Приклади розв’язування задач. Приклад 1. Плоска звукова хвиля має період Т = 3 мс, амплітуду А = 0,2 мм і довжину хвилі l = 1,2 м

Приклад 1. Плоска звукова хвиля має період Т = 3 мс, амплітуду А = 0,2 мм і довжину хвилі l = 1,2 м. Для точок середовища, які знаходяться на відстані х = 2 м, визначити: а) зміщення u_x,t в момент часу t = 7 мс; б) швидкість і прискорення для того ж моменту часу. Початкову фазу коливань прийняти рівною нулю.

Дано:

Т = 3 мс

А = 0,2 мм

l = 1,2 м

х = 2 м

t = 7 мс

_______________

u_x,t –? _x,t – ? _x,t – ?

Розв’язування. Рівняння плоскої хвилі має вигляд:

u_x,t = A cos (wt - kx), (1)

де w = 2p/Т – циклічна частота коливань;

k = 2p/l – хвильове число.

Знайдемо швидкість і прискорення поширення хвиль у пружньому середовищі як відповідні похідні за часом від (1):

; (2)

. (3)

а) зміщення точок середовища на відстані х = 2 м і в момент часу t = 7 мс, дорівнює

б) швидкість цих точок

=

= – 0,2 × 10^-3.2093 sin =– 0,031 м/с.

в) прискорення руху точок середовища

=

=– 0,2^.10^-3.2093² соs = –873,3 м/с².

Відповідь: u_x,t = 0,12 мм; =– 0,031 м/с; = – 873,3 м/с² .

Приклад 2. Рівняння плоскої біжучої хвилі має вигляд

u_x,t = 6,0 ×10^-2 cos (1800t – 5,3x) мм. (1)

Знайти: а) відношення амплітуди зміщення частинок середовища до довжини хвилі; б) амплітуду швидкості частинок середовища і її відношення до швидкості поширення хвиль; в) амплітуду відносної деформації середовища і її зв’язок з амплітудою швидкості частинок.

Розв’язування. Рівняння плоскої біжучої хвилі в загальному вигляді запишемо так:

u_x,t = A cos . (2)

а) порівнюючи співвідношення (1) і (2), знайдемо відношення амплітуди зміщення частинок середовища до довжини хвилі. Крім того амплітуда, період коливань і довжина хвилі дорівнюють:

А = 6,0 × 10^{-5 м;} 2p/Т = 1800 с^-1,

звідки

Т = 2p/1800 = 3,49 × 10^-3 с.

Оскільки 2p/l = 5,3 м^-1, то l = 2p/5,3 = 1,18 м.

Тому

= 5,08 × 10^-5.

б) швидкість частинок середовища знайдемо, взявши похідну за часом від рівняння (1)

= – 6,0 × 10^-5 × 1800 sin (1800×t – 5,3×x) м/с,

де ( )_max = 6,0 × 10^-5 × 1800 = 0,11 м/с – амплітуда швидкості частинок.

Швидкість поширення хвиль у пружному середовищі

= 339 м/с.

Відношення амплітуди швидкості частинок середовища до швидкості поширення хвиль

в) для знаходження зв’язку амплітуди відносної деформації частинок і амплітуди швидкості частинок знайдемо відповідні похідні від рівності (2):

;(3)

; (4)

Поділимо рівняння (4) на (3)

=υ

або

де – амплітуда швидкості;

– амплітуда відносної деформації;

υ – швидкість поширення хвиль.

Відповідь: А/l = 5,08 × 10^-5 ; = 0,11 м/с;

= 3,19 × 10^-4; .

Приклад 3. Труба має довжину 85 см. Вважаючи швидкість звуку 340 м/с, визначити число власних коливань стовпа повітря в трубі, частоти яких менше n₀ =1250 Гц. Розглянути два випадки: а) труба закрита з одного кінця; б) труба відкрита з обох кінців.

Дано:

l = 0,85 м

υ = 340 м/с

n₀ = 1250 Гц

____________

n₁ – ? n₂ – ? ...

Розв’язування. В трубі як в першому, так і в другому випадку створюється стояча хвиля. Слід мати на увазі, що біля відкритого кінця труби завжди буде пучність, а біля закритого кінця труби завжди буде вузол, як це показано на рис.7.

Рисунок 7

а) у випадку закритої з одного кінця труби на її довжині вкладається непарне число l/4, тобто

l = (2k +1) l/4,

де k = 0, 1, 2, ...;

l – довжина хвилі, яка пов’язана з частотою коливань l = υ/n.

Тому

l = (2k + 1) , звідки n = .

Знайдемо ці частоти

k = 0; n₁ = = 100 Гц.

k = 1; n₂ = = 300 Гц.

k = 2; n₃ = = 500 Гц.

k = 3; n₄ = = 700 Гц.

k = 4; n₅ = = 900 Гц.

k = 5; n₆ = = 1100 Гц.

Наступна частота буде більша за n₆;

б) у випадку відкритої з обох кінців труби, для збереження умови пучностей біля відкритого кінця, треба, щоб в її довжині вкладалось ціле число півхвиль, тобто

l = k , де k = 1, 2, 3, ....

З урахуванням того, що l = , маємо

l = k , звідки n = .

Знайдемо ці частоти

k = 1; n₁ = = 200 Гц. k = 2 ; n₂ = = 400 Гц.

k = 3; n₃ = = 600 Гц. k = 4 ; n₄ = = 800 Гц.

k = 5; n₅ = = 1000 Гц. k = 6 ; n₆ = = 1200 Гц.

Приклад 4. На шосе рухаються назустріч дві автомашини з швидкостями u₁ = 30 м/c і u₂ = 20 м/с. Перша з них подає звуковий сигнал частотою n₁ = 600 Гц. Визначити частоту, яка буде сприйматись водієм другої автомашини в двох випадках: а) до зустрічі; б) після зустрічі. Швидкість звуку в повітрі c = 340 м/с.

Дано:

u₁ = 30 м/с

u₂ = 20 м/с

n₀ = 600 Гц

c = 340 м/с

____________

– ? – ?

Розв’язування. Зміна частоти коливань при русі джерела звуку і приймача в цих випадках визначається за допомогою формули ефекту Допплера:

а) до зустрічі

× 600 = 696 Гц;

б) після зустрічі

× 600 = 519 Гц.

Відповідь: = 696 Гц; = 519 Гц.

Приклад 5. Визначити потужність точкового ізотропного джерела звуку, якщо на відстані r = 25 м від нього інтенсивність звуку R дорівнює 20 мВт/м². Яка середня густина енергії на цій відстані ?

Дано:

r = 25 м

R = 20 мВт/м²

_____________

N – ? – ?

Розв’язування. Відомо, що інтенсивність або густина потоку енергії визначається за формулою

R = ,

де W – повна енергія, яка випромінюється точковим джерелом звуку у всіх напрямках;

S – площа поверхні, через яку здійснюється перенесення енергії;

Dt – час випромінювання.

Тоді потужність точкового джерела випромінювання буде дорівнювати

N = або N = R S.

Підставимо числові значення

N = 20 × 10^-3 × 4 × 3,14 × 625 = 157 Вт.

Середня об’ємна густина енергії на цій відстані визначається з формули

R = звідки = ,

де – швидкість звуку в повітрі, яка для норальних умов дорівнює 340 м/с.

Тому

5,88 × 10^-5 Дж/м³.

Відповідь: 157 Вт; 5,85×10^-5 Дж/м³.