Определение массы капли воды
Оборудование:торсионные весы, пипетка, сосуд с водой, маленькие легкие сосуды для взвешивания капель – бюксы (от немецкого Büchse – банка).
Цель работы: освоение методов статистической обработки результатов измерений (построение и анализ гистограммы, сравнение ее с кривой Гаусса); определение случайных погрешностей измерений.
Краткая теория работы
Масса капли воды в каждом опыте вследствие влияния многочисленных факторов, большинство из которых невозможно заранее учесть, является случайной величиной. Поэтому заключение о массе капли может быть сделано лишь на основании статистической обработки результатов большого числа измерений. Причем, чем грубее используемый прибор, тем большее число измерений следует выполнить.
Если получаемые в результате измерений значения масс капель отложить на числовой оси, они образуют некий интервал, ограниченный минимальным и максимальным результатами. При этом не исключена вероятность того, что следующее измерение выйдет за пределы этого интервала. Поэтому при обработке результатов измерений задается вероятность попадания измеряемой величины в указанный интервал a, выражаемая либо в процентах, либо в частях (при выполнении лабораторных работ вероятность a обычно принимается равной 0,95). Интервал, соответствующий выбранной вероятности, называется доверительным интервалом. Ширина доверительного интервала равна двойной относительной погрешности Dm, которая подсчитывается по формуле Питерса с учетом соответствующего коэффициента Стьюдента tan(см. Элементы теории погрешностей):
,
где a – вероятность, n – число измерений, 
– среднестатистическое отклонение массы капли mi от среднего ее значения 
:
.
Значения измеряемых величин распределяются по доверительному интервалу не равномерно, а подчиняясь статистическому закону распределения, описанному в свое время Гауссом. Для малых статистик, когда число измерений сравнительно невелико (порядка 102), применяется метод гистограмм.
Гистограмма (от греческого histos - столб и...грамма), столбчатая диаграмма, один из видов графического изображения статистических распределений измеряемых величин по их численному значению. Она представляет собой совокупность смежных прямоугольников, одна из сторон которых, пропорциональная выбранному интервалу значений, лежит на общей прямой. Высота каждого прямоугольника соответствует числу попаданий измерений в соответствующий интервал.
В нашем случае по горизонтальной оси откладываются значения масс капель от минимального до максимального. Полученный отрезок разбивается на 5-6 равных интервалов (закрытых слева и открытых справа, поэтому последний интервал может иметь границу, превышающую максимальное значение на 1-2 единицы, определяемые ценой деления прибора). При этом ширина интервала включает только целое число единиц цены деления. По вертикальной оси откладывается относительное число капель Ni/N0 (здесь Ni – число капель, приходящихся на данный интервал, N0 – общее число капель), массы которых соответствуют данному интервалу. На рис. 2.1 показан примерный вид гистограммы.
Рис. 2.1
Если центры верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то при правильном подборе количества интервалов для данного числа измерений полученная кривая приблизительно соответствует кривой Гаусса. Самой высшей точке этой кривой соответствует наиболее вероятное значение величины (его можно получить, опустив перпендикуляр на горизонтальную ось), оно обычно располагается левее среднего значения величины, хотя отклонение может быть и незначительным. Ширина кривой Гаусса на ее полувысоте обычно принимается за ширину доверительного интервала при вероятности 0,95, т.е. по кривой Гаусса можно определить абсолютную погрешность величины.
Ход работы
1. Подготовить весы к работе:
а) установить весы горизонтально;
б) установить нуль весов;
в) определить цену деления весов.
2. Взвесить пустую бюксу. Результат занести в таблицу 1 в графу Показания весов.
3. Капнуть одну каплю воды в бюксу. Капля при этом должна свободно падать из пипетки, а не под нажимом. Определить общую массу бюксы с одной каплей воды. Результат занести в таблицу 2.1 в графу Показания весов.
4. Определить массу первой капли, вычтя из значения в строке 2 значение строки 1 графы Показания весов. Занести результат в таблицу 1 в графу Масса капли.
Таблица 1
| № опыта | Показания весов М i, 10-6 кг | № капли | Масса капли mi, 10-6 кг | Отклонение массы капли от среднего Dmi, 10-6кг |
| ---- | ---- | ---- | ||
| ... | ... | |||
| Средние Значения | ---- | ---- |
5. Капнуть вторую каплю воды в бюксу. Определить общую массу бюксы с двумя каплями воды. Результат занести в таблицу 2.1 в графу Показания весов в строку 3.
6. Определить массу второй капли, вычтя из значения в строке 3 значение строки 2 графы Показания весов. Занести результат в таблицу 2.1 в графу Масса капли.
Продолжить измерения, аналогичные пунктам 3-4 или 5-6, до тех пор, пока не заполнится бюкса или не будет достигнут предел измерений прибора; в этих случаях взять новую бюксу и начать измерения с пункта 2. Рекомендуется дальнейшие расчеты по пунктам 4,6 проводить после завершения всех измерений.
Для весов ВТ-500 нужно получить массы 150 капель, для ВТ-100 - 120 капель; для ВТ-50 - 75 капель.
7. Определить минимальное и максимальное значение масс капель из таблицы 1 и отложить их на числовой оси, выбрав масштаб так, чтобы полученный отрезок составлял 8-10 см.
8. Разделить полученный отрезок на 5-6 интервалов с учетом цены деления прибора, границы интервалов занести в Таблицу 2.2.
Таблица 2.2
| № интервала | границы интервала,10-6 кг | число капель в интервале Ni | относительное число капель Ni/N0 |
| ... |
9. Определить число капель, приходящихся на определенный интервал, учитывая, что он закрыт слева и открыт справа.
Результаты занести в Таблицу 2.2.
10. Подсчитать относительное число капель в каждом интервале и занести полученные значения в таблицу 2.2.
11. По значениям, приведенным в таблице 2.2, построить гистограмму. На полученной гистограмме провести приближенную кривую Гаусса.
12. По приближенной кривой Гаусса определить абсолютную погрешность массы капли.
13. Рассчитать среднее значение массы капли, сравнить его с наиболее вероятным; определить отклонения масс отдельных капель и среднее отклонение от среднего значения.
14. Рассчитать абсолютную погрешность, используя формулу Питерса и приняв 
.
15. Сравнить абсолютные погрешности, полученные в пунктах 12 и 13, объяснить их различие.
16. Записать окончательное значение массы капли и определить точность опыта.
17. Сравнить результаты лабораторной работы № 2 с результатами лабораторной работы № 1.
Контрольные вопросы
5. Устройство и принцип действия торсионных весов.
6. Систематические погрешности: определение, контроль, сведение к минимуму.
7. Способ обработки малых статистик: гистограммы и их построение.
8. Распределение Гаусса; доверительный интервал, определение его по кривой Гаусса.
Лабораторная работа № 3