Теореми про середнє значення

Важливе значення у курсі математичного аналізу мають так звані теореми про середнє значення диференціального числення, в яких під знаком похідної знаходиться середнє значення незалежної змінної, котре взагалі нам невідоме. Воно і похідній надає, в деякому розумінні, середнє значення. У зв’язку з цим усі ці теореми називають “теоремами про середнє”.

Теорема Ферма

Теорема. Нехай функція визначена на інтервалі і в деякій точці має найбільше або найменше значення. Тоді, якщо в цій точці існує похідна , то вона рівна нулю, тобто .

Доведення. Нехай для визначеності функція функція в точці приймає найбільше значення, тобто для всіх .

За означенням похідної

,

причому ця границя не залежить від того, як буде прямувати до . Якщо і , то , а тому

.

Якщо ж і , то .

Отже,

.

Звідси випливає, що .

Аналогічно розглядається випадок, коли в точці функція досягає найменшого значення.

Обертання в нуль похідної в точці , означає, що дотична до графіка функції в точці з абсцисою паралельна вісі (рис. 22).

Зауваження. Теорема Ферма справедлива, коли , і неправильна, коли замість інтервалу розглядати відрізок . Наприклад, функція на відрізку приймає найменше значення в точці , а найбільше в точці . Проте в жодній із цих точок похідна в нуль не обертається.

Теорема Ролля

Теорема.Якщо функція визначена на відрізку і вона

1) неперервна в кожній точці відрізка .

2) диференційована на інтервалі .

3) на кінцях відрізка приймає рівні значення ,

то існує точка така, що .

Доведення.Оскільки функція неперервна на відрізку , то за другою теоремою Вейєрштрасса існують точки , в яких функція приймає найменше і найбільше значення, тобто і .

Якщо , то функція на відрізку приймає постійне значення, оскільки . Тому в будь-якій точці інтервалу .

Якщо , то принаймні одне із значень або функція приймає у деякій точці , тобто на кінцях відрізка ( оскільки ).

Так як функція диференційована в точці , то за теоремою Ферма .

Із теореми Ролля випливає, що для функції неперервної на відрізку , диференційованої на інтервалі і такої, що , існує точка така, що дотична до графіка функції у точці паралельна вісі (рис. 23).

Теорема Лагранжа

Якщо функція визначена на відрізку і вона

1) неперервна в кожній точці відрізка ,

2) диференційована на інтервалі , то існує точка така, що

.

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

.

Ця функція визначена на відрізку і задовольняє всім умовам теореми Ролля. Дійсно,

1) оскільки і неперервні функції на відрізку , то і функція також неперервна на .

2) функція диференційована на інтервалі :

.

3) на кінцях відрізку функція має рівні значення

.

За теоремою Ролля існує точка така, що , тобто

.

Звідси маємо

.

Зауваження. Якщо функція на відрізку задовольняє умовам теореми Лагранжа, то із останньої формули одержуємо

.

Ця формула називається формулою скінчених приростів або формулою Лагранжа. Якщо в цій формулі покласти , то одержимо

, де .

Геометричний зміст теореми Лагранжа полягає в наступному. Якщо функція задовольняє умовам теореми Лагранжа, то існує точка така, що дотична до графіка функції у точці паралельна хорді, проведеній через точки (рис. 24).