 3cos2 πt
	1 + 4sin	1 + 3 sin2	t2 - 4
	3cos	5cos	5 - 2 t
	– 4sin2	4 + 2t	- 2sin
	4 – 3cos	(t +1)2	(t + 3)2
	– l – 4sin	- l - 3sin	- l - 2 sin πt
	– 2 + 3cos	3 t2	4 - 3 t
	3 – 2cos2	3 - 3cos	3 - 4cos2
	2 - 4cos	2 + 3 t2	2 + 3cos πt
	– 3 + 2cos	- 3 t + 2	- 3 + 2cos

Указания.

Перед выполнением задания К1 необходимо изучить темы:

- способы задания движения материальной точки,

- определение скорости и ускорения точки при различных способах задания движения,

- познакомиться с порядком действий по определению уравнения траектории точки и ее характеристик движения (кинематических характеристик).

При решении задания целесообразно придерживаться следующего порядка:

1. исключить из уравнений движения точки, представленных в координатной форме, время и получить уравнение траектории движения точки, связывающее между собой координаты точки;

2. построить линию, уравнение которой получено, указав при этом, является ли траекторией движения точки вся линия или только какая-то ее часть;

3. по уравнениям движения точки найти ее координаты, проекции скорости и ускорения на оси координат для заданного момента времени, показать на чертеже положение точки и построить в соответствующих масштабах векторы скорости и ускорения;

4. определить касательное и нормальное ускорения точки в данный момент времени и показать на чертеже разложение вектора полного ускорения точки на указанные составляющие;

5. определить по направлениям векторов скорости и касательного ускорения точки, является ли ее движение в данный момент времени ускоренным или замедленным;

6. найти радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Пример решения задания К1

По заданным уравнениям движения точки

x(t) = 1- 3cos πt/6, y(t) = 2sin πt/6 (координаты х и у измеряются в см, время в сек) найти уравнение траектории точки, а также ее скорость, нормальное, касательное и полное ускорения, радиус кривизны траектории для момента времени t₁ =1 с.

На рисунке показать вид траектории и для заданного момента времени t₁ =1 с в выбранном масштабе построить векторы скорости и ускорения точки.

Решение

1. Нахождение траектории движения точки М.

Для нахождения уравнения траектории, по которой движется точка, следует из уравнений движения исключить время. Исключим из заданных уравнений движения параметр t (время),

воспользовавшись известной формулой тригонометрии:

sin² α + cos² α = 1. (1)

Из уравнений движения точки выразим функции

возведем эти выражения в квадрат и согласно выражению (1) сложим. В результате получим уравнение траектории движения точки

(2)

Уравнение (2) представляет собой каноническое уравнение эллип­са, центр которого находится в точке с координатами х = 1 см, у = 0 см (рис.1.1).

Траекторией движения точки является весь эллипс.

2. Построение траектории.

Построим на рисунке траекторию и отметим положение точки на траектории в данный момент времени t₁ =1 с.

Для этого выберем масштаб, например, и произведем построения

Рисунок 1.1

Путем подстановки в уравнения движения точки заданного момента времени t₁ =1 с, определим положение точки на траектории х _{t = 1 c} = – 1,598 см, у _{t = 1 c} = 1,0 см

Рисунок 1.2

3. Нахождение величины скорости точки.

Для вычисления скорости точки, движение которой задано координатным способом, применяется формула (3)

где - проекции вектора скорости точки на оси координат.

Вычисляя производные от соответствующих уравнений движения точки по времени, получаем

Вычислим величины проекций вектора скорости на оси координат в момент времени t = 1 с

а затем, подставляя величины , в (3), находим величину скорости точки:

Для того чтобы на рисунке построить вектор скорости точки, воспользуемся формулой

Выбираем масштаб и на рис.1.3 из точки М параллельно осям координат в этом масштабе откладываем составляющие вектора скорости и , а затем проводим вектор скорости точки

Рисунок 1.3

4. Нахождение величины вектора ускорения точки.

Величина ускорения точки при задании ее движения координатным способом вычисляется по формуле

(4)

где:

- проекции вектора ускорения точки на оси координат, которые в свою очередь при

t = 1 с равны:

Подставив полученные результаты в формулу (4) получим

Применив формулу , построим на рис.1. 4 вектор полного ускорения точки .

Рисунок 1.4

Ниже на рис. 1.5 для момента времениt₁ = 1 с показано положение точки М на траектории и выполнены построения векторов скорости и ускорения точки.

Рисунок 1.5

5. Вычислим проекции вектора ускорения на касательную (касательную составляющую вектора ускорения)

и на главную нормаль (нормальную составляющую вектора ускорения)

Из формулы выразим, а затем вычислим радиус кривизны траектории точки в заданный момент времени

3,41 см.

На рис.1.6 выполнено разложение вектора ускорения точки на касательную и нормальную составляющие.

Рисунок 1.6

Ответ:

- уравнение траектории движения точки

- величина скорости точки V= 1,518см/с;

- ускорения точки:

- полное ускорение a = 0,717 см/с²;

- касательное ускорение a_t = 0,285см/с²,

- нормальное ускорение a_n= 0,66 см/с²;

- радиус кривизны траектории точки p = 3,41 см.

Задание К2

Тело (квадрат со сторонами 10 см или диск радиуса R = 5см) вращается вокруг неподвижной оси по закону φ_e = f₁(t). По желобу, имеющему прямолинейную форму или форму дуги окружности (на рисунках желоб выделен жирной линией), движется материальная точка М по закону

ОМ = S_r = f₂ (t).

На рисунках К2.0 – К2.4:

1. точка О находится посередине прямой АВ,

2. точка Мпоказана в положении, при котором S_r > 0;

3. положительное направление отсчета угла φ_eуказано круговой стрелкой,

4. расстояние l задано в таблице в сантиметрах.

5. Найти абсолютные скорость и ускорение точки Мдля заданного момента времени t = t₁.

6. Числовые данные приведены в таблице К2.

Таблица К2

Номер условия	φe = f1(t) (рад)	Sr = f2 (t) [см] для рис. К2.0 – К2.4	Sr = f2 (t) [см] для рис. К2.5 – К2.9
	4t2-2t
	2t- 4t2
	t3- 3t2
	t+ 5t2
	2t -3t2
	3t+2t2
	t -2t3
	- t2 +3t
	4t -3t2
	2t2 -5t

Указания. Перед выполнением задания К2 необходимо изучить темы:

- кинематика материальной точки

- простейшие виды движения твердых тел (поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси),

- сложное движение материальной точки,

- решить ряд задач на сложное движение материальной точки.

При решении задания целесообразно придерживаться следующего порядка:

1. Разложить сложное движение точки на составляющие: относительное и переносное движения.

2.Определить положение точки на движущемся теле в данный момент времени (относительную координату); в случае, если траекторией относительного движения является окружность, положение точки определяется центральным углом φ = S_r/R, где в правую часть этого равенства следует подставить t₁ = 1с, не подставляя числового значения R.

3.На рисунке изобразить найденное положение точки.

4.Записать формулу для вычисления абсолютной скорости точки.

5.Записать формулы для вычисления относительной и переносной скоростей; вычислить их величины (модули) в данный момент времени и показать векторы этих скоростей на рисунке.

6.Применяя теорему сложения скоростей, определить величину абсолютной скорости точки, используя метод проекций или теорему косинусов.

7.Записать формулу для вычисления абсолютного ускорения точки.

8.Записать формулы для вычисления составляющих относительного и переносного ускорений точки; вычислить их величины (модули) в данный момент времени и показать векторы составляющих ускорений на рисунке.

9.Вычислить величину ускорения Кориолиса в данный момент времени и показать направление вектора на рисунке.

10. Выбрать прямоугольную систему координат с началом в точке М, вычислить проекции на эти оси вектора абсолютного ускорения точки.

11. Применяя теорему сложения ускорений, определить величину абсолютного ускорения точки, используя метод проекций.

Пример решения задания К2

Точка М движется по образующей кругового конуса так, что расстояние ОМ изменяется по закону

где:

S –относительное движение точки за время ( t ) (см)

t,– время перемещения, секунды (с).

Конус вращается вокруг своей оси ОА по закону

φ = 5t - t²

где:

φ – угол поворота припереносном движении (рад)

t – время поворота секунды (с).

Угол при вершине конуса α = 30⁰.

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки Мв момент времени

Рисунок 2.1

Решение

Точка М совершает сложное движение, которое можно разложить на относительное и переносное. Для этого вводится в рассмотрение подвижная система координат, связанная с движущимся телом – конусом; неподвижная система связана с неподвижной осью вращения. В этом случае движение точки М вдоль образующей конуса будет являться относительным.

Относительное движение точки М будет определяться уравнением

- законом относительного движения точки (в дальнейшем будем обозначать S_r, относительное движениезадано естественным способом).

Движение точки М вместе с конусом в его вращении вокруг неподвижной оси будет являться переносным (переносное движение определяется уравнением φ = 5t - t³, его также будем обозначать с соответствующим индексом φ_е).

Траекторией относительного движения точки М является прямая линия – образующая конуса;

Траекторией переносного движения является дуга окружности, по которой движется точка конуса, с которой в данный момент времени совпадает точка М.

Определим положение точки М на образующей конуса в данный момент времени, для этого подставим время

в уравнение относительного движения S_r(t)

Изобразим точку М на конусе в заданный момент времени и покажем траекторию переносного движения - окружность.

Рисунок 2.2

Вычислим для данного положения точки величину абсолютной скорости V_М; для вычислений используем векторную формулу скорости абсолютного движения точки

где:

- вектор относительной скорости точки М,

- вектор переносной скорости точки М.

Относительное движение точки задано естественным способом, поэтому величину относительной скорости находим по формуле

Вычислим при

= 96.68 см/с

Переносной скоростью точки М является скорость точки конуса, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Конус, вместе с которым точка М участвует в переносном движении, совершает вращение вокруг неподвижной оси,

Для вычисления переносной скорости Ve точки воспользуемся формулой для определения скорости точки тела вращающегося вокруг неподвижной оси

где:

-угловая скорость переносного движения точки (угловая скорость вращения конуса).

-кратчайшее расстояние от неподвижной оси вращения до точки М (радиус траектории переносного движения точки) согласно рассматриваемой задаче

Найдем величины R и ω_е

–угол поворота

t – время оборота = с.

тогда величина переносной скорости точки будет равна

Ve = 2,5 ∙ 30= 75 см/с.

Изобразим на рисунке векторы переносной скорости , относительной скорости и абсолютной скорости , точки М.

Рисунок 2.3

Величину абсолютной скорости V можно найти по теореме косинусов

–угол между векторами и

Угол , как следует из рисунка 2.3 равен 90⁰; а так как , то исходная формула преображается в известную формулу теоремы Пифагора

Для определения абсолютного ускорения точки М воспользуемся формулой

где:

-вектор относительного ускорения,

-вектор переносного ускорения,

-вектор ускорения Кориолиса.

Относительное ускорение при задании движения естественным способом вычисляется по формуле

где:

и - соответственно касательная и нормальная

составляющие относительного ускорения точки.

Вычислим их величины:

- касательная составляющая относительного ускорения

Если значение получается с отрицательным знаком «–», это говорит о том, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению вектора относительной скорости ;

- нормальная составляющая относительного ускорения

где:

–радиус кривизны,

так как траекторией относительного движения является прямая линия (образующая конуса), для которой радиус кривизны . В результате получаем .

Покажем на рисунке 2.4 вектор

Рисунок 2.4

Переносным ускорением точки М является ускорение точки конуса, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Конус вращается вокруг неподвижной оси, поэтому переносное ускорение a точки конуса (а, следовательно, и точки М) вычисляется по формуле

где:

-касательная составляющая переносного ускорения

-нормальная составляющая переносного ускорения

Для вычисления касательной составляющей используем формулу

где:

-направление углового ускорения конуса, которое определяется по формуле

(направление углового ускорения конуса противоположно направлению угловой скорости ω_е)

где:

-угловая скорость

С учетом того, что R = 30 см, получаем

Величина нормальной составляющей переносного ускорения точки равна

Покажем на рисунке векторы и - составляющие вектора переносного ускорения точки

Вектор всегда направлен к центру кривизны траектории переносного движения – в данном случае к центру окружности радиуса R

- направление вектора определяется направлением углового ускорения,

Рисунок 2.5

Вычислим величину ускорения Кориолиса.

Модуль ускорения Кориолиса находится по формуле

где:

-угол между векторами

Зная что ,а приступимк определению угла

Покажем на рисунке вектор угловой скорости переносного движения , который при вращении тела вокруг неподвижной оси всегда направлен вдоль оси в ту сторону, смотря из которой вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.

Как видно из рисунка угол значит

В результате получаем

Рисунок 2.6

Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по правилу Жуковского, которое гласит, что для определения направления вектора ускорения Кориолиса следует проекцию вектора относительной скорости на плоскость перпендикулярную оси переносного вращения повернуть в этой же плоскости на угол 90^о в направлении вращения.

Все найденные составляющие вектора абсолютного ускорения точки М изображены на рисунке 2.7.

Рисунок 2.7

Величину абсолютного ускорения можно найти:

- графически (для чего необходимо произвести на чертеже построения всех составляющих векторов в масштабе, найти их геометрическую сумму, измерить и с помощью масштаба определить величину результирующего вектора)

- с помощью формулы ,

где:

- проекции вектора абсолютного ускорения на оси координат.

Из точки М проведем координатные оси x₁, y₁, z₁ и найдем проекции на эти оси вектора абсолютного ускорения точки М (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8

Вычислим абсолютное ускорение точки М

Ответ:

величина абсолютной скорости V= 1,2395 м/сек,

величина абсолютного ускорения a = 3,341 м/сек².

Заключение

В данной курсовой работе были:

- определены опорные реакции в балках;

- рассмотрены равновесия тел, находящихся под действием плоской произвольной системы сил;

- определены центры тяжести механических систем;

- определены реакции, действующие в местах закрепления;

- рассмотрен принцип освобождаемости от связей;

- рассмотрен метод разбиения сложных тел на составляющие;

- определены кинематические характеристики движения материальной точки;

- произведено вычисление скоростей материальной точки, нормальных, касательных и полных ускорений;

- произведено построение векторов ускорений и скоростей;

- разобрано на составляющие сложное движение механической системы;

- определены положения равновесия механической системы и исследована их устойчивость;

- произведено вычисление абсолютных скоростей и ускорений механической системы.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Титульный лист

ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Т.Г. ШЕВЧЕНКО
Рыбницкий филиал

Кафедра прикладной информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теоретическая механика»

на тему:«Исследование механической системы»

вариант № 45

Выполнил (а)

Студент(ка) III курса

Группа №304

Иванов И.И.

Проверил:

ст. препод.

Цвинкайло П.С.

Рыбница, 201 __

ПРИЛОЖЕНИЕ 2