Теорема об изменении количества движения механической системы

Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме ( главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы.

(1)

Вектор количества движения механической системы имеет модуль, равный произведению массы системы на скорость ее центра масс и направление этой скорости.

Проецируем вектор на оси координат:

: ; (2)

Проекция количества движения механической системы на каждую координатную ось, равная сумме проекций количеств движения всех точек системы на одну ос , определяется произведением массы системы на проекцию скорости центра масс на эту же ось.

Дифференцируем (1) по времени:

.

Согласно уравнению движения центра масс системы,

.

Следовательно, (3)

Уравнение (3) выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил , действующих на эту систему.

Векторному уравнению (3) соответствуют три уравнения в проекциях оси координат:

; : (4)

Уравнения (4) показывают, что производная по времени от проекции количества движения механической системы на любую ось равна проекции главного вектора внешних сил , действующих на систему, на ту же ось.

Из уравнений (3) и (4) следует, что изменение количества движения механической системы вызывается только внешними силами.

С л е д с т в и я и з т е о р е м ы ;

1. Если главный вектор внешних сил за рассматриваемой промежуток времени равен нулю, то количество движения механической системы постоянно.

Из уравнения ( 3) следует, что если

т.е. . (5)

2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось за рассматриваемый промежуток времени равна нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна.

Так , например, при из первого уравнения (4)

откуда

Следствия из теорем об изменении количества движения механической системы выражают закон сохранения количества движения системы.

ЗАДАЧА Д2

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m₁ =18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m₂ =6 кг (рис. Д2.0-Д2.9, табл. Д2). В момент времени t₀ =0, когда скорость плиты U₀ =2 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты.

На рис 0-3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза расстояние S=АД изменяется по закону , а на рисунке 4-9 желоб –окружность радиуса R=0,8 м и при движении груза угол изменяется по закону . В таблице Д2 эти зависимости даны отдельно для рисунков 0 и 1 , для рис. 2 и 3 и.т.д., где S- выражено в метрах, φ- в радианах, t - в секундах.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить зависимость , т.е. скорость плиты как функцию от времени.

Указания. Задача Д2 на применение теоремы об изменении количества движения системы. При решении составить уравнение, выражающее теорему, в проекции на горизонтальную ось.

Таблица Д 2

Номер условия
Рис.0,1	Рис. 2,3	Рис 4,5,6	Рис. 7,8,9

3.2.2. Пример решения задачи Д2. В центре тяжести А тележки массой m₁ , движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, укреплен невесомый стержень АD длиной с грузом D массой m₂ на конце (Рис. Д2). В момент времени

t₀ =0 , когда скорость тележки U=U₀ стержень АD начинает вращаться вокруг оси А по закону .

Д а н о : m₁ =24 кг, m₂ =12 кг, U₀ =0,5 м/с, =0,6 м, рад (t-в секундах). О п р е д е л и т ь : -закон изменения скорости тележки.

Решение.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из тележки и груза D, в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р₁ и Р₂ и реакции плоскости . Проведем координатные оси Оху так, чтобы ось х была горизонтальна.

Чтобы определить U, воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы Q в проекции на ось х. Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны (рис. Д2), то и теорема дает

, откуда (1)

Для рассматриваемой механической системы

- количества движения тележки и груза D соответственно (U- скорость тележки, V_D- скорость груза по отношению к осям Оху).Тогда из равенства (1) следует, что

(2)

Для определения V_Dx рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к тележке относительным (это движение, совершаемое при вращении стержня АD вокруг оси А), а движение самой тележки – переносным. Тогда

. (3)

Но .

Вектор

Изобразив этот вектор на рисунке Д2 с учетом знака , найдем , что

. Окончательно из равенства ( 3) получим

(4)

( В данной задаче величину можно найти другим путем, определив абсциссу груза D , для которой, как видно из рисунка Д2 , получим .)

При найденном значении V_Dx равенство (2), если учесть , что U_x=U, примет вид

(5)

Постоянную интегрирования С₁ определим по начальным условиям: при t₀ =0 U=U₀. Подстановка этих значенийв уравнение (5) дает и тогда из ( 5) получим

Отсюда находим следующую зависимость скорости U от времени:

. (6)

Подставив сюда значения соответствующих величин, находим искомую зависимость U от t.

О т в е т: м/с.