Вимушені електричні коливання

Електричний опір R будь-якого реального коливального контуру відмінний від нуля. Тому вільні електричні коливання в контурі поступово затухають. Щоб одержати незатухаючі коливання, треба ззовні підводити в коливальний контур енергію, яка компенсує втрати на виділення ленц-джоулевої теплоти. В цьому випадку виникають не вільні, а вимушені електричні коливання. Для їх реалізації потрібна періодична дія на коливальний контур. Це можна здійснити, якщо ввімкнути послідовно з елементами контуру зовнішню змінну напругу U=U_mcosωt.

Тоді рівняння (4.11) набирає вигляду

Виконавши незначні перетворення, отримаємо рівняння

(4.25)

Тут β і ω_о визначаються за формулами (4.12) та (4.5). Рівняння (4.25) називають диференціальним рівнянням вимушених коливань, яке є неоднорідним рівнянням другого порядку. Загальний розв’язок такого рівняння складається із суми розв’язків відповідного однорідного рівняння (4.13) і частинного розв’язку неоднорідного рівняння (4.25). Розв’язком відповідного однорідного рівняння є затухаючі коливання (4.14). Тому через порівняно короткий час після початку коливань впливом цього доданка на загальний розв’язок рівняння (4.25) можна нехтувати. Частинний розв’язок рівняння (4.25) шукатимемо у вигляді

(4.26)

де q_m –амплітуда усталених коливань; φ – зсув фаз між змінами заряду і зовнішньою напругою. Для того, щоб рівняння (4.26) було частинним розв’язком рівняння (4.25), необхідно значення із (4.26) підставити в (4.25). Виконавши математичні перетворення, одержимо

(4.27)

(4.28)

Рівняння (4.27) та (4.28) можна записати по аналогії з подібними для механічних затухаючих коливань.

Підставивши у формули (4.27) і (4.28) ω_о² із (4.5) і 2β із (4.12), одержимо

(4.29)

(4.30)

Отже, частинним розв’язком рівняння (4.25) і рівнянням усталених вимушених коливань є рівняння

(4.31)

Розділивши заряд q на ємність С конденсатора, одержимо закон зміни напруги на конденсаторі

де (4.32)

Диференціюючи за часом рівняння (4.31), одержуємо закон зміни струму в коливальному контурі

.

Амплітуда сили струму виражається формулою

. (4.33)

Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти змушувальної сили (зовнішньої напруги) призводить до того, що за деякої певної частоти амплітуда коливань досягає максимального значення. Це явище називають резонансом, а відповідну частоту ω_рез – резонансною частотою.

Дослідивши рівняння (4.27) і (4.37) на екстремум знаходимо, що резонансна частота для заряду q і напруги на конденсаторі U_c визначається так:

(4.34)

Резонансні криві для U_c зображені на рис. 4.4.

При ω→0 резонансні криві сходяться в одній точці з ординатою U_cм=U_m – зовнішній напрузі в мить під’єднання конденсатора до зовнішнього джерела. Максимум є тим більшим і гострішим, чим менше значення тобто чим менший активний опір і більша індуктивність контуру.

При малому затуханні (при β²<<ω_o²) резонансну частоту для напруги можна прийняти як такою, що дорівнює ω_o. Тоді, згідно з (4.32), відношення амплітуди напруги на конденсаторі при резонансі U_mсРЕЗ до амплітуди зовнішньої напруги U_m буде дорівнювати

(4.35)

Тут Q – добротність контуру. Таким чином, добротність контуру показує у скільки разів напруга на конденсаторі може перевищувати прикладену напругу.

Із (4.33) знаходимо, що амплітуда сили струму досягає максимального значення за умови . Отже, резонансна частота для сили струму співпадає з власною частотою контуру ω_o:

(4.36)

Резонансні криві для сили струму зображені на рис4.5.

Рис.4.4 Рис4.5 Рис.4.6

Однією з характеристик резонансної кривої є значення амплітуди у максимумі. Другою важливою характеристикою є ширина резонансної кривої, під якою розуміють різницю циклічних частот для яких енергія коливань є у два рази меншою від енергії частоти, при якій амплітуда змінної величини досягає максимуму. Оскільки енергія коливань пропорційна квадрату амплітуди (W~A²), то очевидно, що ширина резонансної кривої, яка відповідає вимогам W/W_рез=0,5, визначається відношенням амплітуд A_m/A_mрез=0,7 (див. рис.4.6для резонансної кривої струму).

Можна показати (див. [5]), що ширина резонансної кривої зв’язана з добротністю коливального контуру співвідношенням:

Явище резонансу використовують для виділення із складної напруги потрібну складову. Нехай напруга, прикладена до контуру, дорівнює

Настроївши контур на одну із частот ω₁, ω₂ ... (тобто підібравши відповідним чином параметри C і L), можна отримати на конденсаторі напругу, що в Q разів перевищує значення даної складової, в той час як напруга, створена на конденсаторі іншими складовими, буде слабкою. Так, наприклад, можна настроїти радіоприймач на бажану довжину хвилі.

Електромагнітне поле

Вихрове електричне поле

Як відомо, електричний струм забезпечується наявністю в колі сторонніх сил, які діють на електричні заряди. Сторонніми не можуть бути сили електростатичного поля. Яка ж природа цих сил в явищі електромагнітної індукції? Досліди засвідчують про те, що ЕРС індукції не залежить від матеріалу та стану, зокрема температури, провідника, в якому збуджується індукційний струм. Це означає, що в даному разі сторонні сили не пов’язані зі зміною властивостей провідників у магнітному полі, а зумовлені самим магнітним полем.

Аналізуючи явище електромагнітної індукції, Дж. Максвелл дійшов висновку, що сам контур, в якому ми спостерігаємо появу ЕРС індукції, є лише своєрідним індикатором, за допомогою якого можна виявити це електричне поле, яке, на відміну від електростатичного, є вихровим. Таке поле викликає в провідному контурі рух електронів по замкнених траєкторіях і спричинює появу ЕРС – сторонніми силами є сили вихрового електричного поля. Циркуляція вектора напруженості вихрового електричного поля по довільному замкненому контуру не дорівнює нулю.

Отже, поглиблене тлумачення явища електромагнітної індукції приводить до висновку, який передає перше основне положення теорії Максвелла: будь-яка зміна магнітного поля викликає появу вихрового електричного поля.

Виразимо це положення в кількісній формі.

Розглянемо явище електромагнітної індукції, коли контур, у якому індукується струм, є нерухомим, а зміни магнітного потоку зумовлені змінами магнітного поля.

Згідно із законом електромагнітної індукції

де Ф – потік магнітної індукції В через площу S, обмежену контуром L:

Тут — псевдовектор, напрямок якого визначається напрямком нормалі до поверхні dS. Оскільки індукція залежить, власне, як від часу, так і від координат, а в цьому випадку потік Ф є функцією часу, то слід взяти частинну похідну за часом.

Електрорушійна сила, що діє в будь-якому контурі, як відомо, дорівнює

де — напруженість поля сторонніх сил.

У нашому випадку напруженість поля сторонніх сил дорівнює напруженості вихрового електричного поля. Оскільки контур і поверхня нерухомі, то операції диференціювання за часом і інтегрування по поверхні можна поміняти місцями. Тому, на підставі вищенаведеного, отримуємо:

(5.1)

Співвідношення (5.1) виражає кількісний зв’язок між змінним в часі магнітним полем і збудженим ним вихровим електричним полем і є одним з основних рівнянь Максвелла. Його називають другим (див. [7]), або першим (див. [3]) рівнянням Максвелла в інтегральній формі.

Струм зміщення

Проаналізувавши різні електромагнітні процеси, Дж. Максвелл сформулював друге основне положення: зміна електричного поля викликає появу вихрового магнітного поля. Це твердження виражає одну з найважливіших властивостей електромагнітного поля. Оскільки магнітне поле є основною обов’язковою ознакою всякого електричного струму, то Максвелл назвав змінне електричне поле струмом зміщення.

Поняття струму зміщення можна пояснити за допомогою дослідів. Замкнувши комутатором К коло, що схематично подано на рис.5.1, ми не помітимо електричного струму, оскільки між пластинами А і М є розрив кола–постійний струм не проходить через діелектрик. Однак, якщо за допомогою комутатора К послідовно перезаряджати пластини А і М, то в момент кожного перезарядження спалахує лампа Л, підтверджуючи, що крізь неї проходить миттєвий електричний струм. Чим частіше відбуваються одна за одною зміни напрямку струму, тим оку важче помічати окремі спалахи і згасання лампи. За частих змін перезарядки конденсатора лампа не встигає гаснути. Складається враження, що через діелектрик протікає електричний

Рис.5.1 Рис.5.2

струм. Отже, на відміну від постійного струму, змінні струми можуть проходити по розімкнених провідних контурах. При цьому щоразу, коли в розімкненому контурі йде струм, між його кінцями (обкладками конденсатора) є змінне в часі електричне поле (струм зміщення). Звідси випливає, що струм провідності в металевих провідниках замикається струмами зміщення.

Згідно з гіпотезою Максвелла змінне електричне поле в конденсаторі в будь–який момент часу створює таке саме магнітне поле, начебто між обкладками існує струм провідності, сила якого дорівнює силі струму в провідниках. Ця гіпотеза повністю підтверджена численними дослідами.

Знайдемо кількісний зв’язок між електричним полем, яке змінюється в часі, і магнітним полем, яке при цьому збуджується. Нехай у деякий момент часу на обкладці А конденсатора С знаходиться позитивний заряд q, який розподілений на обкладці з поверхневою густиною σ, а на обкладці М –

заряд –q і поверхнева густина його –σ. Між обкладками конденсатора буде електричне поле, вектор електричного зміщення якого (рис.5.2, а).

Модуль цього вектора

де S – площа обкладки конденсатора.

З’єднаємо провідником обкладки цього конденсатора. Густина електричного струму всередині обкладок буде

Величину швидкості зміни вектора електричного зміщення Максвелл назвав густиною струму зміщення . Отже,

Запишемо це рівняння у векторній формі, врахувавши при цьому, що вектор може залежати як від часу, так і від координат. У цьому випадку розглядається зміна вектора з часом, тому братимемо частинну похідну від вектора за часом. Отже, попереднє рівняння у векторній формі набуде вигляду

Якщо конденсатор розряджається, то напрямок вектора протилежний напряму , якщо заряджається, то напрямки векторів і співпадають. Як видно з рис. 5.2, б, лінії струму в провіднику переходять в лінії струму зміщення в конденсаторі. Напрямок ліній індукції магнітного поля, яке виникає при цьому, визначається за правилом правого свердлика (див. рис. 5.2,б).

У діелектрику вектор електричного зміщення складається з двох доданків:

де — вектор поляризації діелектрика, який характеризується зміщенням електричних зарядів у неполярних молекулах і повертанням полярних молекул, що знаходяться в одиниці об’єму діелектрика. Тому густина струму зміщення в діелектриках буде

Перший доданок у правій частині цього рівняння – це густина струму зміщення у вакуумі, другий – густина струму, зумовленого поляризацією діелектрика. Такий струм називають поляризаційним струмом.

Загалом струми провідності та зміщення не розділені в просторі, як у конденсаторів зі змінною напругою на обкладках. Якщо у провіднику тече змінний струм, то всередині провідника є змінне електричне поле, тому всередині провідника є і струм провідності, і струм зміщення. Отже, густина повного струму

Сила повного струму через довільну поверхню S дорівнює сумі сили струму провідності і сили струму зміщення через цю поверхню:

(5.2)

Друге основне положення теорії Максвелла можна виразити рівнянням. Для цього застосуємо закон повного струму, враховуючи (5.2):

. (5.3)

Рівняння (5.3) називають першим ([7]), або другим ([3]), основним рівнянням Максвелла в інтегральній формі.

Система рівнянь Максвелла

Відкриття струму зміщення дало змогу Максвеллу в 1860—1866рр. розробити єдину теорію електричних і магнітних явищ – теорію електромагнітного поля. Ця теорія пояснила всі відомі на той час експериментальні факти і передбачила коло нових явищ, факт існування яких підтвердився в подальшому.

Основним висновком теорії Максвелла був висновок про існування електромагнітних хвиль, що поширюються зі швидкістю світла. Теоретичне дослідження цих хвиль привело Максвелла до створення електромагнітної теорії світла.

Основою теорії є система рівнянь Максвелла. У вченні про електромагнетизм ці рівняння відіграють таку саму важливу роль, як закони Ньютона в механіці або основні закони в термодинаміці.

В інтегральній формі система рівнянь Максвелла записується так:

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

У рівнянні (5.4) – потік вектора електричного зміщення через поверхню S, що стягує замкнений контур L; у рівнянні (5.5) Ф_m – аналогічний потік вектора магнітної індукції магнітного поля; у рівнянні (5.7) q – сумарний електричний заряд у об’ємі V, охопленому замкненою поверхнею S.

До цих чотирьох рівнянь Максвелла слід додати співвідношення, за допомогою яких вводять характеристики середовищ:

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Отже, повна система рівнянь, яка описує електричні і магнітні поля в середовищах, що перебувають у спокої, складається з чотирьох рівнянь (5.4)—(5.7), які називають рівняннями електромагнітного поля, а також системи співвідношень (5.8)—(5.10), які називають матеріальними рівняннями.

Рівняння (5.4) виражає закон, за яким магнітне поле породжується струмами провідності і зміщення, які є двома можливими джерелами магнітного поля.

Рівняння (5.5) виражає закон електромагнітної індукції і вказує на магнітне поле, що змінюється, як на одне з можливих джерел породження вихрового електричного поля.

Рівняння (5.6) відображає експериментальний факт відсутності в природі магнітних зарядів.

Рівняння (5.7) є узагальненням на основі теореми Гаусса закону Кулона і фізично вказує на існування в природі джерел електричного поля у вигляді електричних зарядів, розподілених у просторі з об’ємною густиною ρ.

Система рівнянь Максвелла дає можливість розв’язати будь-яку конкретну задачу макроскопічної електродинаміки.

Із рівнянь (5.4) і (5.5) випливає, що електричне і магнітне поля не можна вважати незалежними: зміна в часі одного з них викликає появу іншого. Тому має смисл лише сукупність цих полів, яка описує єдине електромагнітне поле.

Якщо ж поля стаціонарні ( = const і =const), то рівняння Максвелла (5.4)—(5.7) набирають вигляду

.

У цьому випадку електричне і магнітне поля є незалежними одне від одного, що і дає можливість вивчати спочатку постійне електричне поле, а потім незалежно від нього і постійне магнітне поле.

Застосувавши до рівнянь (5.4) і (5.5) теорему Стокса щодо будь-якого вектора а до рівнянь (5.6) і (5.7) теорему Остроградського—Гаусса за довільного вибору площ та об’ємів, по яких беруться інтеграли, отримаємо систему рівнянь Максвелла у диференціальній формі:

(5.11)

(5.12)

(5.13)

(5.14)

Спроектувавши рівняння (5.11) та (5.12) на координатні осі, отримаємо замість кожного із векторних рівнянь три скалярних:

(5.15)

(5.16)

Рівняння (5.13) і (5.14) можна записати в скалярній формі

(5.17)

(5.18)

Ввівши векторний диференціальний оператор („набла”), який у декартових координатах має вигляд

де — орти осей x,y,z рівняння (5.11)—(5.14) можна записати так:

(5.19)

(5.20)

(5.21)

(5.22)

Введення оператора суттєво спрощує запис багатьох формул і математичних дій з ними, чим скористаємось в подальшому.

Хвильове рівняння

Згідно з рівняннями (5.4) і (5.5) змінне з часом електричне поле породжує змінне магнітне поле. Це змінне магнітне поле породжує змінне електричне поле і т.д. Таким чином, якщо збудити змінне електричне або магнітне поле, в навколишньому середовищі виникає послідовність взаємних перетворень електричного і магнітного полів, які поширюються від точки до точки. Цей процес буде періодичним в часі і в просторі і, отже, являє собою хвилю. Висновок про можливість існування електромагнітних хвиль випливає із рівнянь Максвелла.

Запишемо рівняння Максвелла для однорідного (ε=const, μ=const) електронейтрального (ρ=0) непровідного (j=0) середовища. В цьому випадку

Отже, рівняння (5.19)—(5.22) набирають вигляду

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

Застосуємо до рівняння (5.23) операцію rot

(5.27)

Оскільки середовище є однорідним, то, змінивши порядок диференціювання за координатами та часом у правій частині рівняння (5.27) і враховуючи рівняння (5.24), отримаємо

(5.28)

Скориставшись правилом подвійного векторного добутку = — і зважаючи на те, що оператор має стояти перед функцією, на яку він діє, знаходимо

оскільки, згідно з (5.25) =0.

Враховуючи останнє співвідношення та (5.28), маємо

(5.29)

Тут — оператор Лапласа (лапласіан) [10].

Розпишемо у рівнянні (5.29):

(5.30)

Подібним чином рівнянню (5.24) можна надати вигляду

(5.31)

(5.32)

Зазначимо, що рівняння (5.29) і (5.31), а отже (5.30) і (5.32), нерозривно зв’язані між собою, оскільки вони отримані з рівнянь (5.23) і (5.24), кожне з яких вміщує і , і .

Рівняння вигляду

є хвильовим рівнянням (див. [11]). Будь-яка функція, що задовольняє такому рівнянню, описує деяку хвилю, причому корінь квадратний із величини, оберненої коефіцієнту при , дає фазову швидкість цієї хвилі. Отже, рівняння (5.30) та (5.32) є хвильовими і вказують на те, що електромагнітні поля можуть існувати у вигляді електромагнітних хвиль, фазова швидкість яких

(5.33)

Для вакууму і за формулою (5.33) швидкість електромагнітної хвилі

Обчислення і перевірку розмірностей пропонується читачеві виконати самостійно.

Таким чином, у вакуумі фазова швидкість електромагнітних хвиль співпадає зі швидкістю світла, а в середовищі