Теорема о движении центра масс

(1)

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или главному вектору внешних сил.

Уравнение (1) выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом: центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы , действующие на систему.

Проецируя обе части векторного равенства ( 1) на оси получаем три уравнения в проекциях на оси координат:

; ; (2)

где - проекции силы - проекции главного вектора сил на оси координат. Уравнения (2) представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс. Из уравнений (1) и (2) следует, что внутренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс.

С л е д с т в и я из теоремы:

1.Если главный вектор внешних сил остается все время равным нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется прямолинейно и равномерно. Из уравнения (1) следует, что если . При этом если начальная скорость центра масс равна нулю, то центр масс находится в покое. Если же начальная скорость , то центр масс движется прямолинейно и равномерно с этой скоростью.

2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо неподвижную ось остается се время равной нулю , то проекция центра масс механической системы на эту ось или неподвижна, или движется равномерно.

Из первого уравнения (2) следует, что если X^E=0, то

Если при этом в начальный момент , то

т.е. координата х центра масс остается постоянной, а при проекция центра масс на ось х движется равномерно.

Следствия из теоремы о движении центра масс системы выражает закон сохранения движения центра масс системы.

ЗАДАЧА Д1

Механическая система состоит из грузов D₁ массой m₁=2 кг, D₂ массой m₂=6 кг и из прямоугольной вертикальной плиты массой m₃=12 кг, движущийся вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д.1.0-Д.1.9, табл. Д1). В момент времени t₀ =0 , когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющие собой окружности радиусов r=0,4 м и R=0,8 м.

При движении грузов угол изменяется по закону , а угол по закону . В табл. Д.1 эти зависимости даны отдельно для рис.0-4 и 5-9, где φ -выражено в радианах t –в секундах.

Считая грузы материальными точками и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить закон изменения со временем величины , указанной в таблице в столбце «Найти», т.е. и , где x₃- координата центра С₃ плиты ( зависимость определяет закон движения плиты ), N- полная нормальная реакция направляющих.

Указания: Задача Д 1- на применение теоремы о движении центра масс. При этом для определения составить уравнение в проекциях на горизонтальную ось Х, а для определения N- на вертикальную ось У.

Таблица Д1

Номер условия	Рис. 0-4	Рис. 5-9	Найти
,		,
					Х3
					N
					Х3
					N
					Х3
					N
					X3
					N
					X3
					N

Пример решения задачи Д1.

Механическая система состоит из грузов D₁ массой m₁ и D₂ массой m₂ и из прямоугольной вертикальной плиты массой m₃, движущийся вдоль горизонтальных направляющих ( рис. Д1). В момент времени t₀ =0 , когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющие собой окружности радиусов r и R по законам и .

Д а н о : m₁ =6 кг, m₂ =8 кг, m₃ =12 кг, r=0,6 м, R=1,2 м, рад, рад ( t-в секундах). О п р е д е л и т ь: - закон движения плиты, - закон изменения со временем полной нормальной реакции направляющих.

Решение.Рассмотрим механическую систему , состоящую из плиты и грузов D₁ и D₂ , в произвольном положении ( рис. Д 1). Изобразим действующие на систему внешние силы : силы тяжести Р₁, Р₂ , Р₃ и реакцию направляющих N. Проведем координатные оси Оху так, чтобы ось у проходила через точку С₃₀ , где находится центр масс плиты в момент времени t₀ =0.

а) Определения перемещения х₃ . Для определения воспользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х.

Получим

или (1)

так как , поскольку все действующие на систему внешние силы вертикальны.

Проинтегрировав уравнение (1), найдем, что , т.е. проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. Так как в начальный момент времени , то С₁=0.

Интегрируя уравнение , получим

(2)

т.е. центр масс системы вдоль оси Ох перемещаться не будет.

Определим значение . Из рисунка Д1 видно, что в произвольный момент времени абсциссы грузов равны соответственно , . Так как по формуле, определяющей координату х_с центра масс системы, , то

. (3)

В соответствии с равенством (2) координаты центра масс х_с всей системы в начальном и произвольном положении будут равны. Следовательно, учитывая, что при , получим

(4)

Отсюда получаем зависимость от времени координаты х_с.

О т в е т : м, где t –в секундах.

б) Определение реакции N.Для определения составим дифференциальное уравнение движения центра масс системы в проекции на вертикальную ось у ( см. рис. Д 1):

. (1)

Отсюда получим, учтя, что , и.т.д.:

. (2)

По формуле определяющей ординату у_с центра масс системы,

получим

или .

Продифференцировав обе части этого равенства два раза по времени, найдем

;

.

Подставив это значение в уравнение (2), определим искомую зависимость N от t.

О т в е т: , где t –в секундах, N – в ньютонах.