Приклади розв’язування задач. Приклад 1. Абсолютно чорне тіло знаходиться при температурі 2900К

Приклад 1. Абсолютно чорне тіло знаходиться при температурі 2900К. В результаті охолодження довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини випромінювальної здатності тіла, зменшилась на Dl = 9 мкм. До якої температури було охолоджено тіло?

Дано:

Т₁ = 2900 К

Dl = 9 мкм

___________

Т₂ – ?

Розв`язування. Згідно з законом Віна, довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла, розраховується за формулою

l_max = .

Після охолодження довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини випромінювальної здатності, зросте на величину Dl:

(l + Dl)_max = .

Після нескладних перетворень одержуємо:

.

Звідки

T_{2 = .}

Підставимо числові значення

= 290 K.

Відповідь: Т₂ = 290 К.

Приклад 2. Температура Т абсолютно чорного тіла дорівнює 2000 К. Визначити спектральну густину випромінювальної здатності r_l,T для довжини xвилі l = 600 нм.

Дано:

Т = 2000 К

l = 600 нм

___________

r_l,T – ?

Розв`язування. Скористаємось формулою Планка через довжину хвилі l

де h = 6,62×10^-34 Дж×с; c = 3×10⁸ м/с; к = 1,38×10^-23 Дж/К; l = 600 нм; Т = 2000 К.

Підставимо числові значення

=

= 29,8×10¹⁰ Вт/м³.

Відповідь. r_l,T = 29.8×10¹⁰ Вт/м³.

Приклад 3. Потужність випромінювання абсолютно чорного тіла дорівнює 10 кВт. Визначити величину поверхні випромінювання, якщо відомо, що довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини його випромінювальної здатності, дорівнює 7×10^{-7 м.}

Дано:

Р = 10 кВт

l_max = 7×10^{-7 м}

_____________

S – ?

Розв`язування. Інтегральна випромінювальна здатність aбсолютно чорного тіла дорівнює

R = , (1)

де W – повна енергія випромінювання; S – величина поверхні випромінювання; Dt – час випромінювання.

Згідно з законом Стефана – Больцмана інтегральну випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла визначають також за формулою:

R = s T⁴, (2)

де s – стала Стефана – Больцмана;

Т – термодинамічна температура.

Значення термодинамічної температури знаходять із закону зміщення Віна:

, (3)

де b – стала Віна.

Прирівнюючи праві частини формул (1) і (2) та враховуючи (3), знаходимо площу випромінювання

,

де – потужність випромінювання.

Отже, одержуємо:

S = .

Підставимо числові значення

S = = 5,98 × 10^{-4 м2} .

Відповідь. S = 5,98×10^{-4 м2} » 6 см².

Приклад 4. Обчислити температуру поверхні Сонця, якщо відомо, що сонячна стала, яка дорівнює потужності енергії випромінювання на один м² площини, що розміщена перпендикулярно до сонячного проміння біля поверхні Землі, становить 1,4×10³ Вт/м².

Дано:

С = 1,4×10³ Вт/м²

_______________

Т – ?.

Розв`язування. Зв`язок енергії випромінювання з одиниці площі поверхні Сонця за одиницю часу, з температурою випромінювання дається законом Стефана – Больцмана

R = s T⁴,

Енергія, яка випромінюється всією поверхнею Сонця, дорівнює

W = sT⁴ 4pr² ,

де r – радіус Сонця.

Величину цієї енергії можна розрахувати також через сонячну сталу, помножену на площу поверхні радіусом, рівним відстані від Землі до Сонця,

W = C4pR²,

де С – сонячна стала;

R – радіус земної орбіти.

Прирівнюючи праві частини цих рівностей та розв`язуючи одержане рівняння відносно температури, знаходимо

T = .

Підставимо числові значення

= 5800 K.

Відповідь: Т = 5800 К.

ФОТОЕФЕКТ

Основні формули

1. Енергія фотона:

e = hn = ,

де h – стала Планка;

n – частота світлових хвиль;

l – довжина хвилі;

с – швидкість світла.

2. Маса рухомого фотона (маса спокою фотона дорівнює нулю, фотон в спокої не існує):

m = .

3. Імпульс фотона:

p = .

4. Формула Ейнштейна для фотоефекту:

,

де hn – енергія фотона;

А – робота виходу електрона з металу;

– максимальна кінетична енергія фотоелектрона.

5. Червона межа фотоефекту:

або l₀ = ,

де n₀ – найменша частота світла, при якій ще можливий фотоефект;

l₀ – найбільша довжина хвилі, при якій ще можливий фотоефект.

6. Формула Ейнштейна для фотонів, енергія яких сумірна з енергією спокою електрона (роботою виходу нехтують)

hn = E₀ × ,

де Е₀ = m₀с² – енергія спокою електрона;

– відношення швидкості руху електрона до величини швидкості світла.